第23章解直角三角形单元检测A卷
一、选择题
1．（2011·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．（2016·怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AC=6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的（ ）
A． B． C． D．
4．（2013·宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．sinA＝ B．∠B＝60° C．tanB＝ D．cosB＝
6．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从A地到D地的距离是（ ）
A．30 m B．20 m C．30 m D．15 m
7．如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB的高度是 米，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度为（ ）
A． 米 B．(3－ )米 C．9米 D．(2 －3)米
8．某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若 ，则BD的长是（ ）．
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．（2016九下·宁国开学考）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（ ）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
11．如图，在 中，点D在BC上，且BD=2CD， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
二、填空题
13．（2016·青海）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
14．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为 ，深为 ．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 ，斜坡的起始点为 ，现将斜坡的坡度设计为 ，则 的长为 ．
15．如图,河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为1： ,则坡角∠A的度数为
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB＝
17．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）
18．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD= 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，
则CE的长为 米．
三、解答题
19．计算：（ ）﹣1﹣ +| ﹣2|+2sin60°．
20．（2017·南通）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
21．（2019·梁平模拟）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示.求凉亭P到公路l的距离.（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
22．（2016·泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（ 取1.73，结果精确到0.1千米）
23．某市地铁工程正在加快建设，为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警大队在一些主要路口设立了交通路况指示牌，如图所示，小明在离指示牌3.2米的点B处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为52°和32°．求路况指示牌DE的高度．（精确到0.01米）
24．（2017·淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
25．拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，右图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm，BC为30cm，点A到地面的距离AE为4cm，旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离．
26．（2017·大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cosB= ，
∴ = ，
∵AB=6，
∴CB= ×6=4，
故选：A．
【分析】根据cosB= ，可得 = ，再把AB的长代入可以计算出CB的长．
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinA= = ，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD= = = ，
只有选项C错误，符合题意．
故答案为：C
【分析】由锐角三角函数的定义可知，余弦为邻边比斜边，得到答案即可。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可得tan∠AOB= ．
故选B．
【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 中， ， ， ，
，
、 ，不符合题意；
、 ，则 ，不符合题意；
、因为 ，所以 ，符合题意；
、因为 ，所以 ，不符合题意.
故答案为：
【分析】结合锐角三角函数的定义分别进行判断即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，
∴DH= ×30=15 ，
∴AD= DH=15 m．
故从A地到D地的距离是15 m．
故答案为：D．
【分析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，即可判断△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠BAD=90°, ∠ADB=45°,
∴AD=AB=
又∵∠ADC=60°,
∴AC=AD tan∠ADC= × =3,
∴BC=AC-AB=3- （米）
故答案为：B
【分析】根据等腰直角三角形的性质，两直角边相等可得AD=AB，在Rt△ACD中，利用60°角的正切值求出AC，然后根据BC=AC-AB计算即可得到答案。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2)．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．
【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB的中垂线，
∴BD＝AD．
又 ，
设DC＝3k，则BD＝5k，
∴AD＝5k，AC＝8k．
∴8k＝16，k＝2，
∴BD＝5×2＝10cm．
故答案为：D.
【分析】结合线段垂直平分线的性质即可得到BD=AD，由∠BDC的余弦，可以设DC＝3k，则BD＝5k，即可得到BD的长度。
10．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则
A、cosA= ，故本选项错误；
B、tanA= ，故本选项错误；
C、sinA= ，故本选项正确；
D、cosA= ，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
11．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥AD,交AC于点E，如图所示：
∵DE⊥A
D、AB⊥AD，
∴AB//DE（垂直同一条直线的两直线平行），
∴∠BAC＝ 、∠B＝∠CDE（两直线平行，同位角相等），
在 和 中，
，
∴ ∽ （AAA），
∴ ，
又∵ （已知），
∴ ，
∴
设AD＝4x，
∵ (已知),
∴AB＝3x,AD=4x,
又∵ （已证），
∴DE＝x,
在直角 中， ，
∴tan∠CAD=
故答案为：B
【分析】作CE⊥AD交AD的延长线于点E，画出相应的图形，然后可以得到各边之间的关系，从而可以表示出tan∠CAD，从而得到tan∠CAD的值。
12．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，∵AB=12 ，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长．
13．【答案】60
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得，AD≈60，
故答案为：60．
【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．【答案】210
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由图可知：B＝60cm，AD＝60cm，∵坡度比＝BD∶DC＝1∶4.5，∴DC＝270，∴AC＝DC－AD＝270－60＝210cm.
【分析】根据题意可知，所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比即可得到答案。
15．【答案】30°
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：因为，tanA= =1： = ,
所以，∠A =30?,
故答案为：30?
