2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.8 图形的位似 同步练习
一、选择题：
1．若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．下列说法错误的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
3．已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，图像与原图形的位似比为2，则点 的坐标为（ ）
A．（1， ） B．（4，2）
C．（1， ）或（-1，- ） D．（4，2）或（-4，-2）
4．如图，在3×3正方形网格中，顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形，给出下列命题：
①一定存在全等的两个格点三角形
②一定存在相似且不全等的两个格点三角形
③一定存在两个格点三角形是位似图形
④一定存在周长和面积均为无理数的格点三角形
其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）
二、填空题：
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1）， （6，2）．
若△ABC的面积为m，则△ 的面积（用含m的代数式表示）是
7．如图，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点 的坐标为
8．如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与△ 是位似图形，位似比为 ；△OAB与△ 是位似图形，位似比为 .
9．（2017·和平模拟）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AB：DE= ．
10．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的 ，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的 ，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的 ，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
12．如图， OAB与 ODC是位似图形 。
试问：
（1）AB与CD平行吗？请说明理由 。
（2）如果OB=3，OC=4，OD=3.5.试求 OAB与 ODC的相似比及OA的长 。
13．如图，以O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，
并以O为原点，写出新图形各点的坐标.
14．如图，四边形ABCD和四边 位似，位似比 =2，四边形 和四边形 位似，位似比 =1．四边形 和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
15．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形 ，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点 的横坐标是2，求点B的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】面积公式S=mab，其中m为系数，a为一边长，b为另一边长，将图形按照对称中心放大为原来的两倍后，即S=4abm，所以变化后的图形面积为变化前的图形的面积的4倍，即变化后图形面积为8。
故答案为：A
【分析】根据题意和位似图形面积的比等于相似比的平方可求解。
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义可知，B，C不符合题意，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据位似图形的性质位似图形对应点连线的交点是位似中心可得似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，而不是相互平行，顾可知选项D错误。
3．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】如图，
则点 的坐标为（4，2）或（-4，-2），
故答案为：D．
【分析】由题意画出图形，根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比即可求解。
4．【答案】B
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】解答：根据题意，得
如图所示：
△FBG≌△AFH，①正确；
△ABC∽△FBC，但两者不全等，②正确；
△ABC与△DBE位似，③正确；
因为可以得到格点三角形两直角边长为整数，所以面积无法得到是无理数的格点三角形，④错误；
故选：B．
分析：根据题意，先在图中作出三角形，再分析得到答案．此题考查了位似、全等、相似的相关知识，注意三者的区别与联系．
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；因为A，D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1，0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK，∴ ，∵CD∥AB，∴ ，∵DH∥BK，∴ ，∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B（5，2），故答案为：C．
【分析】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；根据位似图形对应线段的比等于相似比即可求得对应线段的比值，根据位似图形对应边互相平行或在同一直线上可得CD∥AB；再根据平行线分线段成比例定理可求解。
6．【答案】4m
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵△ABC与△ 的相似比为1：2，
∴ ，
故答案为：4m．
【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似图形对应线段的比等于相似比。位似图形面积的比等于相似比的平方。根据位似图形的性质即可求解。
7．【答案】（2，-1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据题意可知，点E的对应点 的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以 ，
所以点 的坐标为（2，-1），
故答案为：（2，-1）．
【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形对应线段的比等于相似比。根据位似图形的性质即可求解。
8．【答案】A′B′C′；7：4；OA′B′；7：4
【知识点】位似变换
【解析】【解答】位似图形的性质：对应边平行或在一条直线上，且成比例。A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，所以△ABC与△ 是位似图，位似比为 =
△OAB与△ 是位似图形，位似比是 =
【分析】位似图形的性质：位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形对应边互相平行或在同一直线上。根据题意和位似图形的性质即可求解。
9．【答案】2：3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ ）2= ，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积= ，得到AB：DE═2：3．
10．【答案】16
【知识点】位似变换
【解析】【解答】由已知有：OA1= OA；OA2= OA1= OA，OA3= OA2= OA，．．．．．．，∴OAn= OA， OAn= OA= ，∴ = ，∴n=16．故答案为：16．
