2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.2.4 二次函数的图象与性质
一、选择题
1．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴函数y=ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线开口向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解．
2．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+2x+b（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+2x+b的图象相比较看是否一致．
3．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故答案为：A．
【分析】由二次函数解析式结合二次函数的性质可找出其顶点坐标，由其横、纵坐标均为正，即可得出该点在第一象限．
4．已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
【答案】C
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故答案为：C．
【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
5．（2017·北区模拟）二次函数y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（ ）
A．（2，﹣8） B．（2，8）
C．（﹣2，8） D．（﹣2，﹣8）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，
∴其顶点坐标为（2，﹣8），
故选A．
【分析】把二次函数化成顶点式，可得出二次函数的顶点坐标．
6．二次函数y=mx2﹣nx﹣2过点（1，0），且函数图象的顶点在第三象限，当m+n为整数时，则mn的值为（ ）
A．﹣ ，﹣1 B．﹣ ，﹣2
C．﹣ ， ，﹣2 D． ，﹣2
【答案】A
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：依题意知m＞0，﹣ ＜0，m﹣n﹣2=0，
故n＜0，且n=m﹣2，m+n=m+m﹣2=2m﹣2，
于是0＜m＜2，
∴﹣2＜2m﹣2＜2，
又∵m+n为整数，
∴2m﹣2=﹣1，0，1，
故m= ，1， ，
n=﹣ ，﹣1，﹣ ，
∴mn=﹣ 或﹣1．
故答案为：A．
【分析】首先根据题意确定m、n的符号，然后进一步确定m的取值范围，根据m+n为整数确定m、n的值，从而确定答案．
7．（2017·苏州模拟）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】代数式求值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（﹣1，0），
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴a﹣b+c的值等于0．
故选B．
【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x=1的对称点为（﹣1，0），然后把（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣ =1，
则b=﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵x=0时，y＞0，对称轴是x=1，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，④正确；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）
A．a＞b＞c
B．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c＜0，由x=﹣1，得出﹣ =﹣1，故b＞0，b=2a，则b＞a＞c，故此选项错误；
B、∵a＞0，c＜0，∴一次函数y=ax+c的图象经一、三、四象限，故此选项错误；
C、当x=﹣1时，y最小，即a﹣b﹣c最小，故a﹣b+c＜am2+bm+c，即m（am+b）+b＞a，故此选项错误；
D．由图象可知x=1，a+b+c＞0，
∵b=2a，
∴a= b，
∴ b+b+c＞0
∴3b+2c＞0，正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的性质进行求解即可。
10．若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+m，
∴ = =n，
即m﹣1=n，
∴m﹣n=1．
故答案为：C．
【分析】把二次函数的解析式变形为顶点式，则得出m-1=n，从而得出m-n=1．
二、填空题
11．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【分析】根据二次函数的对称性及对称轴可求解。
12．（2017·广陵模拟）如果抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是x=1，那么b= ．
【答案】4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是直线x=1，
∴﹣ = =1，
解得：b=4．
【分析】根据二次函数图象的对称轴，把对称轴x=1和a=-2代入可求出b的值.
13．（2017·青浦模拟）抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是 ．
【答案】直线x=1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是：直线x=﹣ =1．
故答案为：直线x=1．
【分析】直接利用抛物线对称轴公式求出答案．
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②∵b=2a，
∴2a﹣b=0，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0，
故③错误；
④∵（﹣5，y1）关于直线x=﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞ ，
∴y1＞y2，
故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a-b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=-2时，y＜0，则得到4a-2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（-5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
15．（2017·孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故答案为②③④．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
16．如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是 ．
【答案】第三个
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=x2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x2+6x+8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，
y=x2﹣6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x2﹣12x+35对称轴是x=6，图象中第四个，
故答案为：第三个．
【分析】根据二次函数的对称轴，可得答案．
三、解答题
17．已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求二次函数图象的顶点坐标；
（3）直接写出函数y随x增大而减小的自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），
∴9a+12+2=﹣4，
∴a=﹣2
（2）解：∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）
（3）解：∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2＜0，
抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，函数y随自变量增大而减小
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】将点A（3，-4）代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值；利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标；根据二次函数的增减性即可求解．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．
【答案】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m﹣3=m（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标（1，﹣3）
（2）解：∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些整数为﹣1，0，1，2，3，
∴x=2时，y＜0；x=4时，y＞0；
∴ ，
解得：
（3）解：∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
而在3＜x＜4位于x轴上方，
∴抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，
∵在﹣1＜x＜0位于x轴下方，
∴抛物线过点（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+m﹣3得m+2m+m﹣3=0，
解得m=
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】利用配方法即可解决问题第一问．由于抛物线y=mx2-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，于是得到整数为-1，0，1，2，3，列不等式组即可得到结论第二问得解；根据抛物线y=mx2-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，而在3＜x＜4位于x轴上方，得到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于x轴的上方，根据已知条件得到抛物线过点（-1，0），把（-1，0）代入y=mx2-2mx+m-3即可得到第三问的结论．
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.2.4 二次函数的图象与性质