【分析】根据坡度的含义，即可得到∠A的度数。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， CD是斜边AB上的中线, CD=5
∴AB=2CD=10
依据勾股定理可得，
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上的中线为等于斜边的一半，即可得到AB的长度，在直角三角形中，根据勾股定理计算得到BC的长度，再计算得到B的正切即可。
17．【答案】＞
【知识点】三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH=2×2﹣ ﹣ ×1×1= AH NP，
= PN，
PN= ，
Rt△ANP中，sin∠NAP= = = =0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC= = = ＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞
【分析】连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，根据三角形的面积计算得到PN的长度，再求出∠BAC以及∠DAE的正弦，即可得到答案。
18．【答案】8
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G．
在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= ，
∴AF=12× =6 .
易知四边形AFGD是矩形，
∴DG=AF=6 .
在Rt△DGC中，CD=12 ，DG=6 ，
∴GC= =18.
在Rt△DEG中，tanE＝ = ，
∴EG=26，
∴CE=GE-CG=26-18=8．
故答案为8
【分析】分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，结合坡度的含义即可得到AF即DG的值，在直角三角形CDG中，根据勾股定理计算得到CG的长度，再根据正切计算得到GE的长度，即可计算得到答案。
19．【答案】解：原式=2+2+2﹣ +2×
=6﹣ +
=6
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂、开立方、绝对值的性质以及60°的正弦，计算得到答案即可。
20．【答案】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，
∴BD=AD=100m，
在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100 m
∴BC=（100+100 ）m，
答：这栋楼的高度为（100+100 ）m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可得到这栋楼的高度．
21．【答案】解：作PD⊥AB于D.
设BD=x，则AD=x+200.
∵∠EAP=60°，
∴∠PAB=90°﹣60°=30°.
在Rt△BPD中，
∵∠FBP=45°，
∴∠PBD=∠BPD=45°，
∴PD=DB=x.
在Rt△APD中，
∵∠PAB=30°，
∴PD=tan30° AD，
即DB=PD=tan30° AD=x= （200+x），
解得：x≈273.2，
∴PD=273.2.
答：凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.
22．【答案】解：过B作BE⊥AD于E，
∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，
∴∠ADB=45°，
∵AB=6× =4，
∴AE=2．BE=2 ，
∴DE=BE=2 ，
∴AD=2+2 ，
∵∠C=90，∠CAD=30°，
∴CD= AD=1+ ≈2.7千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2 ，求得AD=2+2 ，即可得到结论．
23．【答案】解：过点A作AF⊥DC于点F，
在Rt△ADF中，AF=3.2m，tan∠DAF=tan52°= ，
则DF=AFtan52°=3.2×1.28≈4.10米．
在Rt△AEF中，AF=3.2m，tan∠EAF=tan32°= ，
则DF=AFtan32°=3.2×0.62≈2.00米．
故可得DE=DF﹣EF=2.10米．
答：路况指示牌DE的高度为2.10米
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】过点A作AF⊥DC于点F，在Rt△ADF中求出DF，在Rt△AEF中求出EF，继而根据DE=DF-EF，即可得到答案。
24．【答案】解：过点C作CD⊥AB与D，∵AC=20km，∠CAB=30°，∴CD= AC= ×20=10km，AD=cos∠CAB AC=cos30°×20=10 km，∵∠CBA=45°，∴BD=CD=10km，BC= CD=10 ≈14.14km∴AB=AD+BD=10 +10≈27.32km．则AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】解非直角三角形时，若出现特殊角（30°、45°、60°），可过三角形的某一顶点作垂线，使特殊角处于直角三角形中，利用三角函数得出边之间的关系，本题中所求的缩短距离就是求（AC+BC﹣AB）.
25．【答案】解：如图，过点B、A分别作地面的平行线a、b．过C作CM⊥a于点M，过点B作BN⊥b于点N．
在直角△ABN中，AB=50cm，∠BAN=60°，则BN=AB sin60°=25 cm．
在直角△BCM中，易求∠CBM=30°，则CM= BC=15cm．
所以，点C到地面的高度是：CM+BN+AE=15+25 +4=19+25 （cm）．
答：箱体的最高点C到地面的距离是（19+25 ）cm．
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】过点B、A分别作地面的平行线a、b．过C作CM⊥a于点M，过点B作BN⊥b于点N。在直角△BCM、△ABN中利用三角函数分别求得CM、BN的长，则点C到地面的高度是：CM+BN+AE。
26．【答案】（1）证明：如图1中，
∵∠EDE′=∠C=90°，
∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．
（2）解：如图1中，
当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ cosα= y，PN= × （3﹣x），
∴ （3﹣x）+ y=x，
∴y= x﹣ ，
当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，
∴PN=DM，
∵DM= （3﹣x），PN=PQ sinα= y，
∴ （3﹣x）= y，
∴y=﹣ x+ ．
综上所述，y=
【知识点】函数解析式；矩形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；
1 / 1第23章解直角三角形单元检测A卷
一、选择题
1．（2011·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cosB= ，
∴ = ，
∵AB=6，
∴CB= ×6=4，
故选：A．
【分析】根据cosB= ，可得 = ，再把AB的长代入可以计算出CB的长．
2．（2016·怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AC=6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinA= = ，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．
3．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD= = = ，
只有选项C错误，符合题意．
故答案为：C
【分析】由锐角三角函数的定义可知，余弦为邻边比斜边，得到答案即可。
4．（2013·宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可得tan∠AOB= ．
故选B．
【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．
5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．sinA＝ B．∠B＝60° C．tanB＝ D．cosB＝
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 中， ， ， ，
，
、 ，不符合题意；
、 ，则 ，不符合题意；
、因为 ，所以 ，符合题意；
、因为 ，所以 ，不符合题意.
