2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.3 线段的垂直平分线 课时2
一、填空题
1．到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的 的交点,即三角形三条边的垂直平分线交于
【答案】垂直平分线；一点
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解 ：到三角形两顶点距离相等的点，应该在以这两个顶点为端点的边的垂直平分线上，同理得出 ：到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的垂直平分线的交点,从而得到 ：三角形三条边的垂直平分线交于一点 。
故答案为 ：垂直平分线 ；一点 。
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等，于是得到到三角形两顶点距离相等的点，应该在以这两个顶点为端点的边的垂直平分线上，同理得出 ：到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的垂直平分线的交点,从而得到 ：三角形三条边的垂直平分线交于一点 。
2．阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作一条线段的垂直平分线
已知:线段AB
小芸的作法如下:
如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD.
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作图依据是
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】根据线段中垂线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 从而得出C,D两点都在AB的中垂线上，又根据过两点有且只有一条直线，从而得出直线CD就是AB的中垂线 。
故答案为 ：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线 。
【分析】由作图过程知道，C到A,B两点的距离相等，所以点C在AB的中垂线上；D到A,B两点的距离相等，所以点D在AB的中垂线上 ;又根据过两点有且只有一条直线，从而得出直线CD就是AB的中垂线 。
3．如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC.那么：
（1）∠ADC= ；
（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD= ，△ABC的面积等于 .
【答案】（1）90°
（2）0°；4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵ 直线CD是线段AB的垂直平分线，
∴ ∠ADC=90° ；
（2）∵AC=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵ CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=30° ，AD=BD=2 ，
∴ CD=
∴S△ABC=AB·CD÷2=4×2 ÷2=4
【分析】（1）根据作图过程知道，直线CD是线段AB的垂直平分线，根据垂直的定义得出∠ADC=90° ；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得出∠ACD=∠BCD=30° ，AD=BD=2 ，根据勾股定理得出CD的长，从而根据三角形的面积计算公式计算出答案。
二、选择题
4．平面内到不在同一条直线上的三个点A，B，C的距离相等的点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：首先到A ，B两点距离相等的点的集合是AB的中垂线，同样，到B ，C两点距离相等的点的集合是BC的中垂线，那么要到A ，B，C距离都相等的点 ， 就是AB的中垂线与BC中垂线的交点 ，而两条直线相交有且只有一个交点；
故应选 ： B 。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出 ：首先到A ，B两点距离相等的点的集合是AB的中垂线，同样到B ，C两点距离相等的点的集合是BC的中垂线，那么要到A ，B，C距离都相等的点 ， 就是AB的中垂线与BC中垂线的交点 ，而两条直线相交有且只有一个交点，从而得出答案。
5．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故应选：A 。
【分析】由于猫蹲守的地方要到三个洞口的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质知 ，三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，从而得出答案。
6．已知△ABC三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，
∴△ABC的形状为直角三角形．
故应选：B 。
【分析】由△ABC的三边的垂直平分线交点若在内部，则为锐角三角形，若在外部，则为钝角三角形，在△ABC的边上，可得△ABC的形状为直角三角形；即可求得答案．
7．（2016八上·江苏期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，从而利用SSS判断出△ABD≌△ACD；根据中垂线的性质得出OA=OC，AE=CE，从而利用SSS判断出△AOE≌△COE；再利用SAS判断出△BOD≌△COD；利用SSS判断出△AOC≌△AOB；
8．如图，已知△ABC，ABA． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵PA＋PC＝BC＝PB＋PC，
∴ PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上。
故应选：D 。
【分析】由于点P在BC上，故BC＝PB＋PC，又PA＋PC＝BC，从而得出 PA＝PB ，根据垂直平分线的判定，到线段两个端点的距离相等的点应该在线段的垂直平分线上，从而得出结论。
9．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB=AC，且BC=a，BC边上的高AD=h.张红的作法是：(1)作线段BC=a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符，应该叙述为在MN上截取线段DA，使DA=h.
故应选：C 。
【分析】此题是一道作图题，作图题要注意语言的规范，此题错在第三步，在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符。
10．（2017八下·潍坊开学考）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故选C．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°.
（1）用尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
（2）求证：BD平分∠CBA.
【答案】（1）解：如图①所示.
（2）解：证明：连接BD，如图②所示.∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.
∴∠A=∠DBA=40°.
∴∠DBA= ∠CBA.
∴BD平分∠CBA
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A，B两点为圆心，以大于AB长度一半得长度为半径作弧，两弧在AB的两侧分别相交，过弧的两交点作直线，交AC于点D，交AB于点E，这条直线就是所求的AB的中垂线；
（2）：连接BD，根据三角形的内角和得出∠CBA=80°，根据中垂线的性质得出AD=BD ，根据等边对等角得出∠A=∠DBA=40° ，从而得出∠DBA= ∠CBA，即BD平分∠CBA。
12．如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于 AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,与AC,BC分别交于点D,E,连接AE.
