湖南省长沙市长郡教育集团2021-2022学年八年级下学期入学考试数学试卷【qtxj】
一、单选题
1．（2022八下·长沙开学考）在代数式 ， ， ， ， 中属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2019八上·柳江期中）点A(－2，5)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(－2，－5) C．(2，－5) D．(5，－2)
3．（2020七上·上海月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·长沙开学考）要使式子 有意义， 的取值范围是（ ）
A． B． .且
C． . 或 D． 且
5．（2022八下·长沙开学考）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=4
6．（2021·皇姑模拟）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等 D．若 ， ，则
7．（2017八上·济源期中）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )
A．16 B．18 C．20 D．16或20
8．（2022八下·长沙开学考）一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2022八下·长沙开学考）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC与∠ACB的平分线BD、CD交于点D.过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
10．（2016·兖州模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
11．（2022八下·长沙开学考）在百度百科关于冠状病毒的词条下，标明冠状病毒的平均直径为 ，用科学记数法表示 .
12．（2022八下·长沙开学考）若
，
，则
.
13．（2020八上·东海期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm.
14．（2022八下·长沙开学考）计算 的结果是 .
15．（2020八上·马龙月考）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 ．
16．（2022八下·长沙开学考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=45°，AB= ，CD=5，AD=7，则BC= ，AC= .
三、解答题
17．（2022八下·长沙开学考）计算：
18．（2017七下·南平期末）计算： ．
19．（2022八下·长沙开学考）计算：[（3a+b）2﹣b2]÷3a.
20．（2022八下·长沙开学考）分解因式：36m2﹣4n2
21．（2022八下·长沙开学考）解分式方程：
22．（2020八下·锡山期中）先化简再求值： ，其中
23．（2022八下·长沙开学考）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°.
（1）连接AC，求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积.
24．（2022八下·长沙开学考）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8.
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）求DE的长.
25．（2020·贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同，
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
26．（2022八下·长沙开学考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成 ，开方，从而使得 化简.
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ ，5）的“横负纵变点”为（ ， ）.
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（ ， ）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（ ），点M（ ，m）且 ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
27．（2022八下·长沙开学考）在平面直角坐标系中，已知点A在第一象限，点B在y轴的正半轴上，BO=a，AO=b，AB=c，且有 .
（1）请判断△ABO的形状，并说明理由；
（2）如图1，AO⊥AC，且AO=AC，点D为OC的中点，BC和AD交于点E，求证：BE=AE+EC；
（3）如图2，P点在点B的上方运动，以AP为边在第一象限内作一个等边△APF，延长FB交x轴于点G，已知点A（ ，1），求此时BG的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：分式有： ， ，共2个.
故答案为：A.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意可得：点A(-2，5)关于x轴对称的点的坐标为(-2，-5)，
故答案为：B.
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A． ，故A选项不符合题意．
B． ，故B选项不符合题意．
C． ，故C选项不符合题意．
D． ，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则对每个式子一一判断即可．
4．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a+2≥0且a≠0，
解得a≥-2且a≠0.
故答案为：D.
【分析】根据分式的分母不能为0以及二次根式的被开方数不能为负数，可得a+2≥0且a≠0，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A. ， ， ，符合全等三角形的判定定理SSS，能画出唯一的△ABC ，故本选项不符合题意；
B. ， ， ，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC ，故本选项不符合题意；
C. ， ， ，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能画出唯一的 △ABC ，故本选项符合题意；
D. ， ， ，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC ，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理；SSS、SAS、AAS、ASA、HL进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、若 a=b ，则 的逆命题是若 ，则 ，逆命题是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若 ， ，则 的逆命题是若 ，则 ， ，逆命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断求解即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解
8．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】n边形的内角和为：(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 的周长
，
∴ 的周长为：14.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，推出EB=ED，FD=FC，据此不难求出△AEF的周长.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：法一：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3， ），
∴AB= ，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2 ，
由三角形面积公式得： ×OA×AB= ×OB×AM，
∴AM= ，
∴AD=2× =3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，
∵C（ ，0），
∴CN=3﹣ ﹣ =1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= = ，
即PA+PC的最小值是 ，
法二：
如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．
∵AB= ，OA=3
∴∠AOB=30°，
∴∠DOC=2∠AOB=60°
∵OC=OD
∴△OCD是等边三角形
∴DM=CD sin60°= ，OM=CM=CD cos60°=
∴AM=OA﹣OM=3﹣ =
∴AD= =
即PA+PC的最小值为
故选：B．
【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．
11．【答案】1×10 7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：100×10 9＝102×10-9==10-7=1×10 7.
故答案为：1×10 7.