一、选择题
1．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+2x+b（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
5．（2017·北区模拟）二次函数y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（ ）
A．（2，﹣8） B．（2，8）
C．（﹣2，8） D．（﹣2，﹣8）
6．二次函数y=mx2﹣nx﹣2过点（1，0），且函数图象的顶点在第三象限，当m+n为整数时，则mn的值为（ ）
A．﹣ ，﹣1 B．﹣ ，﹣2
C．﹣ ， ，﹣2 D． ，﹣2
7．（2017·苏州模拟）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）
A．a＞b＞c
B．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0
10．若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
11．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为 ．
12．（2017·广陵模拟）如果抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是x=1，那么b= ．
13．（2017·青浦模拟）抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是 ．
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是 ．
15．（2017·孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有 （填序号）．
16．如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是 ．
三、解答题
17．已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求二次函数图象的顶点坐标；
（3）直接写出函数y随x增大而减小的自变量x的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴函数y=ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线开口向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+2x+b的图象相比较看是否一致．
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故答案为：A．
【分析】由二次函数解析式结合二次函数的性质可找出其顶点坐标，由其横、纵坐标均为正，即可得出该点在第一象限．
4．【答案】C
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故答案为：C．
【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，
∴其顶点坐标为（2，﹣8），
故选A．
【分析】把二次函数化成顶点式，可得出二次函数的顶点坐标．
6．【答案】A
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：依题意知m＞0，﹣ ＜0，m﹣n﹣2=0，
故n＜0，且n=m﹣2，m+n=m+m﹣2=2m﹣2，
于是0＜m＜2，
∴﹣2＜2m﹣2＜2，
又∵m+n为整数，
∴2m﹣2=﹣1，0，1，
故m= ，1， ，
n=﹣ ，﹣1，﹣ ，
∴mn=﹣ 或﹣1．
故答案为：A．
【分析】首先根据题意确定m、n的符号，然后进一步确定m的取值范围，根据m+n为整数确定m、n的值，从而确定答案．
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（﹣1，0），
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴a﹣b+c的值等于0．
故选B．
【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x=1的对称点为（﹣1，0），然后把（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣ =1，
则b=﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵x=0时，y＞0，对称轴是x=1，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，④正确；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c＜0，由x=﹣1，得出﹣ =﹣1，故b＞0，b=2a，则b＞a＞c，故此选项错误；
B、∵a＞0，c＜0，∴一次函数y=ax+c的图象经一、三、四象限，故此选项错误；
C、当x=﹣1时，y最小，即a﹣b﹣c最小，故a﹣b+c＜am2+bm+c，即m（am+b）+b＞a，故此选项错误；
D．由图象可知x=1，a+b+c＞0，
∵b=2a，
∴a= b，
∴ b+b+c＞0
∴3b+2c＞0，正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的性质进行求解即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+m，
∴ = =n，
即m﹣1=n，
∴m﹣n=1．
故答案为：C．
【分析】把二次函数的解析式变形为顶点式，则得出m-1=n，从而得出m-n=1．
11．【答案】（﹣2，0）
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【分析】根据二次函数的对称性及对称轴可求解。
12．【答案】4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是直线x=1，
∴﹣ = =1，
解得：b=4．
【分析】根据二次函数图象的对称轴，把对称轴x=1和a=-2代入可求出b的值.
13．【答案】直线x=1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是：直线x=﹣ =1．
故答案为：直线x=1．
【分析】直接利用抛物线对称轴公式求出答案．
14．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②∵b=2a，
∴2a﹣b=0，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0，
故③错误；
④∵（﹣5，y1）关于直线x=﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞ ，
∴y1＞y2，
故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a-b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=-2时，y＜0，则得到4a-2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（-5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
15．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故答案为②③④．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
16．【答案】第三个
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=x2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x2+6x+8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，
y=x2﹣6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x2﹣12x+35对称轴是x=6，图象中第四个，
故答案为：第三个．
【分析】根据二次函数的对称轴，可得答案．
17．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），
∴9a+12+2=﹣4，
∴a=﹣2
（2）解：∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）
（3）解：∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2＜0，
抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，函数y随自变量增大而减小
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】将点A（3，-4）代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值；利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标；根据二次函数的增减性即可求解．
18．【答案】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m﹣3=m（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标（1，﹣3）
（2）解：∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些整数为﹣1，0，1，2，3，
∴x=2时，y＜0；x=4时，y＞0；
∴ ，
解得：
（3）解：∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
而在3＜x＜4位于x轴上方，
∴抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，
∵在﹣1＜x＜0位于x轴下方，
∴抛物线过点（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+m﹣3得m+2m+m﹣3=0，
解得m=
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】利用配方法即可解决问题第一问．由于抛物线y=mx2-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，于是得到整数为-1，0，1，2，3，列不等式组即可得到结论第二问得解；根据抛物线y=mx2-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，而在3＜x＜4位于x轴上方，得到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于x轴的上方，根据已知条件得到抛物线过点（-1，0），把（-1，0）代入y=mx2-2mx+m-3即可得到第三问的结论．
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