（1）求∠ADE的度数(直接写出结果);
（2）当AB=3,BC=4时,求△ABE的周长.
【答案】（1）解：∠ADE=90° 。
（2）解：由题意知MN是线段AC的垂直平分线 ，,∴AE=EC；
∴AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7，
即△ABE的周长为7 。
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据作图过程知道：MN是AC的中垂线，根据垂直的定义得出∠ADE=90° ；
（2）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离x相等，得出AE=EC，根据三角形周长得计算方法及等量代换得出△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC,从而得出答案。
13．如图,在△ABC中,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD交PE于点F.求证:DF=DC.
【答案】证明:连接PA, 则PA=PB,∴∠B=∠PAB=22.5° ，∴∠APD=45°.又∵AD⊥BC∴PD=AD.∵AD⊥BC,∴∠DPF+∠PFD=90°.∵PE⊥AC,∴∠AFE+∠DAC=90°.又∵∠AFE=∠PFD,∴∠DPF=∠DAC.在△PDF和△ADC中, ∴△PDF≌△ADC(ASA).∴DF=DC.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】:连接PA,根据中垂线的性质定理得出PA=PB,根据等边对等角得出∠B=∠PAB=22.5° ，根据三角形的外角定理得出∠APD=45°，根据等腰直角三角形的性质得出PD=AD ，然后根据等角的余角相等得出∠DPF=∠DAC，然后利用ASA判断出△PDF≌△ADC ，根据全等三角形对应边相等得出DF=DC.
14．如图,在△ABC中,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF.
求证:BE+CF>EF.
【答案】证明:如图,延长ED至点M,使DM=ED,连接MC,MF,则EF=FM .∵BD=CD,ED=DM,∠EDB=∠CDM,∴△BDE≌△CDM(SAS).∴BE=CM.∵CF+CM>MF,∴BE+CF>EF.
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】延长ED至点M,使DM=ED,连接MC,MF,根据中垂线的性质得出 ：EF=FM ,然后利用SAS判断出△BDE≌△CDM ，根据全等三角形的对应边相等得出BE=CM ，根据三角形三边之间的关系得出CF+CM>MF,然后等量代换得出BE+CF>EF. 。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.3 线段的垂直平分线 课时2
一、填空题
1．到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的 的交点,即三角形三条边的垂直平分线交于
2．阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作一条线段的垂直平分线
已知:线段AB
小芸的作法如下:
如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD.
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作图依据是
3．如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC.那么：
（1）∠ADC= ；
（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD= ，△ABC的面积等于 .
二、选择题
4．平面内到不在同一条直线上的三个点A，B，C的距离相等的点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
6．已知△ABC三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
7．（2016八上·江苏期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，已知△ABC，ABA． B．
C． D．
9．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB=AC，且BC=a，BC边上的高AD=h.张红的作法是：(1)作线段BC=a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
10．（2017八下·潍坊开学考）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°.
（1）用尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
（2）求证：BD平分∠CBA.
12．如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于 AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,与AC,BC分别交于点D,E,连接AE.
（1）求∠ADE的度数(直接写出结果);
（2）当AB=3,BC=4时,求△ABE的周长.
13．如图,在△ABC中,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD交PE于点F.求证:DF=DC.
14．如图,在△ABC中,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF.
求证:BE+CF>EF.
