人教A版（2019）选择性必修第三册 6.3 二项式定理
一、选择题（共12小题）
1．在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．32 B．-32 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】在二项式 中，令 ，得 ，故展开式中各项系数的和为 0．
故答案为：C
【分析】令 即可求得展开式中各项系数的和，得到答案．
2．（2020高二下·东城期末） 展开式中各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令 ，得 展开式中各项系数之和为 .
故答案为：A.
【分析】 令x=1即可求得 展开式中各项系数之和．
3．二项展开式 中的奇次幂项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】设 ．
令 得，
再令 得，
由①-②可得 ．
故答案为：B
【分析】分别令和令 ，根据两式相减，即可求解.
4．已知 ，则 （ ）
A．63 B．64 C．31 D．32
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：逆用二项式定理得 ，
则.
故选：A
【分析】先逆用二项式定理求得n的值，再由二项式系数和即可得答案.
5． 的值为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】原式 ．
故选：B
【分析】由二项式系数和的性质直接得答案.
6． 的展开式中的常数项为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项为
，
令 ，
解得 ．
的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以所求常数项为 ．
故答案为：D．
【分析】求得展开式的通项 ，求得，得到 的展开式的通项 ，令 ，代入即可求解.
7．设 ，且 ，若 能被 13 整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 ，能被13整除， ，故
故答案为：B
【分析】由二项式定理可知，将其展开后即可判断出只要-1+a能被13整除， 即能被 13 整除，结合已知a的范围即可求解.
8． 的展开式中， 的奇次幂的系数之和是（ ）
A．2048 B．-1023 C．-1024 D．1024
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，
令 ，则 ，… ①
令 ，则 ，… ②
．
故答案为：D
【分析】根据二项展开式，令和 ，两式相减，即可求解.
9．设 ，，则 的值为（ ）
A．128 B．129 C．47 D．0
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】A-B= =128
故答案为：A
【分析】根据二项展开式性质，得到 ，即可求解.
10．已知 的展开式中 项的系数与 项的系数分别为 135 与-18，则 的展开式中所有项系数之和为（ ）
A．-1 B．1 C．32 D．64
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项展开式的通项公式可知 项的系数为 ， 项的系数为 ，则由题意可得 解得 ，故 的展开式中所有项的系数之和为 ．
故答案为：D
【分析】由二项展开式的通项公式可知 和项的系数，列出方程组，求得 ，进而得到二项式展开式中所有项的系数之和 ．
11．设 ，且 ，若 能被 13 整除，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．11
D．12
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 ，能被13整除， ，故
故答案为：B
【分析】由二项式定理可知，将其展开后即可判断出只要-1+a能被13整除， 即能被 13 整除，结合已知a的范围即可求解.
12．（2016·肇庆模拟）若（x6 ）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意，（x6 ）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（ ）r=Cnr =Cnr
令6n﹣ r=0，得n= r，当r=4时，n取到最小值5
故选：C．
【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（ ）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．
二、填空题（共7小题）
13．若，则 的值为 ．
【答案】-1
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令x=0，得a0=1，
令x=，得 ，
则 .
故答案为：-1
【分析】令x=0，得a0=1，再令x=，得 ， 从而得答案.
14． 的展开式中， 的系数等于 （用数字作答）．
【答案】120
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：(1-3x)4的通项公式为，
则 展开式中 项为，
故所求系数为120.
故答案为：120
【分析】由二项式定理写出(1-3x)4的通项公式，再分两种情况写出答案.
15． ．
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由二项式定理，得 ，
故答案为：
【分析】由二项式定理直接计算得答案.
16．若将函数 表示成 ，则 的值等于 .
【答案】20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为f(x)=x6=[1+(x-1)]6，
所以 ，
故答案为：20
【分析】由f(x)=x6=[1+(x-1)]6，结合二项式定理得答案.
17．在 二项展开式中， 的一次项系数为 （用数字作答）．
【答案】-80
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意知，通项公式为，
令10-3r=1，得r=3，
则 的一次项系数为，
故答案为：-80
【分析】由题意写出通项公式，令10-3r=1，得r，代入即可得答案.
18．已知 ，若对任意的 ，都有 ，则 ．
【答案】6
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，(x+2)n=[(x-1)+3]n，
其通项公式为，
则有，
即，
解得n=6，
故答案为：6
【分析】由(x+2)n=[(x-1)+3]n，得其通项公式，易得，解n即得.
