人教A版（2019）必修二6.3.5平面向量数量积的坐标表
一、选择题（共10题）
1．已知向量，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若与垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆上有三点，，，且，为中点，延长线与圆交于点，如图，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．宽与长的比为心，的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，记，若，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5题）
11．（2017·宝山模拟）已知向量 ， ，则 在 的方向上的投影为 ．
12．已知正方形的边长为，点满足，则 ； ．
13．（2016·新课标I卷文）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x= ．
14．正方形的边长为，，，则 ．
15．已知向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（共3题）
16．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）当时，与共线，求的值；
（3）若，且与的夹角为，求．
17．已知向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
18．已知向量，．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，，且，，三点共线，求实数的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量的模；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：
∵，，，
∴，∴x=-2.
∴，
.
故选：B.
【分析】首先根据，可求出x的值，即可求出、，根据向量的模的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵与 的夹角为钝角，
∴，且与不共线，
∴，
∴解得且.
故选：A.
【分析】根据与 的夹角为钝角，可知，且与不共线，由此可求出 的取值范围 .
3．【答案】B
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
∴x-2=0，解得x=2，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】首先根据，可以求得x的值与，即可根据向量的模的定义求出.
4．【答案】C
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
由与垂直，可知
，
∴解得，
∴.
故选：C.
【分析】首先根据与垂直，求出n的值，即可求出.
5．【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵与垂直，
∴，
∴m=2.
故选：A.
【分析】根据与垂直，可知，即可求出m的值.
6．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】 解：∵，
∴AB为圆O的直径，
∴连接BE，∠BEA=90°，
∴，
设BC=2x，AD=y，AC=2z，
∵
∴，
∴①，
又∵②，
∴解得，，，
或，，，
∴当， ，时，
，
当， ，时，
.
故选：C.
【分析】 由，可得AB为圆O的直径，连接BE，∠BEA=90°，设BC=2x，AD=y，AC=2z，再结合，求出x、y、z的值，进而可求出的值．
7．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】首先求出和，再根据向量垂直与数量积的关系可求出的值.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：由黄金矩形的定义，可得AB=2，，
∴.
故选：C.
【分析】 首先根据黄金矩形ABCD的定义，可得AB=2，，再由向量垂直与数量积的定关系可求出答案．
9．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系 ：
则，，，，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴.
故选：B.
【分析】 首先根据题意建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，之后设，求出M、N的坐标， 由于，，由此可得的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴m=0，
∴，
∴，
∵，
∴为.
故选：C.
【分析】首先根据，可求出m的值，再根据求出，即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由于向量 ， ，
则 在 的方向上的投影为 = ．
故答案为：
【分析】根据投影公式为 ，代值计算即可．
12．【答案】；-1
【知识点】向量的几何表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：第一空：∵，
∴P是AB的中点，
∴，
∴.
第二空：
，
故答案为：1；-1.
【分析】根据，可知P是AB的中点，因此可求出；根据向量的数量积的运算可求出的值.
13．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ ； ∴ ；
即x+2（x+1）=0；
∴ ．故答案为： ．
【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．；考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵，
，
∴.
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件，用和表示，用和表示，即可利用向量的数量积求得答案.
15．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵与的夹角为钝角，
∴，且，
∴解得的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】根据与的夹角为钝角，可知以及，由此即可求出的取值范围.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
解得．
（2）解：因为，
所以，又，
所以，
因为与共线，
所以，
解得．
（3）解：因为，
所以．
又与的夹角为，
．
所以，
．
【知识点】平面向量的共线定理；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据，可知，由此可求出k的值.
(2)首先根据已知条件求出，再由与共线，根据向量共线的充要条件可求得答案.
(3)首先求出与，再根据已知条件求出，根据与的夹角为，可求得，即可求得.
17．【答案】（1）解：向量，，
则，
因此，．
（2）解：因为，
所以，，
所以向量与夹角的余弦值为
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）首先根据、，可求出，根据向量模的概念即可求出.
（2）首先根据、，分别求出与，计算出、以及，再根据平面向量数量积的定义可求出答案.
18．【答案】（1）解：设．
因为，且，
所以
联立得或
所以．
（2）解：，．
因为，，三点共线，所以，
所以，所以．
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）首先设，根据以及，可得到x、y的关系式，解方程即可得到x、y的值，即可求得答案.
(2)首先根据已知条件求出、，再根据向量共线定理可求出m的值.