【分析】由题意和图形可得OAn=OA=，将OA的值代入计算即可求解。
11．【答案】解：如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2即为所求
A2、（3，6）；B2（5，2）；C2（11，4）
【知识点】轴对称的性质；位似变换
【解析】【分析】①关于y轴对称的点的坐标变化特征：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。根据轴对称的性质即可求解；
②位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。根据位似图形的性质可求解。
12．【答案】（1）解：∵AB和CD是对应线段，△AOB和△DOC是位似图形，
∴AB∥CD
（2）解：∵OB=3，OC=4， ∴OB：OC=3：4，
∵OB和OC是两个位似三角形的对应线段， ∴△OAB和△ODC的相似比为： ；
∵ ，即 ， ∴OA=
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可得位似图形的对应线段平行或在同一直线上；由题意可得AB∥CD；
（2）根据位似图形的性质位似图形对应线段的比等于相似比可求解。
13．【答案】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】位似图形的性质： 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。根据位似图形的性质可画出图形并求出新图形各点的坐标。
14．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形 位似，
∴四边形ABCD∽四边形 ．
∵四边形 和四边形 位似，
∴四边形 ∽四边形 ．
∴四边形 ∽四边形ABCD．
∵对应顶点的连线过同一点，
∴四边形 和四边形ABCD是位似图形．
∵四边形ABCD和四边形 位似，位似比 =2，
四边形 和四边形 位似，位似比 =1，
∴四边形 和四边形ABCD的位似比为 ．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；.位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形的对应角都相等；位似图形是相似图形。根据位似图形的性质即可求解。
15．【答案】解：过点B、 分别作 ⊥ 轴于D， ⊥ 轴于E， .∵ 的位似图形是 ，∴点B、C、 在一条直线上， ． ． ．又∵ ， .又∵点 的横坐标是2，点C的坐标是(-1，0) ， ， ． ．∴点B的横坐标为 ．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。根据性质易求得△BDC∽△B′CE；且BC：B′C=1：2；所以可得比例式CD：CE=BC：B′C=1：2；再根据题中已知条件可得CE和CD的值，则OD=OC+CD，即为点B的横坐标。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册4.8 图形的位似 同步练习
一、选择题：
1．若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】面积公式S=mab，其中m为系数，a为一边长，b为另一边长，将图形按照对称中心放大为原来的两倍后，即S=4abm，所以变化后的图形面积为变化前的图形的面积的4倍，即变化后图形面积为8。
故答案为：A
【分析】根据题意和位似图形面积的比等于相似比的平方可求解。
2．下列说法错误的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义可知，B，C不符合题意，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据位似图形的性质位似图形对应点连线的交点是位似中心可得似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，而不是相互平行，顾可知选项D错误。
3．已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，图像与原图形的位似比为2，则点 的坐标为（ ）
A．（1， ） B．（4，2）
C．（1， ）或（-1，- ） D．（4，2）或（-4，-2）
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】如图，
则点 的坐标为（4，2）或（-4，-2），
故答案为：D．
【分析】由题意画出图形，根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比即可求解。
4．如图，在3×3正方形网格中，顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形，给出下列命题：
①一定存在全等的两个格点三角形
②一定存在相似且不全等的两个格点三角形
③一定存在两个格点三角形是位似图形
④一定存在周长和面积均为无理数的格点三角形
其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】解答：根据题意，得
如图所示：
△FBG≌△AFH，①正确；
△ABC∽△FBC，但两者不全等，②正确；
△ABC与△DBE位似，③正确；
因为可以得到格点三角形两直角边长为整数，所以面积无法得到是无理数的格点三角形，④错误；
故选：B．
分析：根据题意，先在图中作出三角形，再分析得到答案．此题考查了位似、全等、相似的相关知识，注意三者的区别与联系．
5．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；因为A，D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1，0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK，∴ ，∵CD∥AB，∴ ，∵DH∥BK，∴ ，∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B（5，2），故答案为：C．
【分析】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；根据位似图形对应线段的比等于相似比即可求得对应线段的比值，根据位似图形对应边互相平行或在同一直线上可得CD∥AB；再根据平行线分线段成比例定理可求解。
二、填空题：
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1）， （6，2）．
若△ABC的面积为m，则△ 的面积（用含m的代数式表示）是
【答案】4m
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵△ABC与△ 的相似比为1：2，
∴ ，
故答案为：4m．
【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似图形对应线段的比等于相似比。位似图形面积的比等于相似比的平方。根据位似图形的性质即可求解。
7．如图，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点 的坐标为
【答案】（2，-1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据题意可知，点E的对应点 的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以 ，
所以点 的坐标为（2，-1），
故答案为：（2，-1）．
【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形对应线段的比等于相似比。根据位似图形的性质即可求解。
8．如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与△ 是位似图形，位似比为 ；△OAB与△ 是位似图形，位似比为 .