故答案为：
【分析】结合锐角三角函数的定义分别进行判断即可得到答案。
6．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从A地到D地的距离是（ ）
A．30 m B．20 m C．30 m D．15 m
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，
∴DH= ×30=15 ，
∴AD= DH=15 m．
故从A地到D地的距离是15 m．
故答案为：D．
【分析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，即可判断△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长。
7．如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB的高度是 米，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度为（ ）
A． 米 B．(3－ )米 C．9米 D．(2 －3)米
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠BAD=90°, ∠ADB=45°,
∴AD=AB=
又∵∠ADC=60°,
∴AC=AD tan∠ADC= × =3,
∴BC=AC-AB=3- （米）
故答案为：B
【分析】根据等腰直角三角形的性质，两直角边相等可得AD=AB，在Rt△ACD中，利用60°角的正切值求出AC，然后根据BC=AC-AB计算即可得到答案。
8．某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2)．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．
【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若 ，则BD的长是（ ）．
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB的中垂线，
∴BD＝AD．
又 ，
设DC＝3k，则BD＝5k，
∴AD＝5k，AC＝8k．
∴8k＝16，k＝2，
∴BD＝5×2＝10cm．
故答案为：D.
【分析】结合线段垂直平分线的性质即可得到BD=AD，由∠BDC的余弦，可以设DC＝3k，则BD＝5k，即可得到BD的长度。
10．（2016九下·宁国开学考）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（ ）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则
A、cosA= ，故本选项错误；
B、tanA= ，故本选项错误；
C、sinA= ，故本选项正确；
D、cosA= ，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
11．如图，在 中，点D在BC上，且BD=2CD， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥AD,交AC于点E，如图所示：
∵DE⊥A
D、AB⊥AD，
∴AB//DE（垂直同一条直线的两直线平行），
∴∠BAC＝ 、∠B＝∠CDE（两直线平行，同位角相等），
在 和 中，
，
∴ ∽ （AAA），
∴ ，
又∵ （已知），
∴ ，
∴
设AD＝4x，
∵ (已知),
∴AB＝3x,AD=4x,
又∵ （已证），
∴DE＝x,
在直角 中， ，
∴tan∠CAD=
故答案为：B
【分析】作CE⊥AD交AD的延长线于点E，画出相应的图形，然后可以得到各边之间的关系，从而可以表示出tan∠CAD，从而得到tan∠CAD的值。
12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，∵AB=12 ，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长．
二、填空题
13．（2016·青海）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【答案】60
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得，AD≈60，
故答案为：60．
【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为 ，深为 ．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 ，斜坡的起始点为 ，现将斜坡的坡度设计为 ，则 的长为 ．
【答案】210
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由图可知：B＝60cm，AD＝60cm，∵坡度比＝BD∶DC＝1∶4.5，∴DC＝270，∴AC＝DC－AD＝270－60＝210cm.
【分析】根据题意可知，所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比即可得到答案。
15．如图,河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为1： ,则坡角∠A的度数为
【答案】30°
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：因为，tanA= =1： = ,
所以，∠A =30?,
故答案为：30?
【分析】根据坡度的含义，即可得到∠A的度数。
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB＝
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， CD是斜边AB上的中线, CD=5
∴AB=2CD=10
依据勾股定理可得，
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上的中线为等于斜边的一半，即可得到AB的长度，在直角三角形中，根据勾股定理计算得到BC的长度，再计算得到B的正切即可。
17．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）
【答案】＞
【知识点】三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH=2×2﹣ ﹣ ×1×1= AH NP，
= PN，
PN= ，
Rt△ANP中，sin∠NAP= = = =0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC= = = ＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞
【分析】连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，根据三角形的面积计算得到PN的长度，再求出∠BAC以及∠DAE的正弦，即可得到答案。
18．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD= 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，
则CE的长为 米．
【答案】8
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G．
在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= ，
∴AF=12× =6 .
