高中数学人教新课标A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、单选题
1．三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于（ ）
A．3 B． C．2 D．4
2．圆锥的底面半径为2，高为，则圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．12π C．5π D．6π
3．已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a的正三角形, 俯视图是边长为a的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A．30 B．12 C．24 D．4
5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．4 B． C． D．8
6．已知三棱锥的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
7．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2016高二上·河北开学考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
二、填空题
9．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为 .
10．如图，三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，若三棱锥A-BEF的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为 ．
11．设M，N分别为三棱锥P-ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P-ABC的体积记为V1，三棱锥P-AMN的体积记为V2，则 = .
三、解答题
12．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1,C1,B三点的的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为 ，求几何体ABCD-A1C1D1的表面积.
13．如图，正方体 的棱长为a，连接 , ，得到一个三棱锥 ．
求：
（1）三棱锥 的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥 的体积．
14．如图，几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为 ，三棱锥的体积为 × ×3= .
故答案为:B．
【分析】由棱锥的体积公式求体积.
2．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：圆锥的母线l==3，
∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×3=6π．
故答案为：D．
【分析】求出圆锥的母线，代入侧面积公式即可.
3．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题图可知该几何体为正六棱锥，侧视图为等腰三角形，其中底边长为 ，高与正视图的高相同，为 ，所以面积为 .
故答案为:D.
【分析】结合 三视图还原出几何体为正六棱锥,由公式求体积.
4．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图， .
故答案为:C.
【分析】由三视图还出原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,再由公式求体积.
5．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可得到几何体的直观图如图所示，该几何体是由一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC组成，四棱锥A-CDEF的底面面积为4，高为4，所以体积是 ；三棱锥F-ABC的底面积为2，高为2，故体积是 ，所以该几何体的体积为 .
故答案为:B.
【分析】由三视图还出原几何体是由一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC组成的,再由公式求体积.
6．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边为 ，高为 ，所以体积为 ，故答案为:B.
【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形,由公式求其体积.
7．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为R，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=πR，
即r=，
∴圆锥的高h=
∴圆锥的体积V=
故选：C
【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．
8．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底= =10，
S后= ，
S右= =10，
S左= =6 ．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6 ．
故选：B．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
9．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为圆锥的母线长是10，所以展开半圆的半径为10， .
故答案为:50 π .
【分析】根据圆锥的性质,侧面展开图是半圆就是侧面,由公式求侧面积.
10．【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为 ， ，则
故答案为:10.
【分析】将侧南分成一个三角形和一个四边形,其面积比就是对应棱锥的体积比.
11．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】三棱锥P-AMN的体积等于三棱锥P-ANC的体积的一半，等于三棱锥P-ABC的体积的四分之一.
故答案为：.
【分析】分析几个棱锥体积的关系，求比值.
12．【答案】解：
.
则 ，设A1C1的中点H，
则 ， 表面积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】长方体截去一个角后的几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积.
13．【答案】（1）解：∵ 是正方体，∴ ，
∴三棱锥 的表面积为 ．而正方体的表面积为6a2，∴三棱锥 的表面积与正方体表面积的比值为
（2）解：三棱锥 是完全一样的，
故
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)求出三棱锥的表面积和正方体的表面积,再求比值.
(2)用等积法求体积.
14．【答案】解：圆锥侧面积为 ，圆台的侧面积为 ，圆台的底面面积为 ，所以表面积为 .圆锥的体积 ，圆台的体积 ，所以体积为 .
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】几何体为组合体,由公式分别求圆锥和圆台的体积,再求和即为几何体的体积.
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一、单选题
1．三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于（ ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为 ，三棱锥的体积为 × ×3= .
故答案为:B．
【分析】由棱锥的体积公式求体积.
2．圆锥的底面半径为2，高为，则圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．12π C．5π D．6π
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：圆锥的母线l==3，
∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×3=6π．
故答案为：D．
【分析】求出圆锥的母线，代入侧面积公式即可.
3．已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a的正三角形, 俯视图是边长为a的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题图可知该几何体为正六棱锥，侧视图为等腰三角形，其中底边长为 ，高与正视图的高相同，为 ，所以面积为 .
故答案为:D.
【分析】结合 三视图还原出几何体为正六棱锥,由公式求体积.
4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A．30 B．12 C．24 D．4
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图， .
故答案为:C.
【分析】由三视图还出原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,再由公式求体积.
5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可得到几何体的直观图如图所示，该几何体是由一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC组成，四棱锥A-CDEF的底面面积为4，高为4，所以体积是 ；三棱锥F-ABC的底面积为2，高为2，故体积是 ，所以该几何体的体积为 .
故答案为:B.
【分析】由三视图还出原几何体是由一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC组成的,再由公式求体积.
6．已知三棱锥的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边为 ，高为 ，所以体积为 ，故答案为:B.
【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形,由公式求其体积.
7．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为R，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=πR，
即r=，
∴圆锥的高h=
∴圆锥的体积V=
故选：C
【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．
8．（2016高二上·河北开学考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底= =10，
S后= ，
S右= =10，
S左= =6 ．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6 ．
故选：B．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
二、填空题
9．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为圆锥的母线长是10，所以展开半圆的半径为10， .
故答案为:50 π .
【分析】根据圆锥的性质,侧面展开图是半圆就是侧面,由公式求侧面积.
10．如图，三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，若三棱锥A-BEF的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为 ．
【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为 ， ，则
故答案为:10.
【分析】将侧南分成一个三角形和一个四边形,其面积比就是对应棱锥的体积比.
11．设M，N分别为三棱锥P-ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P-ABC的体积记为V1，三棱锥P-AMN的体积记为V2，则 = .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】三棱锥P-AMN的体积等于三棱锥P-ANC的体积的一半，等于三棱锥P-ABC的体积的四分之一.
故答案为：.
【分析】分析几个棱锥体积的关系，求比值.
三、解答题
12．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1,C1,B三点的的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为 ，求几何体ABCD-A1C1D1的表面积.
【答案】解：
.
则 ，设A1C1的中点H，
则 ， 表面积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】长方体截去一个角后的几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积.
13．如图，正方体 的棱长为a，连接 , ，得到一个三棱锥 ．
求：
（1）三棱锥 的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥 的体积．
【答案】（1）解：∵ 是正方体，∴ ，
∴三棱锥 的表面积为 ．而正方体的表面积为6a2，∴三棱锥 的表面积与正方体表面积的比值为
（2）解：三棱锥 是完全一样的，
故
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)求出三棱锥的表面积和正方体的表面积,再求比值.
(2)用等积法求体积.
14．如图，几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.
【答案】解：圆锥侧面积为 ，圆台的侧面积为 ，圆台的底面面积为 ，所以表面积为 .圆锥的体积 ，圆台的体积 ，所以体积为 .
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】几何体为组合体,由公式分别求圆锥和圆台的体积,再求和即为几何体的体积.
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