湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习
一、选择题
1．以下条件不可以判定△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A． = =
B． = ，且∠A=∠A’
C．∠A=∠B’，∠B=∠C’
D． = ，且∠A=∠A’
2．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017九上·安图期末）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2017·兰州模拟）如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列条件中，不能判断△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A=45°，∠C=26°，∠A′=45°，∠B′=109°
B．AB=1，AC= ，BC=2，A′B′=6，A′C′=9，B′C′=12
C．AB=1.5，AC= ，∠A=36°，A′B′=2.1，A′C′=1.5，∠A′=36°
D．AB=2，BC=1，∠C=90°，A′B′= ，B′C′= ，∠B′=90°
8．如图，△ABC中，AB=4，BC=6．点D，点E分别是边AB，BC上的两个动点，若按照下列条件将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
A．∠BDE=∠C B．DE∥AC C．AD=3，BE=2 D．AD=1，CE=4
9．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2017·黄浦模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 ．
11．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有 （填序号）
12．（2017·和平模拟）如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．
在②～⑥中，与①相似的三角形的个数是 ．
13．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为 ．
14．在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，当 = 时，△ABC∽△DEF．
15．如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D也在格点位置（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D的坐标是 ．
三、解答题
16．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
17．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于F．
（1）求证：△AGC∽△EFB．
（2）除（1）中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．
19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 = = ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．
21．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为 = = ，所以△ABC∽△A′B′C′，即A选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
B、因为 = ，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′，即B选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
C、因为∠A=∠B′，∠B=∠C′，所以△ABC∽△B′C′A′，即C选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
D、因为 = ，∠C=∠C′，所以△ABC∽△A′B′C′，即D选项不可以判断△ABC与△A′B′C′相似．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知A正确；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知B正确；两角对应相等，两个三角形相似，可知C正确；D项∠A、∠A’不是夹角，故不可以。
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2， ， ，
同理求得：A中三角形的各边长为： ，1， ，与△ABC的各边对应成比例，
所以两三角形相似；
故答案为：A
【分析】设每个小正方形的边长为1，可求△ABC的各边长，根据勾股定理可求选项中每个三角形的各个边长，根据三边对应成比例，两个三角形相似，可判定A项符合。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A、 = = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、 = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、 = = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、 = = ，对应边 = = = ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：⑴剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
⑵剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
⑶两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
⑷两三角形两角对应相等，故两三角形相似．
故答案为：C．
【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，（1）（2）（4）均符合，故两三角形相似；对于（3）两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠APD=90°，
而∠PAB≠∠PCB，∠PBA≠∠PAC，
∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故B、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AB= PA，AC= PA，AD= PA，BD=2PA，
∴
∴
∴△ABC∽△DBA，故C正确．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A中对应角相等，所以可判断其相似，A不符合题意；
B中三边对应成比例，即三角形的形状相同，所以相似，大小没有限制，比例常数是没有限制的，所以B不符合题意；
C中∠A相等，边长比确定，即形状确定，所以C也相似，不符合题意；
D中对应角不相等，当A′C′= 时，才会相似，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】两角对应相等，可知A项可以判断两三角形相似；三边对应成比例，可知B项可以判断两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，可知C项可以判断两三角形相似；D中对应角不相等，不可以判断两个三角形相似。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠BDE=∠C，∠B=∠B，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、DE∥AC，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、 ，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D、 ，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，可知A项不可选；平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似，可知B项不可选；两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，可选C；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知D项不可选。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵ = = ，对应边 = = ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
B、∵ = ，对应边 = ，即： = ，∠C=∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
