2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．（2016·绵阳）若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
2．（2017·东丽模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1 x2=1，则ba的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
3．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．- B． C．- D．
4．（2018·贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
5．（2016·广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
7．（2018·潍坊）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，若 ，则 的值是（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在
8．关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= ，另一个根为 ．
10．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
11．（2016九上·龙海期中）设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= ．
12．（2018·邵阳）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 ．
13．（2018·内江）已知关于 的方程 的两根为 ， ，则方程 的两根之和为 .
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则 的值是 ．
15．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③ ＜a2＋b2.则正确结论的序号是 (填序号)．
三、解答题
16．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
17．已知α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）α2+β2；
（2）β2﹣2α
18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
20．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S= +x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
21．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
22．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m=2，
解得：m=3，
则方程的另一根为3．
故选D．
【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1 x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣ ，
∴ba=（﹣ ）2= ．
故答案为：A．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，建立方程组，求解即可。x1+x2=-，x1 x2=。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣ =﹣ ，x1 x2= =﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣ ﹣（﹣2）= ．
故答案为：D．
【分析】将原方程转化为一元二次方程的一般形式，求出方程的两根之和和两根之积，再代入代数式计算，可解答。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
（方法二）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1．
∵b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，
∴b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
（方法三）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a2﹣a=﹣ m，b2﹣b=﹣ m，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）= m﹣ m=0．
故选A．
【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．
（方法三）由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣ m，根据新运算找出b b﹣a a=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a），代入后即可得出结论．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+ =0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴ ，
解得：m＞-1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+ =0的两个实数根，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∵ ，
∴ =4m，
∴m=2或-1，
∵m＞-1，
∴m=2．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式，求出m的取值范围，再利用根与系数的关系及，建立关于m的方程，求出m的值，再根据m的取值范围确定出m的值即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据 得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 ， ，则 ， ，故结论②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ， ，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时， ，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
9．【答案】2；2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，
则另一根为2．
故答案为：2，2
【分析】将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，求出m的值，再将m的值代入原方程，解方程求出方程的解；或利用一元二次方程根与系数求解。
10．【答案】2016
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016
【分析】根据m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，可求出m2+2m=2018，因此m2+3m+n可转化为2018+m+n，然后求出m+n，代入求值。
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，
∴x22﹣3x2=1，
∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，
故答案为3．
【分析】由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．
12．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0，
故答案为：0．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=（x1、x2是方程的两个根），代入计算求出方程的另一个解。
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知关于 的方程 的两根为 ， ，
∴
∵
∴x2-x=0
∴此方程的两根之和为1
故答案为：1
【分析】根据已知条件求出a、b的值，再将a、b的值代入方程 ，得出x2-x=0，利用根与系数的关系，即可求解。
14．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， =2x1+1， =2x2+1，
∴ = + = = = =6．
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程根与系数，分别求出x1+x2，x1x2， x12 ， x22的值 ，再将已知分式通分转化为用含x1+x2，x1x2的式子表示，然后代入求值。
15．【答案】①②
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】Δ＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，故方程有两个不相等的实数根，即x1≠x2，故①正确.
∵x1·x2＝ab－1＜ab，∴②正确.
∵x1＋x2＝a＋b，∴ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2（ab－1）＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，故③错误.