【分析】先根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加进行计算，再根据用科学记数法表示一个绝对值较小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数从左至右第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0的)，即可得出答案.
12．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴
=9+4=13，
故答案为：13.
【分析】利用完全平方公式可将待求式变形为(x-y)2+2xy，然后将已知条件代入进行计算.
13．【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，
故答案为21.
【分析】根据线段的垂直平分线可得DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，由于△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，从而求出△ABC的周长＝AB+BC+AC的值.
14．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
15．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，连接BD，
根据所作辅助线可知： ，
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， .
故答案为： .
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，连接BD，根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE=4，则DE=AD-AE=3，利用勾股定理求出BD，推出BD=CD，得到BC的值，根据同角的余角相等可得∠EBD=∠CDF，证△BDE≌△DCF，得到DF=BE=4，CF=DE=3，求出AF，然后利用勾股定理进行计算.
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.
18．【答案】解：原式=2+3×1-3+1=3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】根据实数的运算法则依次计算后合并即可.
19．【答案】解：[（3a+b）2﹣b2]÷3a，
=（9a2+6ab+b2﹣b2）÷3a，
=（9a2+6ab）÷3a，
=3a+2b
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式先去小括号，再合并括号内的同类项，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
20．【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】首先提取4，然后利用平方差公式进行分解即可.
21．【答案】解：方程两边同乘以 ，得 ，
解这个整式方程得 ，
检验：把 代入 ，
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】给方程两边同时乘以x2-9，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.
22．【答案】解：原式＝
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用公式法和提取公因式法将第一个式子进行化简，观察化简后的式子，将第二个等式变形求得 ，在通过整体代入求得原式的结果.
23．【答案】（1）解：如图，连接
在 中，由勾股定理得
∴ 的长为5
（2）解：∵ ， ，
∴
∴ 是直角三角形
∴ ，∴
∴四边形 的面积
∴四边形 的面积为36
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接AC，然后利用勾股定理就可求出AC；
（2）根据勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算.
24．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E
∴
在 和 中
∴
（2）解：∵AC=6，BC=8，
∴ ，
∵ ，
∴AC=AE=6，
∴BE=4，
设 ，则 ，
在Rt△BDE中由勾股定理得： ，
解得： ，
∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得CD=DE，易得∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）利用勾股定理可求出AB，根据全等三角形的性质可得AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，则BD=8-x，然后在Rt△BDE中，运用勾股定理求解即可.
25．【答案】（1）解：设A型口罩单价为x元，则B型口罩单价为(x-1.5)元，
根据题意，得：
解方程，得： x=4，
经检验： x=4 是原方程的根，且符合题意，
∴x-1.5=4-1.5=2.5(元)，
答： A型口罩单价为4元，B型口罩单价为2.5元
（2）解：设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得： 2． 5×2m+4m≤3800，
解不等式，得： m≤422
∵m为正整数，∴正整数m的最大值为422 ，
答：增加购买A型口罩的数量最多是422。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）等量关系为：A型口罩的单价=B型口罩的单价+1.5；8000÷A型口罩的单价=5000÷B型口罩的单价， 再设未知数，列方程求解即可。
（2）抓住题中关键的已知条件：增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解。
26．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴点 的“横负纵变点”为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据 “横负纵变点” 的概念进行解答即可；
（2）原式可变形为 ，然后根据完全平方公式以及二次根式的性质化简即可；
（3）根据a的范围可得的范围，将m变形为，然后结合绝对值的性质可得m的值，进而可得M′的坐标.
27．【答案】（1）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形
（2）证明：如图1中，连接 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，
∵AO⊥AC，且AO=AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∵点D为OC的中点，
∴ ，AD=OD=CD，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；三角形的综合
【解析】【分析】（1）对已知条件利用完全平方公式变形可得(a-b)2+(c-b)2=0，结合偶次幂的非负性可得a=b=c，据此可得△ABO的形状；
（2）连接OE，在EB上截取EM，使EM=EA，连接AM，根据题意易得△AOC为等腰直角三角形，则∠AOD=∠ACD=∠DAC=∠DAO=45°，EO=EC，则∠BAC=150°，结合等腰三角形的性质以及内角和定理得∠ABC=∠ACB=15°，推出△AEM是等边三角形，得到∠MAE=∠BAO，证明△BAM≌△OAE，得到BM=OE=EC，据此证明；
（3）根据等边三角形的性质可得AB=AO，AP=AF，∠OAB=∠PAF=60°，证明△OAP≌△BAF，得到∠POA=∠FBA=60°，则∠OBG=60°，∠BGO=30°，利用两点间距离公式可得OB=OA=2，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
1 / 1湖南省长沙市长郡教育集团2021-2022学年八年级下学期入学考试数学试卷【qtxj】
一、单选题
1．（2022八下·长沙开学考）在代数式 ， ， ， ， 中属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：分式有： ， ，共2个.
