人教A版高中数学 必修3 第三章3.3 几何概型 同步练习
一、单选题
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是（ ）
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）
A． B． C． D．
3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（ ）
A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005
4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2016高二上·定州期中）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是 ．
8．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为 ，那么该台每小时约有 分钟的广告．
9．有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是 ．
10．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ．
三、解答题
11．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
（1）红灯
（2）黄灯
（3）不是红灯
12．如图，已知 是半圆 的直径， ， 是将半圆圆周四等分的三个分点．
（1）从 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点 ，求 的面积大于 的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，所以A错。几何概型和古典概型相同点都是每个结果等可能出现，区别是几何概型的结果是无限，古典概型的结果是有限的。
故答案为：A.
【分析】几何概型和古典概型相同点都是每个结果等可能出现，区别是几何概型的结果是无限，古典概型的结果是有限的。
2．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】根据几何概型的概率公式可得，A图中奖的概率P= ，B图中奖的概率P= ，C图中奖的概率P= ，D图中奖的概率P= ，则概率最大的为A，
故答案为：A.
【分析】根据几何概型的概率公式可得结论。
3．【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】记“从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌”为事件A
由题意可得，所求的概率属于几何概率
由几何概率的计算公式可得P（A） .
故答案为：D
【分析】由题意可得，所求的概率属于几何概率，由几何概率的计算公式可得结论。
4．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝ .
故答案为：A
【分析】以长度为测度，由几何概型的概率公式可得结论。
5．【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】如图，
以等腰直角三角形的直角顶点为圆心，1半径做圆，阴影中的点到此三角形的直角顶点的距离不大于1，所以概率就是阴影的面积与三角形的面积比值， ，
故答案为：B.
【分析】概率就是阴影的面积与三角形的面积比值，求出相应的面积即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意， ≈ ，∴π≈ ．
故选：C．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
7．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】由题意可知，求几何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1，所以概率 .填 。
【分析】由题意可知，求几何概型的体积比，求出相应的体积，即可处理。
8．【答案】6
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】某人打开电视看该台节目，看到广告的概率为 ，所以该台每小时约有60× ＝6分钟插播广告.
【分析】求出看到广告的概率，即可得出结论。
9．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，
记“两段的长都不小于1m”为事件A，
则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，
所以事件A发生的概率P（A）=
【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，即可得出结论。
10．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且
，又 ， ，所以 ；
【分析】利用互斥事件的概率公式，即可得出结论。
11．【答案】（1）解：出现红灯的概率
（2）解：出现黄灯的概率
（3）解：不是红灯的概率
【知识点】几何概型
【解析】【分析】（1）以长度为测度，即可求概率；
（2）以长度为测度，即可求概率；
（3）利用对立事件的概率公式可得结论。
12．【答案】（1）解：从 这 个点中任取 个点，一共可以组成 个三角形： ，其中是直角三角形的只有 个，所以组成直角三角形的概率为 ．
（2）解：连接 ，取线段 的中点 ，则 ，
易求得 ，当 点在线段 上时， ，
所以只有当 点落在阴影部分时， 面积才能大于 ，而 ，所以由几何概型的概率公式得 的面积大于 的概率为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；几何概型
【解析】【分析】（1）确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，即可求解；
（2）以面积为测度，利用几何概型的概率公式，即可求解。
1 / 1人教A版高中数学 必修3 第三章3.3 几何概型 同步练习
一、单选题
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是（ ）
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，所以A错。几何概型和古典概型相同点都是每个结果等可能出现，区别是几何概型的结果是无限，古典概型的结果是有限的。
故答案为：A.
【分析】几何概型和古典概型相同点都是每个结果等可能出现，区别是几何概型的结果是无限，古典概型的结果是有限的。
2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】根据几何概型的概率公式可得，A图中奖的概率P= ，B图中奖的概率P= ，C图中奖的概率P= ，D图中奖的概率P= ，则概率最大的为A，
故答案为：A.
【分析】根据几何概型的概率公式可得结论。
3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（ ）
A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005
【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】记“从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌”为事件A
由题意可得，所求的概率属于几何概率
由几何概率的计算公式可得P（A） .
故答案为：D
【分析】由题意可得，所求的概率属于几何概率，由几何概率的计算公式可得结论。
4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝ .
故答案为：A
【分析】以长度为测度，由几何概型的概率公式可得结论。
5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】如图，
以等腰直角三角形的直角顶点为圆心，1半径做圆，阴影中的点到此三角形的直角顶点的距离不大于1，所以概率就是阴影的面积与三角形的面积比值， ，
故答案为：B.
【分析】概率就是阴影的面积与三角形的面积比值，求出相应的面积即可得出结论。
6．（2016高二上·定州期中）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意， ≈ ，∴π≈ ．
故选：C．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
二、填空题
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】由题意可知，求几何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1，所以概率 .填 。
【分析】由题意可知，求几何概型的体积比，求出相应的体积，即可处理。
8．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为 ，那么该台每小时约有 分钟的广告．
【答案】6
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】某人打开电视看该台节目，看到广告的概率为 ，所以该台每小时约有60× ＝6分钟插播广告.
【分析】求出看到广告的概率，即可得出结论。
9．有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，
记“两段的长都不小于1m”为事件A，
则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，
所以事件A发生的概率P（A）=
【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，即可得出结论。
10．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且
，又 ， ，所以 ；
【分析】利用互斥事件的概率公式，即可得出结论。
三、解答题
11．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
（1）红灯
（2）黄灯
（3）不是红灯
【答案】（1）解：出现红灯的概率
（2）解：出现黄灯的概率
（3）解：不是红灯的概率
【知识点】几何概型
【解析】【分析】（1）以长度为测度，即可求概率；
（2）以长度为测度，即可求概率；
（3）利用对立事件的概率公式可得结论。
12．如图，已知 是半圆 的直径， ， 是将半圆圆周四等分的三个分点．
（1）从 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点 ，求 的面积大于 的概率．
【答案】（1）解：从 这 个点中任取 个点，一共可以组成 个三角形： ，其中是直角三角形的只有 个，所以组成直角三角形的概率为 ．
（2）解：连接 ，取线段 的中点 ，则 ，
易求得 ，当 点在线段 上时， ，
所以只有当 点落在阴影部分时， 面积才能大于 ，而 ，所以由几何概型的概率公式得 的面积大于 的概率为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；几何概型
【解析】【分析】（1）确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，即可求解；
（2）以面积为测度，利用几何概型的概率公式，即可求解。
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