1.4.1 充分条件与必要条件
课后·训练提升
基础巩固
1.设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.无法判断
2.(多选题)对于任意的实数a,b,c,下列说法正确的是 ( )
A.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
B.“a3=b3”是“a=b”的必要条件
C.“”是“a
D.“a23.使“x∈{x|x≥3,或x≤-1}”成立的一个必要条件是 ( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤-2或x≥4
4.已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
D.无法判断
5.若“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.m≥6 B.2≤m≤6
C.m≥2 D.m≤2
6.“关于x的方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号的实根”的一个充分条件是( )
A.m>0 B.m≤
C.-17.若x,y∈R,则“x>y>0”是“>1”的 条件(填“充分”或“必要”).
8.若“a≤x≤2a+1”是“19.给出下列各题,判断p是q的什么条件.(在“充分条件”“必要条件”中选出一种)
(1)p:x-5=0,q:(x-5)(x-3)=0;
(2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根;
(3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形.
能力提升
1.已知条件p:k=1,结论q:函数y=kx+1的图象经过第一象限,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
D.无法判断
2.已知甲、乙、丙三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
3.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是( )
A.m< B.m<
C.m<- D.m<-
4.下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1
5.已知a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③ab>0中选出适合的条件,用序号填空.
(1)a,b都为0的必要条件是 ;
(2)使a,b都不为0的充分条件是 .
6.在下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件 (在“充分”“必要”中选出一种)
(1)如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
(2)如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
7.已知p:3x+m<0,q:x<-1或x>3,若p是q的一个充分条件,则实数m的取值范围是 .
8.已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件,求实数m的值.
1.4.1 充分条件与必要条件
课后·训练提升
基础巩固
1.设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.无法判断
答案A
解析当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p q;当x+y>2时,可以x=-1,y=4,此时x<1,q推不出p.故p是q的充分条件.
2.(多选题)对于任意的实数a,b,c,下列说法正确的是 ( )
A.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
B.“a3=b3”是“a=b”的必要条件
C.“”是“aD.“a2答案AB
解析因为ac2>bc2 a>b,所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件;因为a=b a3=b3,所以“a3=b3”是“a=b”的必要条件;因为a-,所以“”不是“a-3,所以“a23.使“x∈{x|x≥3,或x≤-1}”成立的一个必要条件是 ( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤-2或x≥4
答案B
解析只有x≥3或x≤-1 x<0或x>2,
故选B.
4.已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
D.无法判断
答案A
解析因为关于x的方程x2-x-m=0有实根,所以Δ=1+4m≥0,解得m≥-.而{m|m>0} ,所以“m>0”是“关于x的方程x2-x-m=0有实根”的充分条件.故选A.
5.若“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.m≥6 B.2≤m≤6
C.m≥2 D.m≤2
答案C
解析由已知得 {x|x<-1,或x>3},所以-≤-1,解得m≥2.故选C.
6.“关于x的方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号的实根”的一个充分条件是( )
A.m>0 B.m≤
C.-1答案D
解析因为关于x的方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号的实根,所以解得0故选D.
7.若x,y∈R,则“x>y>0”是“>1”的 条件(填“充分”或“必要”).
答案充分
解析x>y>0 >1,而由>1推不出x>y>0,如:x=-5,y=-4,满足>1,但-5<-4<0,不满足x>y>0.
故“x>y>0”是“>1”的充分条件.
8.若“a≤x≤2a+1”是“1答案≤a≤1
解析由已知得{x|19.给出下列各题,判断p是q的什么条件.(在“充分条件”“必要条件”中选出一种)
(1)p:x-5=0,q:(x-5)(x-3)=0;
(2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根;
(3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形.
解(1)因为x-5=0 (x-5)(x-3)=0,而(x-5)(x-3)=0x-5=0,
所以p是q的充分条件.
(2)因为x2-x-m=0无实根时,
Δ=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0,
即m<-,所以q:m<-.
所以p q,qp.所以p是q的充分条件.
(3)因为矩形的对角线相等,所以q p.而对角线相等的四边形不一定是矩形,所以pq,所以p是q的必要条件.
能力提升
1.已知条件p:k=1,结论q:函数y=kx+1的图象经过第一象限,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
D.无法判断
答案A
2.已知甲、乙、丙三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
答案A
解析由已知得乙 甲,丙 乙,乙丙,所以丙 甲,甲丙.故选A.
3.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是( )
A.m< B.m<
C.m<- D.m<-
答案A
解析由题意可得,Δ=1-4m≥0,解得m≤.观察四个选项,只有“m<”是“m≤”的必要条件.故选A.
4.下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1
答案C
解析因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以解得a<0.四个选项中只有a<-1 a<0.故选C.
5.已知a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③ab>0中选出适合的条件,用序号填空.
(1)a,b都为0的必要条件是 ;
(2)使a,b都不为0的充分条件是 .
答案(1)①② (2)③
解析(1)“a,b都为0”能推出“ab=0,a+b=0”,所以填①②.
(2)因为“ab>0”能推出“a,b都不为0”,所以“a,b都不为0”的充分条件是“ab>0”.
6.在下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件 (在“充分”“必要”中选出一种)
(1)如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
(2)如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
答案(1)充分 (2)必要
解析(1)开关A闭合,灯泡B亮;而灯泡B亮时,开关A不一定闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的充分条件.
(2)开关A闭合,灯泡B不一定亮;而灯泡B亮,开关A必须闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的必要条件.
7.已知p:3x+m<0,q:x<-1或x>3,若p是q的一个充分条件,则实数m的取值范围是 .