故答案为：A.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．（2019八上·柳江期中）点A(－2，5)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(－2，－5) C．(2，－5) D．(5，－2)
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意可得：点A(-2，5)关于x轴对称的点的坐标为(-2，-5)，
故答案为：B.
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
3．（2020七上·上海月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A． ，故A选项不符合题意．
B． ，故B选项不符合题意．
C． ，故C选项不符合题意．
D． ，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则对每个式子一一判断即可．
4．（2022八下·长沙开学考）要使式子 有意义， 的取值范围是（ ）
A． B． .且
C． . 或 D． 且
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a+2≥0且a≠0，
解得a≥-2且a≠0.
故答案为：D.
【分析】根据分式的分母不能为0以及二次根式的被开方数不能为负数，可得a+2≥0且a≠0，求解即可.
5．（2022八下·长沙开学考）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A. ， ， ，符合全等三角形的判定定理SSS，能画出唯一的△ABC ，故本选项不符合题意；
B. ， ， ，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC ，故本选项不符合题意；
C. ， ， ，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能画出唯一的 △ABC ，故本选项符合题意；
D. ， ， ，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC ，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理；SSS、SAS、AAS、ASA、HL进行判断即可.
6．（2021·皇姑模拟）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等 D．若 ， ，则
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、若 a=b ，则 的逆命题是若 ，则 ，逆命题是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若 ， ，则 的逆命题是若 ，则 ， ，逆命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断求解即可。
7．（2017八上·济源期中）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )
A．16 B．18 C．20 D．16或20
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解
8．（2022八下·长沙开学考）一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】n边形的内角和为：(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，求解即可.
9．（2022八下·长沙开学考）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC与∠ACB的平分线BD、CD交于点D.过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 的周长
，
∴ 的周长为：14.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，推出EB=ED，FD=FC，据此不难求出△AEF的周长.
10．（2016·兖州模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：法一：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3， ），
∴AB= ，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2 ，
由三角形面积公式得： ×OA×AB= ×OB×AM，
∴AM= ，
∴AD=2× =3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，
∵C（ ，0），
∴CN=3﹣ ﹣ =1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= = ，
即PA+PC的最小值是 ，
法二：
如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．
∵AB= ，OA=3
∴∠AOB=30°，
∴∠DOC=2∠AOB=60°
∵OC=OD
∴△OCD是等边三角形
∴DM=CD sin60°= ，OM=CM=CD cos60°=
∴AM=OA﹣OM=3﹣ =
∴AD= =
即PA+PC的最小值为
故选：B．
【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．
二、填空题
11．（2022八下·长沙开学考）在百度百科关于冠状病毒的词条下，标明冠状病毒的平均直径为 ，用科学记数法表示 .
【答案】1×10 7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：100×10 9＝102×10-9==10-7=1×10 7.
故答案为：1×10 7.
【分析】先根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加进行计算，再根据用科学记数法表示一个绝对值较小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数从左至右第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0的)，即可得出答案.
12．（2022八下·长沙开学考）若
，
，则
.
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴
=9+4=13，
故答案为：13.
【分析】利用完全平方公式可将待求式变形为(x-y)2+2xy，然后将已知条件代入进行计算.
13．（2020八上·东海期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm.
【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，
故答案为21.
【分析】根据线段的垂直平分线可得DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，由于△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，从而求出△ABC的周长＝AB+BC+AC的值.
14．（2022八下·长沙开学考）计算 的结果是 .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
15．（2020八上·马龙月考）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．
16．（2022八下·长沙开学考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=45°，AB= ，CD=5，AD=7，则BC= ，AC= .
【答案】；
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，连接BD，
根据所作辅助线可知： ，
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， .
故答案为： .
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，连接BD，根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE=4，则DE=AD-AE=3，利用勾股定理求出BD，推出BD=CD，得到BC的值，根据同角的余角相等可得∠EBD=∠CDF，证△BDE≌△DCF，得到DF=BE=4，CF=DE=3，求出AF，然后利用勾股定理进行计算.
三、解答题
17．（2022八下·长沙开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.
18．（2017七下·南平期末）计算： ．
【答案】解：原式=2+3×1-3+1=3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】根据实数的运算法则依次计算后合并即可.
19．（2022八下·长沙开学考）计算：[（3a+b）2﹣b2]÷3a.