答案解析部分
1．【答案】垂直平分线；一点
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解 ：到三角形两顶点距离相等的点，应该在以这两个顶点为端点的边的垂直平分线上，同理得出 ：到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的垂直平分线的交点,从而得到 ：三角形三条边的垂直平分线交于一点 。
故答案为 ：垂直平分线 ；一点 。
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等，于是得到到三角形两顶点距离相等的点，应该在以这两个顶点为端点的边的垂直平分线上，同理得出 ：到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的垂直平分线的交点,从而得到 ：三角形三条边的垂直平分线交于一点 。
2．【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】根据线段中垂线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 从而得出C,D两点都在AB的中垂线上，又根据过两点有且只有一条直线，从而得出直线CD就是AB的中垂线 。
故答案为 ：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线 。
【分析】由作图过程知道，C到A,B两点的距离相等，所以点C在AB的中垂线上；D到A,B两点的距离相等，所以点D在AB的中垂线上 ;又根据过两点有且只有一条直线，从而得出直线CD就是AB的中垂线 。
3．【答案】（1）90°
（2）0°；4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵ 直线CD是线段AB的垂直平分线，
∴ ∠ADC=90° ；
（2）∵AC=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵ CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=30° ，AD=BD=2 ，
∴ CD=
∴S△ABC=AB·CD÷2=4×2 ÷2=4
【分析】（1）根据作图过程知道，直线CD是线段AB的垂直平分线，根据垂直的定义得出∠ADC=90° ；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得出∠ACD=∠BCD=30° ，AD=BD=2 ，根据勾股定理得出CD的长，从而根据三角形的面积计算公式计算出答案。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：首先到A ，B两点距离相等的点的集合是AB的中垂线，同样，到B ，C两点距离相等的点的集合是BC的中垂线，那么要到A ，B，C距离都相等的点 ， 就是AB的中垂线与BC中垂线的交点 ，而两条直线相交有且只有一个交点；
故应选 ： B 。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出 ：首先到A ，B两点距离相等的点的集合是AB的中垂线，同样到B ，C两点距离相等的点的集合是BC的中垂线，那么要到A ，B，C距离都相等的点 ， 就是AB的中垂线与BC中垂线的交点 ，而两条直线相交有且只有一个交点，从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故应选：A 。
【分析】由于猫蹲守的地方要到三个洞口的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质知 ，三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，
∴△ABC的形状为直角三角形．
故应选：B 。
【分析】由△ABC的三边的垂直平分线交点若在内部，则为锐角三角形，若在外部，则为钝角三角形，在△ABC的边上，可得△ABC的形状为直角三角形；即可求得答案．
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，从而利用SSS判断出△ABD≌△ACD；根据中垂线的性质得出OA=OC，AE=CE，从而利用SSS判断出△AOE≌△COE；再利用SAS判断出△BOD≌△COD；利用SSS判断出△AOC≌△AOB；
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵PA＋PC＝BC＝PB＋PC，
∴ PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上。
故应选：D 。
【分析】由于点P在BC上，故BC＝PB＋PC，又PA＋PC＝BC，从而得出 PA＝PB ，根据垂直平分线的判定，到线段两个端点的距离相等的点应该在线段的垂直平分线上，从而得出结论。
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符，应该叙述为在MN上截取线段DA，使DA=h.
故应选：C 。
【分析】此题是一道作图题，作图题要注意语言的规范，此题错在第三步，在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符。
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故选C．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
11．【答案】（1）解：如图①所示.
（2）解：证明：连接BD，如图②所示.∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.
∴∠A=∠DBA=40°.
∴∠DBA= ∠CBA.
∴BD平分∠CBA
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A，B两点为圆心，以大于AB长度一半得长度为半径作弧，两弧在AB的两侧分别相交，过弧的两交点作直线，交AC于点D，交AB于点E，这条直线就是所求的AB的中垂线；
（2）：连接BD，根据三角形的内角和得出∠CBA=80°，根据中垂线的性质得出AD=BD ，根据等边对等角得出∠A=∠DBA=40° ，从而得出∠DBA= ∠CBA，即BD平分∠CBA。
12．【答案】（1）解：∠ADE=90° 。
（2）解：由题意知MN是线段AC的垂直平分线 ，,∴AE=EC；
∴AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7，
即△ABE的周长为7 。
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据作图过程知道：MN是AC的中垂线，根据垂直的定义得出∠ADE=90° ；
（2）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离x相等，得出AE=EC，根据三角形周长得计算方法及等量代换得出△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC,从而得出答案。
13．【答案】证明:连接PA, 则PA=PB,∴∠B=∠PAB=22.5° ，∴∠APD=45°.又∵AD⊥BC∴PD=AD.∵AD⊥BC,∴∠DPF+∠PFD=90°.∵PE⊥AC,∴∠AFE+∠DAC=90°.又∵∠AFE=∠PFD,∴∠DPF=∠DAC.在△PDF和△ADC中, ∴△PDF≌△ADC(ASA).∴DF=DC.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】:连接PA,根据中垂线的性质定理得出PA=PB,根据等边对等角得出∠B=∠PAB=22.5° ，根据三角形的外角定理得出∠APD=45°，根据等腰直角三角形的性质得出PD=AD ，然后根据等角的余角相等得出∠DPF=∠DAC，然后利用ASA判断出△PDF≌△ADC ，根据全等三角形对应边相等得出DF=DC.
14．【答案】证明:如图,延长ED至点M,使DM=ED,连接MC,MF,则EF=FM .∵BD=CD,ED=DM,∠EDB=∠CDM,∴△BDE≌△CDM(SAS).∴BE=CM.∵CF+CM>MF,∴BE+CF>EF.
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】延长ED至点M,使DM=ED,连接MC,MF,根据中垂线的性质得出 ：EF=FM ,然后利用SAS判断出△BDE≌△CDM ，根据全等三角形的对应边相等得出BE=CM ，根据三角形三边之间的关系得出CF+CM>MF,然后等量代换得出BE+CF>EF. 。
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