答案m≥3
解析由3x+m<0,得x<-.
记集合A=,B={x|x<-1,或x>3},
∵p是q的一个充分条件,
∴p q,
∴A B,
∴-≤-1,
∴m≥3,即m的取值范围是m≥3.
8.已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件,求实数m的值.
解p:x∈{x|x2+x-6=0}={2,-3},q:x∈{x|mx+1=0},因为p是q的必要条件,所以{x|mx+1=0} {2,-3}.
当{x|mx+1=0}= ,即m=0时,符合题意;
当{x|mx+1=0}≠ 时,由{x|mx+1=0} {2,-3},得-=2或-=-3,
解得m=-或m=.
综上可知,m=0或-.1.4.2 充要条件
课后·训练提升
基础巩固
1.在圆O中,“圆周角相等”是“圆周角所对的弧相等”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集为 ”是“b2-4ac<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”的充要条件是( )
A.a,b都不为0
B.a,b中至少有一个不为零
C.a,b中至少有一个为零
D.a,b中有且只有一个为零
4.已知x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.给出四个条件:
①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<.
其中能成为x>y的充分条件的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
6.如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2,则m的最小值为 .
7.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
8.“☉O内的两条弦相等”是“☉O内两条弦所对的弧相等”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
9.求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实根的充要条件.
10.当n∈N*时,求关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件.
能力提升
1.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.“x2>4”是“x<-2”的必要不充分条件
B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件
D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
2.已知a,b∈R,则a+b≠0的一个必要不充分条件是 ( )
A.ab>0 B.a>0,且b>0
C.a+b>3 D.a≠0或b≠0
3.若“0A.-1≤a≤0
B.-1C.a≤0或a≥1
D.a<-1或a>0
4.设a,b,c分别是△ABC的三边,则“△ABC为等边三角形”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0},q:{x|4-m≤x≤4+m,m>0},若p是q的充要条件,则实数m的值是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
1.4.2 充要条件
课后·训练提升
基础巩固
1.在圆O中,“圆周角相等”是“圆周角所对的弧相等”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
2.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集为 ”是“b2-4ac<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
3.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”的充要条件是( )
A.a,b都不为0
B.a,b中至少有一个不为零
C.a,b中至少有一个为零
D.a,b中有且只有一个为零
答案B
4.已知x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析不等式2x2+x-1>0,即(x+1)(2x-1)>0,解得x>或x<-1,所以由x>可以得到不等式2x2+x-1>0成立,但由2x2+x-1>0不一定得到x>,所以“x>”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件.
5.给出四个条件:
①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<.
其中能成为x>y的充分条件的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案D
解析①由xt2>yt2可知t2>0,所以x>y,
故xt2>yt2 x>y;
②当t>0时,由xt>yt x>y;当t<0时,由xt>yt xytx>y;
③由x2>y2,得|x|>|y|,故x2>y2x>y;
④由0< x>y.
6.如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2,则m的最小值为 .
答案2
解析由题意可知1≤x≤2 x≤m,反之不成立,所以m≥2,即m的最小值为2.
7.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
答案必要不充分
解析因为|x-1|<2 -18.“☉O内的两条弦相等”是“☉O内两条弦所对的弧相等”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
答案必要不充分
9.求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实根的充要条件.
解
所以两方程有一个公共实根的充要条件为k=-2.
10.当n∈N*时,求关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件.
解若关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有实数根,则Δ=(-4)2-4n≥0,解得n≤4.又n∈N*,则当n=4时,关于x的一元二次方程x2-4x+4=0有整数根2;当n=3时,关于x的一元二次方程x2-4x+3=0有整数根1,3;当n=2时,关于x的一元二次方程x2-4x+2=0无整数根;当n=1时,关于x的一元二次方程x2-4x+1=0无整数根.所以n∈N*,关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或n=4.
能力提升
1.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.“x2>4”是“x<-2”的必要不充分条件
B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件
D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
答案ACD
解析x<-2 x2>4,但x2>4 x>2或x<-2,不一定有x<-2,故A正确.
AB2+AC2=BC2 △ABC为直角三角形;反之,若△ABC为直角三角形,当B,C为直角时,不能推出AB2+AC2=BC2,故B错误.
a2+b2≠0 a,b不全为0;反之,由a,b不全为0 a2+b2≠0,故C正确.
当x2为无理数时,x为无理数,反之不成立,故D正确.故选ACD.
2.已知a,b∈R,则a+b≠0的一个必要不充分条件是 ( )
A.ab>0 B.a>0,且b>0
C.a+b>3 D.a≠0或b≠0
答案D
3.若“0A.-1≤a≤0
B.-1C.a≤0或a≥1
D.a<-1或a>0
答案A
解析由可得,a≤x≤a+2.则由已知得{x|0所以解得-1≤a≤0.故选A.
4.设a,b,c分别是△ABC的三边,则“△ABC为等边三角形”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
解析因为a2+b2+c2=ab+bc+ac,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.所以a=b=c.而当a=b=c时,显然有a2+b2+c2=ab+bc+ac.故选C.
5.已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0},q:{x|4-m≤x≤4+m,m>0},若p是q的充要条件,则实数m的值是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案C
解析由已知,p:{x|-2≤x≤10},由p是q的充要条件得:{x|-2≤x≤10}={x|4-m≤x≤4+m,m>0},因此解得m=6.故选C.
6.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明(1)必要性:
∵a+b=1,∴a+b-1=0.
∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
(2)充分性:
∵a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.
∴a2-ab+b2=b2>0.
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.