19．若 展开式的各二项式系数和为 16，则展开式中奇数项的系数和为 ．
【答案】353
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 展开式的各二项式系数和为 16，
所以2n=16，
解得n=4，
则二项式即为 ，
令x=1得，
令x=-1得，
两式相加，得，
故展开式奇数项的系数和为353，
故答案为：353.
【分析】由二项式系数和可得n=4，分别令x=1和x=-1，两式相加求得结果.
三、解答题（共6小题）
20．用二项式定理展开下列两式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】（1）根据二项式的展开式的形式，即可求解；
（2）根据二项式的展开式的形式，即可求解.
21．求多项式 展开式中各项系数和．
【答案】解：设
则各项系数和为 ．
又因为f（1）= = =
所以各项系数和为
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】 设 ，令，即可求解各项系数和.
22．若 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）解：求二项展开式中各项系数之和，相当于去掉展开式中的未知字母 ，这可由赋值法令 实现．则
（2）解：若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令 ，
则
将①，②两式相加得： ，
则
（3）解：将①，②两式相减得： ，
则
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1） 由赋值法令 ，即可求得 的值；
（2） 由赋值法令 ，得到，两式相减，即可求解；
（3） 将和，将两式相减，即可求得的值.
23．求和：．
【答案】解： =
=
=
=
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】化简原式为 ，即可求解.
24．已知 （）．
（1）若其展开式后三项的二项式系数的和等于
，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若 为满足 的整数，且展开式中有常数项，试求 的值和常数项．
【答案】（1）解：由已知得 ，
整理得 ，即 ，解得 或 （舍去）．
则 ，其展开式中二项式系数最大的项为第 项和第 项，
即 ，
（2）解： 的展开式的通项为 ．
设第 项为常数项，则有 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 或 ，
当 时， ；
当 时， （不合题意，舍去），
所以 ，即当 时，展开式中有常数项，
常数项为 ．
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1） 根据题意求得，得到儿媳是 ，得到展开式中二项式系数最大的项为第 项和第 项，结合二项展开式的通项，即可求得 展开式中二项式系数最大的项；
（2） 求得展开式的通项 ，设第 项为常数项，得到 ，得出 或 ，进而得到当 时，展开式中有常数项，并求得常数项的值.
25．证明 能被64整除 ．
【答案】证明： = = = =
因为 是整数，
所以 能被 64 整除．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】化简 ，结合 是整数，即可可证.
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一、选择题（共12小题）
1．在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．32 B．-32 C．0 D．1
2．（2020高二下·东城期末） 展开式中各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．1
3．二项展开式 中的奇次幂项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A．63 B．64 C．31 D．32
5． 的值为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
6． 的展开式中的常数项为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
7．设 ，且 ，若 能被 13 整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
8． 的展开式中， 的奇次幂的系数之和是（ ）
A．2048 B．-1023 C．-1024 D．1024
9．设 ，，则 的值为（ ）
A．128 B．129 C．47 D．0
10．已知 的展开式中 项的系数与 项的系数分别为 135 与-18，则 的展开式中所有项系数之和为（ ）
A．-1 B．1 C．32 D．64
11．设 ，且 ，若 能被 13 整除，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．11
D．12
12．（2016·肇庆模拟）若（x6 ）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共7小题）
13．若，则 的值为 ．
14． 的展开式中， 的系数等于 （用数字作答）．
15． ．
16．若将函数 表示成 ，则 的值等于 .
17．在 二项展开式中， 的一次项系数为 （用数字作答）．
18．已知 ，若对任意的 ，都有 ，则 ．
19．若 展开式的各二项式系数和为 16，则展开式中奇数项的系数和为 ．
三、解答题（共6小题）
20．用二项式定理展开下列两式：
（1） ．
（2） ．
21．求多项式 展开式中各项系数和．
22．若 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
23．求和：．
24．已知 （）．
（1）若其展开式后三项的二项式系数的和等于
，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若 为满足 的整数，且展开式中有常数项，试求 的值和常数项．
25．证明 能被64整除 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】在二项式 中，令 ，得 ，故展开式中各项系数的和为 0．
故答案为：C
【分析】令 即可求得展开式中各项系数的和，得到答案．
2．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令 ，得 展开式中各项系数之和为 .
故答案为：A.
【分析】 令x=1即可求得 展开式中各项系数之和．
3．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】设 ．
令 得，
再令 得，
由①-②可得 ．
故答案为：B
【分析】分别令和令 ，根据两式相减，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：逆用二项式定理得 ，
则.
故选：A
【分析】先逆用二项式定理求得n的值，再由二项式系数和即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】原式 ．
故选：B
【分析】由二项式系数和的性质直接得答案.