综上，正确的结论有①②
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可对①作出判断；利用一元二次方程根与系数求出方程的两根之积，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数将x12+x22转化为（x1＋x2）2－2x1x2，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
16．【答案】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算。
17．【答案】（1）解：解：∵α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，αβ=﹣3，
原式=（α+β）2﹣2αβ=4+6=10
（2）解：原式=3﹣2β﹣2α=3﹣2（α+β）=3﹣2×（﹣2）=7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，求出α+β和αβ的值，再将α2+β2转化为（α+β）2﹣2αβ，然后代入求值。
（2）将x=β代入方程，可得出β2=3-2β，因此β2﹣2α可转化为3﹣2（α+β），再将α+β=﹣2代入求值。
18．【答案】（1）解：∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3
（2）解：设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得： ，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得出b2﹣4ac＞0，建立关于a的不等式，解不等式即可。
（2）设方程的另一根为x1，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组，解方程组可解答。
19．【答案】（1）解：∵方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）解：∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，
∴x1=﹣2，
把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，
解得：m=﹣12
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据已知方程有实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数求出两根之和，再将x1+2x2=2转化为2（x1+x2）+3x1=2，代入可求出x1的值，从而可求出m的值。
20．【答案】（1）解：当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根
（2）解：由根与系数关系可知，x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
若S=2，则 +x1+x2=2，即 +x1+x2=2，
将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可知此方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，分两种情况讨论：当k=1时；当k≠1时，方程是一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答即可。
（2）利用一元二次方程根与系数求出x1+x2和x1x2，再将s=2转化为含x1+x2和x1x2的式子，将x1+x2、x1x2代入，建立关于k的方程，求出符合条件的k的值，即可解答。
21．【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）≥0，
则m＞0或m≤；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = ，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× =（﹣1）2，
m2﹣4=1，
m2=5，
m=± ，
∴|m|≤2不成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据分式方程的根是非负数，解方程求出x的值，由x≥0且x≠1，求出k的取值范围，再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，综上所述可得出k的取值范围。
（2）根据一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根，将k=m+2，n=1代入方程可得出mx2﹣3mx+m﹣1=0，利用一元二次方程根与系数求出方程的两根之和和两根之积，再由x1、x2是整数，k、m都是整数，就可求出m的值，然后将m=1或﹣1分别代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0，求出方程的解即可。
（3）利用一元二次方程根与系数求出x1+x2，x1x2，再将x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）转化为（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，然后代入求出m的值，求出|m|，即可作出判断。
22．【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出分式方程①的解，再由再由此方程的根为非负数及x≠1，求出k的取值范围；再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△>.0，得出m>0或m≤，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
1 / 12018-2019学年数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．（2016·绵阳）若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m=2，
解得：m=3，
则方程的另一根为3．
故选D．
【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
2．（2017·东丽模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1 x2=1，则ba的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1 x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣ ，
∴ba=（﹣ ）2= ．
故答案为：A．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，建立方程组，求解即可。x1+x2=-，x1 x2=。
3．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．- B． C．- D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣ =﹣ ，x1 x2= =﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣ ﹣（﹣2）= ．
故答案为：D．
【分析】将原方程转化为一元二次方程的一般形式，求出方程的两根之和和两根之积，再代入代数式计算，可解答。
4．（2018·贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
5．（2016·广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
（方法二）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1．
∵b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，
∴b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
（方法三）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a2﹣a=﹣ m，b2﹣b=﹣ m，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）= m﹣ m=0．
故选A．
【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．
（方法三）由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣ m，根据新运算找出b b﹣a a=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a），代入后即可得出结论．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
7．（2018·潍坊）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，若 ，则 的值是（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+ =0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴ ，
解得：m＞-1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+ =0的两个实数根，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∵ ，
∴ =4m，
∴m=2或-1，
∵m＞-1，
∴m=2．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式，求出m的取值范围，再利用根与系数的关系及，建立关于m的方程，求出m的值，再根据m的取值范围确定出m的值即可。
8．关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据 得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 ， ，则 ， ，故结论②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ， ，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时， ，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
二、填空题
9．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= ，另一个根为 ．
【答案】2；2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，
则另一根为2．
故答案为：2，2
【分析】将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，求出m的值，再将m的值代入原方程，解方程求出方程的解；或利用一元二次方程根与系数求解。
10．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
【答案】2016
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016
【分析】根据m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，可求出m2+2m=2018，因此m2+3m+n可转化为2018+m+n，然后求出m+n，代入求值。
11．（2016九上·龙海期中）设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，
∴x22﹣3x2=1，
∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，
故答案为3．
【分析】由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．
12．（2018·邵阳）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0，
故答案为：0．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=（x1、x2是方程的两个根），代入计算求出方程的另一个解。
13．（2018·内江）已知关于 的方程 的两根为 ， ，则方程 的两根之和为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知关于 的方程 的两根为 ， ，
∴
∵
∴x2-x=0
∴此方程的两根之和为1
故答案为：1
【分析】根据已知条件求出a、b的值，再将a、b的值代入方程 ，得出x2-x=0，利用根与系数的关系，即可求解。
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则 的值是 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， =2x1+1， =2x2+1，
∴ = + = = = =6．
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程根与系数，分别求出x1+x2，x1x2， x12 ， x22的值 ，再将已知分式通分转化为用含x1+x2，x1x2的式子表示，然后代入求值。
15．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③ ＜a2＋b2.则正确结论的序号是 (填序号)．
【答案】①②
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】Δ＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，故方程有两个不相等的实数根，即x1≠x2，故①正确.