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一、选择题（共10题）
1．已知向量，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：
∵，，，
∴，∴x=-2.
∴，
.
故选：B.
【分析】首先根据，可求出x的值，即可求出、，根据向量的模的定义即可求出答案.
2．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵与 的夹角为钝角，
∴，且与不共线，
∴，
∴解得且.
故选：A.
【分析】根据与 的夹角为钝角，可知，且与不共线，由此可求出 的取值范围 .
3．已知向量，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
∴x-2=0，解得x=2，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】首先根据，可以求得x的值与，即可根据向量的模的定义求出.
4．已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
由与垂直，可知
，
∴解得，
∴.
故选：C.
【分析】首先根据与垂直，求出n的值，即可求出.
5．已知向量，，若与垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵与垂直，
∴，
∴m=2.
故选：A.
【分析】根据与垂直，可知，即可求出m的值.
6．已知圆上有三点，，，且，为中点，延长线与圆交于点，如图，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】 解：∵，
∴AB为圆O的直径，
∴连接BE，∠BEA=90°，
∴，
设BC=2x，AD=y，AC=2z，
∵
∴，
∴①，
又∵②，
∴解得，，，
或，，，
∴当， ，时，
，
当， ，时，
.
故选：C.
【分析】 由，可得AB为圆O的直径，连接BE，∠BEA=90°，设BC=2x，AD=y，AC=2z，再结合，求出x、y、z的值，进而可求出的值．
7．已知向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】首先求出和，再根据向量垂直与数量积的关系可求出的值.
8．宽与长的比为心，的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：由黄金矩形的定义，可得AB=2，，
∴.
故选：C.
【分析】 首先根据黄金矩形ABCD的定义，可得AB=2，，再由向量垂直与数量积的定关系可求出答案．
9．在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系 ：
则，，，，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴.
故选：B.
【分析】 首先根据题意建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，之后设，求出M、N的坐标， 由于，，由此可得的取值范围.
10．已知，，记，若，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴m=0，
∴，
∴，
∵，
∴为.
故选：C.
【分析】首先根据，可求出m的值，再根据求出，即可求出答案.
二、填空题（共5题）
11．（2017·宝山模拟）已知向量 ， ，则 在 的方向上的投影为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由于向量 ， ，
则 在 的方向上的投影为 = ．
故答案为：
【分析】根据投影公式为 ，代值计算即可．
12．已知正方形的边长为，点满足，则 ； ．
【答案】；-1
【知识点】向量的几何表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：第一空：∵，
∴P是AB的中点，
∴，
∴.
第二空：
，
故答案为：1；-1.
【分析】根据，可知P是AB的中点，因此可求出；根据向量的数量积的运算可求出的值.
13．（2016·新课标I卷文）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x= ．
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ ； ∴ ；
即x+2（x+1）=0；
∴ ．故答案为： ．
【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．；考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．
14．正方形的边长为，，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵，
，
∴.
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件，用和表示，用和表示，即可利用向量的数量积求得答案.
15．已知向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵与的夹角为钝角，
∴，且，
∴解得的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】根据与的夹角为钝角，可知以及，由此即可求出的取值范围.
三、解答题（共3题）
16．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）当时，与共线，求的值；
（3）若，且与的夹角为，求．
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
解得．
（2）解：因为，
所以，又，
所以，
因为与共线，
所以，
解得．
（3）解：因为，
所以．
又与的夹角为，
．
所以，
．
【知识点】平面向量的共线定理；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据，可知，由此可求出k的值.
(2)首先根据已知条件求出，再由与共线，根据向量共线的充要条件可求得答案.
(3)首先求出与，再根据已知条件求出，根据与的夹角为，可求得，即可求得.
17．已知向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：向量，，
则，
因此，．
（2）解：因为，
所以，，
所以向量与夹角的余弦值为
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）首先根据、，可求出，根据向量模的概念即可求出.
（2）首先根据、，分别求出与，计算出、以及，再根据平面向量数量积的定义可求出答案.
18．已知向量，．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，，且，，三点共线，求实数的值．
【答案】（1）解：设．
因为，且，
所以
联立得或
所以．
（2）解：，．
因为，，三点共线，所以，
所以，所以．
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）首先设，根据以及，可得到x、y的关系式，解方程即可得到x、y的值，即可求得答案.
(2)首先根据已知条件求出、，再根据向量共线定理可求出m的值.
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