易知四边形AFGD是矩形，
∴DG=AF=6 .
在Rt△DGC中，CD=12 ，DG=6 ，
∴GC= =18.
在Rt△DEG中，tanE＝ = ，
∴EG=26，
∴CE=GE-CG=26-18=8．
故答案为8
【分析】分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，结合坡度的含义即可得到AF即DG的值，在直角三角形CDG中，根据勾股定理计算得到CG的长度，再根据正切计算得到GE的长度，即可计算得到答案。
三、解答题
19．计算：（ ）﹣1﹣ +| ﹣2|+2sin60°．
【答案】解：原式=2+2+2﹣ +2×
=6﹣ +
=6
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂、开立方、绝对值的性质以及60°的正弦，计算得到答案即可。
20．（2017·南通）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
【答案】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，
∴BD=AD=100m，
在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100 m
∴BC=（100+100 ）m，
答：这栋楼的高度为（100+100 ）m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可得到这栋楼的高度．
21．（2019·梁平模拟）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示.求凉亭P到公路l的距离.（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【答案】解：作PD⊥AB于D.
设BD=x，则AD=x+200.
∵∠EAP=60°，
∴∠PAB=90°﹣60°=30°.
在Rt△BPD中，
∵∠FBP=45°，
∴∠PBD=∠BPD=45°，
∴PD=DB=x.
在Rt△APD中，
∵∠PAB=30°，
∴PD=tan30° AD，
即DB=PD=tan30° AD=x= （200+x），
解得：x≈273.2，
∴PD=273.2.
答：凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.
22．（2016·泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（ 取1.73，结果精确到0.1千米）
【答案】解：过B作BE⊥AD于E，
∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，
∴∠ADB=45°，
∵AB=6× =4，
∴AE=2．BE=2 ，
∴DE=BE=2 ，
∴AD=2+2 ，
∵∠C=90，∠CAD=30°，
∴CD= AD=1+ ≈2.7千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2 ，求得AD=2+2 ，即可得到结论．
23．某市地铁工程正在加快建设，为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警大队在一些主要路口设立了交通路况指示牌，如图所示，小明在离指示牌3.2米的点B处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为52°和32°．求路况指示牌DE的高度．（精确到0.01米）
【答案】解：过点A作AF⊥DC于点F，
在Rt△ADF中，AF=3.2m，tan∠DAF=tan52°= ，
则DF=AFtan52°=3.2×1.28≈4.10米．
在Rt△AEF中，AF=3.2m，tan∠EAF=tan32°= ，
则DF=AFtan32°=3.2×0.62≈2.00米．
故可得DE=DF﹣EF=2.10米．
答：路况指示牌DE的高度为2.10米
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】过点A作AF⊥DC于点F，在Rt△ADF中求出DF，在Rt△AEF中求出EF，继而根据DE=DF-EF，即可得到答案。
24．（2017·淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【答案】解：过点C作CD⊥AB与D，∵AC=20km，∠CAB=30°，∴CD= AC= ×20=10km，AD=cos∠CAB AC=cos30°×20=10 km，∵∠CBA=45°，∴BD=CD=10km，BC= CD=10 ≈14.14km∴AB=AD+BD=10 +10≈27.32km．则AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】解非直角三角形时，若出现特殊角（30°、45°、60°），可过三角形的某一顶点作垂线，使特殊角处于直角三角形中，利用三角函数得出边之间的关系，本题中所求的缩短距离就是求（AC+BC﹣AB）.
25．拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，右图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm，BC为30cm，点A到地面的距离AE为4cm，旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离．
【答案】解：如图，过点B、A分别作地面的平行线a、b．过C作CM⊥a于点M，过点B作BN⊥b于点N．
在直角△ABN中，AB=50cm，∠BAN=60°，则BN=AB sin60°=25 cm．
在直角△BCM中，易求∠CBM=30°，则CM= BC=15cm．
所以，点C到地面的高度是：CM+BN+AE=15+25 +4=19+25 （cm）．
答：箱体的最高点C到地面的距离是（19+25 ）cm．
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】过点B、A分别作地面的平行线a、b．过C作CM⊥a于点M，过点B作BN⊥b于点N。在直角△BCM、△ABN中利用三角函数分别求得CM、BN的长，则点C到地面的高度是：CM+BN+AE。
26．（2017·大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵∠EDE′=∠C=90°，
∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．
（2）解：如图1中，
当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ cosα= y，PN= × （3﹣x），
∴ （3﹣x）+ y=x，
∴y= x﹣ ，
当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，
∴PN=DM，
∵DM= （3﹣x），PN=PQ sinα= y，
∴ （3﹣x）= y，
∴y=﹣ x+ ．
综上所述，y=
【知识点】函数解析式；矩形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；
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