沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（1）
一、选择题
1．（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（ ）
A．sinα = B．cosα= C．tanα= D．tanα=2
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列错误的是（ ）
A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 D．tan B＝
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则AB的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
6．（2018·贵阳）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2017·泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．在 中， 为直角， 、∠B、∠C所对的边分别为a、B、c，且 ， ，则tan∠B = ．
9．如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C= ．则点B′点的坐标为 ．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为 .
11．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是 ．
12．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝ ．
13．（2018·眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= .
三、解答题
14．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，D是AC上一点，若tan∠DBC= ，求AD的长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC= ，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
16．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为 ， 已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度(结果保留整数)
(参考数据： ， ，
17．（2016·泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
18．在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．
19．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东 方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东 方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据： ， ， ， )
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为 =3，
故答案为：A．
【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据坡度的定义可知tanα=BC：AC=1：6．
故答案为：C．
【分析】坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，
所以，∠B＝90°-∠A＝90°-30°=60°，
a= c=5，b=cosAc=5 ，tanB= = .
所以，选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意.
故答案为：D
【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，可得出∠B＝90°-∠A，a= c，b=cosAc，tanB= 分别求出结论，然后判断即可.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴tanA=，
∵AC=4，tanA=，
∴BC=AC tanA=2，
∴AB===2．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
5．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC= x，
∴DC=DB+BC=2x+ x，
则tan∠DAC= .
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，BA=2AC,可得∠ABC=30°，∠BAC=60°，设BD=BA=2x，从而可得AC=x，BC= x，由DC=DB+BC求出CD的长，由tan∠DAC= 即可求出结论.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B．
【分析】连接BC，借助方格纸的特点，利用勾股定理算出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为等腰直角三角形，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ = ，
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF= =2 x，
∴tan∠BDE= = = ；
故选：A．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案．
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a= ，
∴tan∠B= = = .
故答案是：
【分析】根据tan∠B= 即可求出结论.
9．【答案】（12，0）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△OB′C中，tan∠OB′C= ，
∴ = ，即 = ，
解得，OB′=12，
则点B′点的坐标为（12，0），
故答案为：（12，0）．
【分析】在Rt△OB′C中，tan∠OB′C==，从而求出OB′=12，继而求出点B'的坐标.
10．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
, ，
，
故答案为： .
【分析】根据同角的余角相等可得∠DCB=∠A，从而可得，由即可求出结论.
11．【答案】
【知识点】直角梯形；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交CE于点F．
根据题意得CE⊥BD．
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠BEC+∠ABD =90°，
∴∠BCE=∠ABD．
∴ ．
故答案为： ．
【分析】如图，连接BD，交CE于点F,由折叠的性质可得CE⊥BD，根据同角的余角相等可得∠BCE=∠ABD。从而可得tan∠BCE=tan∠ABD,由tan∠ABD=即可求出结论.
12．【答案】2-
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知设AB=AC=2x，
∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CD= AC=x，
则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，
∴AD= x，
∴BD=AB-AD=2x- x=（2- ）x，
∴tan15°=
故答案为：2- ．
【分析】设AB=AC=2x，根据含30°锐角的直角三角形的性质可得CD= AC=x，利用勾股定理可得AD= x，利用BD=AB-AD可得BD=（2- ）x，由tan ∠BCD =tan15°=即可求出结论.
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形，
∴BE=CF= ，BE⊥CF，
∴BG=EG=CG=FG= ，
又∵BF∥AC，
∴△BFO∽△ACO，
∴ ，
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中，
∴tan∠BOG= =2，
又∵∠AOD=∠BOG，
∴tan∠AOD=2.
故答案为：2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ，又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ，从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2，根据对顶角相等从而得出答案.
14．【答案】解：如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC=10，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC= ，
∴CD= ×10=2，
∴AD=AC-CD=10-2=8．
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC=10，在Rt△BCD中，由tan∠DBC= ，可求出CD的长，由AD=AC-CD即可求出结论.