C、∵ = ，对应边 = = ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
D、∵ = = ，
= ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知B项符合。
10．【答案】4或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时， = ，即 = ，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时， = ，即 = ，解得AP= ．
故答案为：4或 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
11．【答案】③④⑤
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、 、 ．则
②△BCD的各边长分别为1、 、2 ；
③△BDE的各边长分别为2、2 、2 （为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、 、 （为△ABC各边长的 倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、 、 （为△ABC各边长的 倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、 、 ．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可求得△ABC的各边长，同理用勾股定理分别求出△BCD、△BDE、△BFG、△FGH、△EFK的各边长，最后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似分别判断是否与△ABC相似。
12．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：AB=1，AC= ，BC= = ，CD=1，BD=2 ，DE=2，BF=EF= ，BE=2 ，FH=2，EK=HG= ，FG= = ，BG=5，
∵ = ， = ， = ，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵ = ， = =2， = =2，
∴△DEB∽△ABC；
∵ = ， = = ， = = ，
∵△FBG∽△ABC；
∵ = ， = = ， = = ，
∴△HGF∽△ABC；
∵ = ， = = ， = = ，
∴△EKF与△ABC不相似．
故答案为3．
【分析】先利用勾股定理计算出BC= ，BD=2 ，BF=EF= ，BE=2 ，EK=HG= ，FG= ，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF与△ABC是否相似．
13．【答案】4或6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△AMN和△ABC相似，
∴①如图1，△AMN∽△ABC，
∴ ，
∵AM=3，AC=6，BC=12，AB=9，
∴ ，MN=4．
②如图2，△AMN∽△ACB，
∴ ，
∵AM=3，AC=6，BC=12，
∴ ，MN=6，
综上MN为4或6．
故答案为：4或6．
【分析】由△AMN和△ABC相似，由于对应边不确定，分两种情况讨论：①当△AMN∽△ABC时，==，代入数据可得MN的长；②当△AMN∽△ACB时，==代入数据可得MN的长。
14．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，
∵BC：EF=2：1．
∴△ABC∽△DEF．
故答案为：2
【分析】根据三边对应成比例，可判定两个三角形相似，此时==，代入数据求解即可。
15．【答案】（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵方格中小正方形的边长为1，
∴AB=1、BC= 、AC= ，
∵△DBC与△ABC相似，
∴BC= 、CD=2、BD= ，
如图可知这样的点D如图：
坐标分别为：（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
故答案为：（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
【分析】根据勾股定理先求得AB=1、BC= 、AC= ， 由△DBC与△ABC相似可得BC= 、CD=2、BD= ， 再找得点D坐标为（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）。
16．【答案】解：∵ ， ， ，
∴这两个三角形相似
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知这两个三角形相似。
17．【答案】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2 ，BC=2 ，DE= ，DF= ，EF=2，
∵ = ， = = ， = = ，
∴ = = ，
∴△ABC∽△DEF
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据勾股定理计算△ABC和△DEF的各边长，再根据“三边对应成比例，两个三角形相似”，判定△ABC和△DEF是否相似。
18．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AE∴∠FDG=∠FEG=90°∴∠DGE+∠DFE=360°﹣90°﹣90°=180°
又∠BFE+∠DFE=180°，
∴∠BFE=∠DGE，
又∠DGE=∠AGC
∴∠AGC=∠BFE，
又∠ACB=∠FEG=90°
∴∠AEC+∠BEF=180°﹣90°=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BEF，
∴△AGC∽△EFB
（2）解：有．∵∠GAD=∠FAE，∠ADG=∠AEF=90°，∴△AGD∽△AFE；
∴∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，同理得△BCD∽△BAC，∴△ACD∽△CBD，
即△ACD∽△ABC∽△CBD，
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在四边形DGEF中，根据四边形内角和定理得∠DGE+∠DFE=180°，又∠BFE+∠DFE=180，根据”同角的补角相等”可得∠BFE=∠DGE，进一步可得∠AGC=∠BFE，再根据∠AEC+∠BEF=90°、∠AEC+∠EAC=90°由“同角的余角相等”可得∠EAC=∠BEF，最后由“两角对应相等两三角形相似"可得△AGC∽△EFB。（2）根据“两角对应相等两三角形相似"，可得△AGD∽△AFE，由相似三角形性质可得∠CAD=∠BAC，进一步得出△ACD∽△ABC∽△CBD。
19．【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．理由：∵ = = ，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．∵ = ，∴ = ．在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三边对应成比例，则两个三角形相似，可判定△ABC∽△AED，再根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠BAE=∠CAD。（2）由=可得=再由∠BAE=∠CAD，根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ACD。
20．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=45°，又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE
（2）解：在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求．∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE，∵AB=AC，
∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得∠DEC=∠ADB，又∠ABD=∠DCE，根据“两角对应相等，两个三角形相似”，可得△ABD∽△DCE。（2）由（1）知，△ABD∽△DCE，再加一个条件“AB=CD”即可证明全等，可得∠ADC=∠CAD，最后求得∠EDC。
21．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5，
∵∠A=∠A，
∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）；
当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）；
∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似
（2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t），
QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形．