6．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项为
，
令 ，
解得 ．
的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以所求常数项为 ．
故答案为：D．
【分析】求得展开式的通项 ，求得，得到 的展开式的通项 ，令 ，代入即可求解.
7．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 ，能被13整除， ，故
故答案为：B
【分析】由二项式定理可知，将其展开后即可判断出只要-1+a能被13整除， 即能被 13 整除，结合已知a的范围即可求解.
8．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，
令 ，则 ，… ①
令 ，则 ，… ②
．
故答案为：D
【分析】根据二项展开式，令和 ，两式相减，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】A-B= =128
故答案为：A
【分析】根据二项展开式性质，得到 ，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项展开式的通项公式可知 项的系数为 ， 项的系数为 ，则由题意可得 解得 ，故 的展开式中所有项的系数之和为 ．
故答案为：D
【分析】由二项展开式的通项公式可知 和项的系数，列出方程组，求得 ，进而得到二项式展开式中所有项的系数之和 ．
11．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 ，能被13整除， ，故
故答案为：B
【分析】由二项式定理可知，将其展开后即可判断出只要-1+a能被13整除， 即能被 13 整除，结合已知a的范围即可求解.
12．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意，（x6 ）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（ ）r=Cnr =Cnr
令6n﹣ r=0，得n= r，当r=4时，n取到最小值5
故选：C．
【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（ ）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．
13．【答案】-1
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令x=0，得a0=1，
令x=，得 ，
则 .
故答案为：-1
【分析】令x=0，得a0=1，再令x=，得 ， 从而得答案.
14．【答案】120
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：(1-3x)4的通项公式为，
则 展开式中 项为，
故所求系数为120.
故答案为：120
【分析】由二项式定理写出(1-3x)4的通项公式，再分两种情况写出答案.
15．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由二项式定理，得 ，
故答案为：
【分析】由二项式定理直接计算得答案.
16．【答案】20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为f(x)=x6=[1+(x-1)]6，
所以 ，
故答案为：20
【分析】由f(x)=x6=[1+(x-1)]6，结合二项式定理得答案.
17．【答案】-80
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意知，通项公式为，
令10-3r=1，得r=3，
则 的一次项系数为，
故答案为：-80
【分析】由题意写出通项公式，令10-3r=1，得r，代入即可得答案.
18．【答案】6
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，(x+2)n=[(x-1)+3]n，
其通项公式为，
则有，
即，
解得n=6，
故答案为：6
【分析】由(x+2)n=[(x-1)+3]n，得其通项公式，易得，解n即得.
19．【答案】353
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 展开式的各二项式系数和为 16，
所以2n=16，
解得n=4，
则二项式即为 ，
令x=1得，
令x=-1得，
两式相加，得，
故展开式奇数项的系数和为353，
故答案为：353.
【分析】由二项式系数和可得n=4，分别令x=1和x=-1，两式相加求得结果.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】（1）根据二项式的展开式的形式，即可求解；
（2）根据二项式的展开式的形式，即可求解.
21．【答案】解：设
则各项系数和为 ．
又因为f（1）= = =
所以各项系数和为
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】 设 ，令，即可求解各项系数和.
22．【答案】（1）解：求二项展开式中各项系数之和，相当于去掉展开式中的未知字母 ，这可由赋值法令 实现．则
（2）解：若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令 ，
则
将①，②两式相加得： ，
则
（3）解：将①，②两式相减得： ，
则
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1） 由赋值法令 ，即可求得 的值；
（2） 由赋值法令 ，得到，两式相减，即可求解；
（3） 将和，将两式相减，即可求得的值.
23．【答案】解： =
=
=
=
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】化简原式为 ，即可求解.
24．【答案】（1）解：由已知得 ，
整理得 ，即 ，解得 或 （舍去）．
则 ，其展开式中二项式系数最大的项为第 项和第 项，
即 ，
（2）解： 的展开式的通项为 ．
设第 项为常数项，则有 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 或 ，
当 时， ；
当 时， （不合题意，舍去），
所以 ，即当 时，展开式中有常数项，
常数项为 ．
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1） 根据题意求得，得到儿媳是 ，得到展开式中二项式系数最大的项为第 项和第 项，结合二项展开式的通项，即可求得 展开式中二项式系数最大的项；
（2） 求得展开式的通项 ，设第 项为常数项，得到 ，得出 或 ，进而得到当 时，展开式中有常数项，并求得常数项的值.
25．【答案】证明： = = = =
因为 是整数，
所以 能被 64 整除．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】化简 ，结合 是整数，即可可证.
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