15．【答案】解：∵tanB=
设： ，则 ，即
综上： ， ，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由tanB= 可求出AC=3cm，利用勾股定理求出AB=cm， 设 ，可得BD=3x，利用勾股定理可得，即得，解出x的值即可.
16．【答案】解：如图，作 交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得， ， ，
在 中， ，
，即CD=x+100，
在 中， ，
，
，
解得， ．
故热气球离地面的高度为233米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 如图,作 交CB的延长线于D,设AD为x ，由题意可得△ADB是等腰直角三角形，可得BD=x，从而可得CD=x+100，在中，，由，可得，解出x的值即可.
17．【答案】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： ，∴BN=15，DN=15 ，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BN=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ，在Rt△ABM中，tan∠ABM= = ，∴AM=×45=60，∴AC=AM+CM=15+60 ．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在Rt△BDN中求出线段BN，在Rt△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：在Rt△BCF中，由勾股定理，得
AD = ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
∵AF平分∠DAB
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5,
∵四边形BFDE是矩形，
∴BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，
∴AB=AE+BE=8，
∴tan∠BAF= ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，由AE=CF，可得BE=DF，根据一组对边平行且相等可证四边形BFDE是平行四边形，由DE⊥AB，利用一个角是90°的平行四边形是矩形即证结论；
（2）在Rt△BCF中，由勾股定理求出AD=5，根据平行四边形的性质可得AB∥DC，从而可得∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义及等量代换可得∠DAF=∠DFA，利用等角对等边可得DF=AD=5, 利用 矩形的性质可得BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90° ，从而求出AB=AE+BE=8，利用tan∠BAF=即可求出结论.
19．【答案】解：如图，延长CA交BE于点D，
则 ，
由题意知， ， ，
设 米，
则 米， 米，
在 中， ，
，
解得 ，
答：这段河的宽约为37米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，延长CA交BE于点D，可得CD⊥BE，由题意可得∠DAB=45°，∠DCB=33°，设AD=x米，可得BD=xm,CD=20+x（m），在Rt△CDB中，由tan∠DCB=，可得，解出x的值即可.
1 / 1沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（1）
一、选择题
1．（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为 =3，
故答案为：A．
【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。
2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（ ）
A．sinα = B．cosα= C．tanα= D．tanα=2
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据坡度的定义可知tanα=BC：AC=1：6．
故答案为：C．
【分析】坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，据此解答即可.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列错误的是（ ）
A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 D．tan B＝
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，
所以，∠B＝90°-∠A＝90°-30°=60°，
a= c=5，b=cosAc=5 ，tanB= = .
所以，选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意.
故答案为：D
【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，可得出∠B＝90°-∠A，a= c，b=cosAc，tanB= 分别求出结论，然后判断即可.
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则AB的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴tanA=，
∵AC=4，tanA=，
∴BC=AC tanA=2，
∴AB===2．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC= x，
∴DC=DB+BC=2x+ x，
则tan∠DAC= .
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，BA=2AC,可得∠ABC=30°，∠BAC=60°，设BD=BA=2x，从而可得AC=x，BC= x，由DC=DB+BC求出CD的长，由tan∠DAC= 即可求出结论.
6．（2018·贵阳）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B．
【分析】连接BC，借助方格纸的特点，利用勾股定理算出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为等腰直角三角形，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
7．（2017·泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ = ，
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF= =2 x，
∴tan∠BDE= = = ；
故选：A．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案．
二、填空题
8．在 中， 为直角， 、∠B、∠C所对的边分别为a、B、c，且 ， ，则tan∠B = ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a= ，
∴tan∠B= = = .
故答案是：
【分析】根据tan∠B= 即可求出结论.
9．如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C= ．则点B′点的坐标为 ．
【答案】（12，0）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△OB′C中，tan∠OB′C= ，
∴ = ，即 = ，
解得，OB′=12，
则点B′点的坐标为（12，0），
故答案为：（12，0）．
【分析】在Rt△OB′C中，tan∠OB′C==，从而求出OB′=12，继而求出点B'的坐标.
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
, ，
，
故答案为： .