【答案】A′B′C′；7：4；OA′B′；7：4
【知识点】位似变换
【解析】【解答】位似图形的性质：对应边平行或在一条直线上，且成比例。A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，所以△ABC与△ 是位似图，位似比为 =
△OAB与△ 是位似图形，位似比是 =
【分析】位似图形的性质：位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形对应边互相平行或在同一直线上。根据题意和位似图形的性质即可求解。
9．（2017·和平模拟）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AB：DE= ．
【答案】2：3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ ）2= ，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积= ，得到AB：DE═2：3．
10．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的 ，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的 ，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的 ，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
【答案】16
【知识点】位似变换
【解析】【解答】由已知有：OA1= OA；OA2= OA1= OA，OA3= OA2= OA，．．．．．．，∴OAn= OA， OAn= OA= ，∴ = ，∴n=16．故答案为：16．
【分析】由题意和图形可得OAn=OA=，将OA的值代入计算即可求解。
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
【答案】解：如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2即为所求
A2、（3，6）；B2（5，2）；C2（11，4）
【知识点】轴对称的性质；位似变换
【解析】【分析】①关于y轴对称的点的坐标变化特征：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。根据轴对称的性质即可求解；
②位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。根据位似图形的性质可求解。
12．如图， OAB与 ODC是位似图形 。
试问：
（1）AB与CD平行吗？请说明理由 。
（2）如果OB=3，OC=4，OD=3.5.试求 OAB与 ODC的相似比及OA的长 。
【答案】（1）解：∵AB和CD是对应线段，△AOB和△DOC是位似图形，
∴AB∥CD
（2）解：∵OB=3，OC=4， ∴OB：OC=3：4，
∵OB和OC是两个位似三角形的对应线段， ∴△OAB和△ODC的相似比为： ；
∵ ，即 ， ∴OA=
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可得位似图形的对应线段平行或在同一直线上；由题意可得AB∥CD；
（2）根据位似图形的性质位似图形对应线段的比等于相似比可求解。
13．如图，以O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，
并以O为原点，写出新图形各点的坐标.
【答案】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】位似图形的性质： 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。根据位似图形的性质可画出图形并求出新图形各点的坐标。
14．如图，四边形ABCD和四边 位似，位似比 =2，四边形 和四边形 位似，位似比 =1．四边形 和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形 位似，
∴四边形ABCD∽四边形 ．
∵四边形 和四边形 位似，
∴四边形 ∽四边形 ．
∴四边形 ∽四边形ABCD．
∵对应顶点的连线过同一点，
∴四边形 和四边形ABCD是位似图形．
∵四边形ABCD和四边形 位似，位似比 =2，
四边形 和四边形 位似，位似比 =1，
∴四边形 和四边形ABCD的位似比为 ．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；.位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形的对应角都相等；位似图形是相似图形。根据位似图形的性质即可求解。
15．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形 ，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点 的横坐标是2，求点B的横坐标．
【答案】解：过点B、 分别作 ⊥ 轴于D， ⊥ 轴于E， .∵ 的位似图形是 ，∴点B、C、 在一条直线上， ． ． ．又∵ ， .又∵点 的横坐标是2，点C的坐标是(-1，0) ， ， ． ．∴点B的横坐标为 ．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。根据性质易求得△BDC∽△B′CE；且BC：B′C=1：2；所以可得比例式CD：CE=BC：B′C=1：2；再根据题中已知条件可得CE和CD的值，则OD=OC+CD，即为点B的横坐标。
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