∵x1·x2＝ab－1＜ab，∴②正确.
∵x1＋x2＝a＋b，∴ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2（ab－1）＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，故③错误.
综上，正确的结论有①②
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可对①作出判断；利用一元二次方程根与系数求出方程的两根之积，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数将x12+x22转化为（x1＋x2）2－2x1x2，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
三、解答题
16．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
【答案】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算。
17．已知α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）α2+β2；
（2）β2﹣2α
【答案】（1）解：解：∵α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，αβ=﹣3，
原式=（α+β）2﹣2αβ=4+6=10
（2）解：原式=3﹣2β﹣2α=3﹣2（α+β）=3﹣2×（﹣2）=7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，求出α+β和αβ的值，再将α2+β2转化为（α+β）2﹣2αβ，然后代入求值。
（2）将x=β代入方程，可得出β2=3-2β，因此β2﹣2α可转化为3﹣2（α+β），再将α+β=﹣2代入求值。
18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案】（1）解：∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3
（2）解：设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得： ，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得出b2﹣4ac＞0，建立关于a的不等式，解不等式即可。
（2）设方程的另一根为x1，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组，解方程组可解答。
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
【答案】（1）解：∵方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）解：∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，
∴x1=﹣2，
把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，
解得：m=﹣12
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据已知方程有实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数求出两根之和，再将x1+2x2=2转化为2（x1+x2）+3x1=2，代入可求出x1的值，从而可求出m的值。
20．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S= +x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根
（2）解：由根与系数关系可知，x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
若S=2，则 +x1+x2=2，即 +x1+x2=2，
将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可知此方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，分两种情况讨论：当k=1时；当k≠1时，方程是一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答即可。
（2）利用一元二次方程根与系数求出x1+x2和x1x2，再将s=2转化为含x1+x2和x1x2的式子，将x1+x2、x1x2代入，建立关于k的方程，求出符合条件的k的值，即可解答。
21．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）≥0，
则m＞0或m≤；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = ，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× =（﹣1）2，
m2﹣4=1，
m2=5，
m=± ，
∴|m|≤2不成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据分式方程的根是非负数，解方程求出x的值，由x≥0且x≠1，求出k的取值范围，再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，综上所述可得出k的取值范围。
（2）根据一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根，将k=m+2，n=1代入方程可得出mx2﹣3mx+m﹣1=0，利用一元二次方程根与系数求出方程的两根之和和两根之积，再由x1、x2是整数，k、m都是整数，就可求出m的值，然后将m=1或﹣1分别代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0，求出方程的解即可。
（3）利用一元二次方程根与系数求出x1+x2，x1x2，再将x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）转化为（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，然后代入求出m的值，求出|m|，即可作出判断。
22．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出分式方程①的解，再由再由此方程的根为非负数及x≠1，求出k的取值范围；再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△>.0，得出m>0或m≤，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
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