【分析】根据同角的余角相等可得∠DCB=∠A，从而可得，由即可求出结论.
11．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是 ．
【答案】
【知识点】直角梯形；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交CE于点F．
根据题意得CE⊥BD．
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠BEC+∠ABD =90°，
∴∠BCE=∠ABD．
∴ ．
故答案为： ．
【分析】如图，连接BD，交CE于点F,由折叠的性质可得CE⊥BD，根据同角的余角相等可得∠BCE=∠ABD。从而可得tan∠BCE=tan∠ABD,由tan∠ABD=即可求出结论.
12．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝ ．
【答案】2-
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知设AB=AC=2x，
∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CD= AC=x，
则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，
∴AD= x，
∴BD=AB-AD=2x- x=（2- ）x，
∴tan15°=
故答案为：2- ．
【分析】设AB=AC=2x，根据含30°锐角的直角三角形的性质可得CD= AC=x，利用勾股定理可得AD= x，利用BD=AB-AD可得BD=（2- ）x，由tan ∠BCD =tan15°=即可求出结论.
13．（2018·眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= .
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形，
∴BE=CF= ，BE⊥CF，
∴BG=EG=CG=FG= ，
又∵BF∥AC，
∴△BFO∽△ACO，
∴ ，
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中，
∴tan∠BOG= =2，
又∵∠AOD=∠BOG，
∴tan∠AOD=2.
故答案为：2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ，又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ，从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2，根据对顶角相等从而得出答案.
三、解答题
14．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，D是AC上一点，若tan∠DBC= ，求AD的长．
【答案】解：如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC=10，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC= ，
∴CD= ×10=2，
∴AD=AC-CD=10-2=8．
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC=10，在Rt△BCD中，由tan∠DBC= ，可求出CD的长，由AD=AC-CD即可求出结论.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC= ，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
【答案】解：∵tanB=
设： ，则 ，即
综上： ， ，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由tanB= 可求出AC=3cm，利用勾股定理求出AB=cm， 设 ，可得BD=3x，利用勾股定理可得，即得，解出x的值即可.
16．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为 ， 已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度(结果保留整数)
(参考数据： ， ，
【答案】解：如图，作 交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得， ， ，
在 中， ，
，即CD=x+100，
在 中， ，
，
，
解得， ．
故热气球离地面的高度为233米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 如图,作 交CB的延长线于D,设AD为x ，由题意可得△ADB是等腰直角三角形，可得BD=x，从而可得CD=x+100，在中，，由，可得，解出x的值即可.
17．（2016·泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【答案】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： ，∴BN=15，DN=15 ，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BN=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ，在Rt△ABM中，tan∠ABM= = ，∴AM=×45=60，∴AC=AM+CM=15+60 ．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在Rt△BDN中求出线段BN，在Rt△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
18．在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：在Rt△BCF中，由勾股定理，得
AD = ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
∵AF平分∠DAB
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5,
∵四边形BFDE是矩形，
∴BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，
∴AB=AE+BE=8，
∴tan∠BAF= ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，由AE=CF，可得BE=DF，根据一组对边平行且相等可证四边形BFDE是平行四边形，由DE⊥AB，利用一个角是90°的平行四边形是矩形即证结论；
（2）在Rt△BCF中，由勾股定理求出AD=5，根据平行四边形的性质可得AB∥DC，从而可得∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义及等量代换可得∠DAF=∠DFA，利用等角对等边可得DF=AD=5, 利用 矩形的性质可得BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90° ，从而求出AB=AE+BE=8，利用tan∠BAF=即可求出结论.
19．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东 方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东 方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据： ， ， ， )
【答案】解：如图，延长CA交BE于点D，
则 ，
由题意知， ， ，
设 米，
则 米， 米，
在 中， ，
，
解得 ，
答：这段河的宽约为37米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，延长CA交BE于点D，可得CD⊥BE，由题意可得∠DAB=45°，∠DCB=33°，设AD=x米，可得BD=xm,CD=20+x（m），在Rt△CDB中，由tan∠DCB=，可得，解出x的值即可.
1 / 1