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。
1 / 1湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习
一、选择题
1．以下条件不可以判定△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A． = =
B． = ，且∠A=∠A’
C．∠A=∠B’，∠B=∠C’
D． = ，且∠A=∠A’
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为 = = ，所以△ABC∽△A′B′C′，即A选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
B、因为 = ，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′，即B选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
C、因为∠A=∠B′，∠B=∠C′，所以△ABC∽△B′C′A′，即C选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
D、因为 = ，∠C=∠C′，所以△ABC∽△A′B′C′，即D选项不可以判断△ABC与△A′B′C′相似．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知A正确；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知B正确；两角对应相等，两个三角形相似，可知C正确；D项∠A、∠A’不是夹角，故不可以。
2．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2， ， ，
同理求得：A中三角形的各边长为： ，1， ，与△ABC的各边对应成比例，
所以两三角形相似；
故答案为：A
【分析】设每个小正方形的边长为1，可求△ABC的各边长，根据勾股定理可求选项中每个三角形的各个边长，根据三边对应成比例，两个三角形相似，可判定A项符合。
3．（2017九上·安图期末）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A、 = = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、 = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、 = = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、 = = ，对应边 = = = ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
4．如图，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：⑴剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
⑵剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
⑶两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
⑷两三角形两角对应相等，故两三角形相似．
故答案为：C．
【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，（1）（2）（4）均符合，故两三角形相似；对于（3）两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似。
5．（2017·兰州模拟）如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠APD=90°，
而∠PAB≠∠PCB，∠PBA≠∠PAC，
∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故B、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AB= PA，AC= PA，AD= PA，BD=2PA，
∴
∴
∴△ABC∽△DBA，故C正确．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
7．下列条件中，不能判断△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A=45°，∠C=26°，∠A′=45°，∠B′=109°
B．AB=1，AC= ，BC=2，A′B′=6，A′C′=9，B′C′=12
C．AB=1.5，AC= ，∠A=36°，A′B′=2.1，A′C′=1.5，∠A′=36°
D．AB=2，BC=1，∠C=90°，A′B′= ，B′C′= ，∠B′=90°
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A中对应角相等，所以可判断其相似，A不符合题意；
B中三边对应成比例，即三角形的形状相同，所以相似，大小没有限制，比例常数是没有限制的，所以B不符合题意；
C中∠A相等，边长比确定，即形状确定，所以C也相似，不符合题意；
D中对应角不相等，当A′C′= 时，才会相似，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】两角对应相等，可知A项可以判断两三角形相似；三边对应成比例，可知B项可以判断两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，可知C项可以判断两三角形相似；D中对应角不相等，不可以判断两个三角形相似。
8．如图，△ABC中，AB=4，BC=6．点D，点E分别是边AB，BC上的两个动点，若按照下列条件将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
A．∠BDE=∠C B．DE∥AC C．AD=3，BE=2 D．AD=1，CE=4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠BDE=∠C，∠B=∠B，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、DE∥AC，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、 ，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D、 ，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，可知A项不可选；平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似，可知B项不可选；两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，可选C；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知D项不可选。
9．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵ = = ，对应边 = = ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
B、∵ = ，对应边 = ，即： = ，∠C=∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
C、∵ = ，对应边 = = ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
D、∵ = = ，
= ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知B项符合。
二、填空题
10．（2017·黄浦模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 ．
【答案】4或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时， = ，即 = ，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时， = ，即 = ，解得AP= ．
故答案为：4或 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
11．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有 （填序号）
【答案】③④⑤
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、 、 ．则
②△BCD的各边长分别为1、 、2 ；
③△BDE的各边长分别为2、2 、2 （为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、 、 （为△ABC各边长的 倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、 、 （为△ABC各边长的 倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、 、 ．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可求得△ABC的各边长，同理用勾股定理分别求出△BCD、△BDE、△BFG、△FGH、△EFK的各边长，最后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似分别判断是否与△ABC相似。