【答案】解：[（3a+b）2﹣b2]÷3a，
=（9a2+6ab+b2﹣b2）÷3a，
=（9a2+6ab）÷3a，
=3a+2b
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式先去小括号，再合并括号内的同类项，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
20．（2022八下·长沙开学考）分解因式：36m2﹣4n2
【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】首先提取4，然后利用平方差公式进行分解即可.
21．（2022八下·长沙开学考）解分式方程：
【答案】解：方程两边同乘以 ，得 ，
解这个整式方程得 ，
检验：把 代入 ，
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】给方程两边同时乘以x2-9，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.
22．（2020八下·锡山期中）先化简再求值： ，其中
【答案】解：原式＝
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用公式法和提取公因式法将第一个式子进行化简，观察化简后的式子，将第二个等式变形求得 ，在通过整体代入求得原式的结果.
23．（2022八下·长沙开学考）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°.
（1）连接AC，求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：如图，连接
在 中，由勾股定理得
∴ 的长为5
（2）解：∵ ， ，
∴
∴ 是直角三角形
∴ ，∴
∴四边形 的面积
∴四边形 的面积为36
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接AC，然后利用勾股定理就可求出AC；
（2）根据勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算.
24．（2022八下·长沙开学考）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8.
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）求DE的长.
【答案】（1）证明：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E
∴
在 和 中
∴
（2）解：∵AC=6，BC=8，
∴ ，
∵ ，
∴AC=AE=6，
∴BE=4，
设 ，则 ，
在Rt△BDE中由勾股定理得： ，
解得： ，
∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得CD=DE，易得∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）利用勾股定理可求出AB，根据全等三角形的性质可得AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，则BD=8-x，然后在Rt△BDE中，运用勾股定理求解即可.
25．（2020·贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同，
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1）解：设A型口罩单价为x元，则B型口罩单价为(x-1.5)元，
根据题意，得：
解方程，得： x=4，
经检验： x=4 是原方程的根，且符合题意，
∴x-1.5=4-1.5=2.5(元)，
答： A型口罩单价为4元，B型口罩单价为2.5元
（2）解：设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得： 2． 5×2m+4m≤3800，
解不等式，得： m≤422
∵m为正整数，∴正整数m的最大值为422 ，
答：增加购买A型口罩的数量最多是422。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）等量关系为：A型口罩的单价=B型口罩的单价+1.5；8000÷A型口罩的单价=5000÷B型口罩的单价， 再设未知数，列方程求解即可。
（2）抓住题中关键的已知条件：增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解。
26．（2022八下·长沙开学考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成 ，开方，从而使得 化简.
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ ，5）的“横负纵变点”为（ ， ）.
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（ ， ）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（ ），点M（ ，m）且 ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴点 的“横负纵变点”为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据 “横负纵变点” 的概念进行解答即可；
（2）原式可变形为 ，然后根据完全平方公式以及二次根式的性质化简即可；
（3）根据a的范围可得的范围，将m变形为，然后结合绝对值的性质可得m的值，进而可得M′的坐标.
27．（2022八下·长沙开学考）在平面直角坐标系中，已知点A在第一象限，点B在y轴的正半轴上，BO=a，AO=b，AB=c，且有 .
（1）请判断△ABO的形状，并说明理由；
（2）如图1，AO⊥AC，且AO=AC，点D为OC的中点，BC和AD交于点E，求证：BE=AE+EC；
（3）如图2，P点在点B的上方运动，以AP为边在第一象限内作一个等边△APF，延长FB交x轴于点G，已知点A（ ，1），求此时BG的长度.
【答案】（1）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形
（2）证明：如图1中，连接 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，
∵AO⊥AC，且AO=AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∵点D为OC的中点，
∴ ，AD=OD=CD，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；三角形的综合
【解析】【分析】（1）对已知条件利用完全平方公式变形可得(a-b)2+(c-b)2=0，结合偶次幂的非负性可得a=b=c，据此可得△ABO的形状；
（2）连接OE，在EB上截取EM，使EM=EA，连接AM，根据题意易得△AOC为等腰直角三角形，则∠AOD=∠ACD=∠DAC=∠DAO=45°，EO=EC，则∠BAC=150°，结合等腰三角形的性质以及内角和定理得∠ABC=∠ACB=15°，推出△AEM是等边三角形，得到∠MAE=∠BAO，证明△BAM≌△OAE，得到BM=OE=EC，据此证明；
（3）根据等边三角形的性质可得AB=AO，AP=AF，∠OAB=∠PAF=60°，证明△OAP≌△BAF，得到∠POA=∠FBA=60°，则∠OBG=60°，∠BGO=30°，利用两点间距离公式可得OB=OA=2，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
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