12．（2017·和平模拟）如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．
在②～⑥中，与①相似的三角形的个数是 ．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：AB=1，AC= ，BC= = ，CD=1，BD=2 ，DE=2，BF=EF= ，BE=2 ，FH=2，EK=HG= ，FG= = ，BG=5，
∵ = ， = ， = ，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵ = ， = =2， = =2，
∴△DEB∽△ABC；
∵ = ， = = ， = = ，
∵△FBG∽△ABC；
∵ = ， = = ， = = ，
∴△HGF∽△ABC；
∵ = ， = = ， = = ，
∴△EKF与△ABC不相似．
故答案为3．
【分析】先利用勾股定理计算出BC= ，BD=2 ，BF=EF= ，BE=2 ，EK=HG= ，FG= ，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF与△ABC是否相似．
13．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为 ．
【答案】4或6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△AMN和△ABC相似，
∴①如图1，△AMN∽△ABC，
∴ ，
∵AM=3，AC=6，BC=12，AB=9，
∴ ，MN=4．
②如图2，△AMN∽△ACB，
∴ ，
∵AM=3，AC=6，BC=12，
∴ ，MN=6，
综上MN为4或6．
故答案为：4或6．
【分析】由△AMN和△ABC相似，由于对应边不确定，分两种情况讨论：①当△AMN∽△ABC时，==，代入数据可得MN的长；②当△AMN∽△ACB时，==代入数据可得MN的长。
14．在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，当 = 时，△ABC∽△DEF．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，
∵BC：EF=2：1．
∴△ABC∽△DEF．
故答案为：2
【分析】根据三边对应成比例，可判定两个三角形相似，此时==，代入数据求解即可。
15．如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D也在格点位置（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D的坐标是 ．
【答案】（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵方格中小正方形的边长为1，
∴AB=1、BC= 、AC= ，
∵△DBC与△ABC相似，
∴BC= 、CD=2、BD= ，
如图可知这样的点D如图：
坐标分别为：（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
故答案为：（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
【分析】根据勾股定理先求得AB=1、BC= 、AC= ， 由△DBC与△ABC相似可得BC= 、CD=2、BD= ， 再找得点D坐标为（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）。
三、解答题
16．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
【答案】解：∵ ， ， ，
∴这两个三角形相似
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知这两个三角形相似。
17．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
【答案】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2 ，BC=2 ，DE= ，DF= ，EF=2，
∵ = ， = = ， = = ，
∴ = = ，
∴△ABC∽△DEF
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据勾股定理计算△ABC和△DEF的各边长，再根据“三边对应成比例，两个三角形相似”，判定△ABC和△DEF是否相似。
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于F．
（1）求证：△AGC∽△EFB．
（2）除（1）中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AE∴∠FDG=∠FEG=90°∴∠DGE+∠DFE=360°﹣90°﹣90°=180°
又∠BFE+∠DFE=180°，
∴∠BFE=∠DGE，
又∠DGE=∠AGC
∴∠AGC=∠BFE，
又∠ACB=∠FEG=90°
∴∠AEC+∠BEF=180°﹣90°=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BEF，
∴△AGC∽△EFB
（2）解：有．∵∠GAD=∠FAE，∠ADG=∠AEF=90°，∴△AGD∽△AFE；
∴∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，同理得△BCD∽△BAC，∴△ACD∽△CBD，
即△ACD∽△ABC∽△CBD，
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在四边形DGEF中，根据四边形内角和定理得∠DGE+∠DFE=180°，又∠BFE+∠DFE=180，根据”同角的补角相等”可得∠BFE=∠DGE，进一步可得∠AGC=∠BFE，再根据∠AEC+∠BEF=90°、∠AEC+∠EAC=90°由“同角的余角相等”可得∠EAC=∠BEF，最后由“两角对应相等两三角形相似"可得△AGC∽△EFB。（2）根据“两角对应相等两三角形相似"，可得△AGD∽△AFE，由相似三角形性质可得∠CAD=∠BAC，进一步得出△ACD∽△ABC∽△CBD。
19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 = = ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．理由：∵ = = ，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．∵ = ，∴ = ．在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三边对应成比例，则两个三角形相似，可判定△ABC∽△AED，再根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠BAE=∠CAD。（2）由=可得=再由∠BAE=∠CAD，根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ACD。
20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=45°，又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE
（2）解：在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求．∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE，∵AB=AC，
∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得∠DEC=∠ADB，又∠ABD=∠DCE，根据“两角对应相等，两个三角形相似”，可得△ABD∽△DCE。（2）由（1）知，△ABD∽△DCE，再加一个条件“AB=CD”即可证明全等，可得∠ADC=∠CAD，最后求得∠EDC。
21．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5，
∵∠A=∠A，
∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）；
当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）；
∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似
（2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t），
QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形．
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。
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