1.5.1 全称量词与存在量词
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是( )
A.一次函数的图象都是上升的或下降的
B.对任意x∈R,x+1<0
C.存在实数大于或者等于3
D.菱形的对角线互相垂直
2.下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2>0
C.任意自然数的平方必大于0
D.存在一个负数x,使>2
3.下列命题是假命题的是( )
A.对任意的实数a,b,都有a2+b2-2ab≥0
B. x∈Z,x2=2
C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点
D.偶数的平方还是偶数
4.若非空集合P,Q满足P∩Q=P,则( )
A. x∈Q,有x∈P
B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P
D. x∈P,使得x Q
5.(多选题)可以作为命题“ 1≤x≤3,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥9 B.a≥11 C.a≥10 D.a≤10
6.下列命题是存在量词命题且为假命题的是( )
A.存在两个全等三角形,它们的周长不相等
B.所有的三角形都不是钝角三角形
C.存在一个四边形的四个顶点不共圆
D. m∈R,方程mx2+mx+1=0无实根
7.若命题“二次函数y=(a-1)x2+x-1(a≠1)的图象开口向上”是真命题,则a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.a≥1 D.a>1
8.给出下列说法:①有些不相似的三角形的面积相等,是真命题;② a∈R,b∈R,使函数y=ax+b的图象经过第一、第二、第三象限,是假命题;③正数的平方根不等于0,是真命题;④对任意的两个非空集合,A∩B≠ ,是假命题.其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.已知命题p: x∈R,-x2+1>a,若p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.0
-1
10.若“ x∈{x|-1≤x≤1},x+1≤m”是真命题,求实数m的最小值.
能力提升
1.下列命题为真命题的是( )
A. x∈R,x2+2x+1>0
B. x∈R,x2+1>0
C. x∈N,2x2=7
D. x∈R,x2-1<-1
2.已知“ x∈{x|0≤x≤2},m>x”和“ x∈{x|0≤x≤2},n>x”均为真命题,那么m,n的取值范围分别是 ( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n>2
C.m>2,n>0 D.m>2,n>2
3.已知a>0,则“x0满足关于x的方程ax=b”的充要条件是( )
A. x∈R,ax2-bx≥-bx0
B. x∈R,ax2-bx≤-bx0
C. x∈R,ax2-bx≥-bx0
D. x∈R,ax2-bx≤-bx0
4.已知函数y=x2+bx+c,则“c<0”是“ x0∈R,使+bx0+c<0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若 x∈R,函数y=mx2+x-1的图象和x轴恒有公共点,求实数m的取值范围.
6.已知函数y=x2-2x+5,若至少存在一个实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.
7.已知命题“ x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
1.5.1 全称量词与存在量词
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是( )
A.一次函数的图象都是上升的或下降的
B.对任意x∈R,x+1<0
C.存在实数大于或者等于3
D.菱形的对角线互相垂直
答案ABD
解析选项A,B,D中的命题都是全称量词命题,选项C中的命题是存在量词命题.
2.下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2>0
C.任意自然数的平方必大于0
D.存在一个负数x,使>2
答案A
解析只有A,C两个选项中的命题是全称量词命题,且A中命题显然为真命题.因为0是自然数,而02=0不大于0,所以C中命题为假命题.
3.下列命题是假命题的是( )
A.对任意的实数a,b,都有a2+b2-2ab≥0
B. x∈Z,x2=2
C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点
D.偶数的平方还是偶数
答案B
解析对于A,因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故A为真命题;对于B,当x2=2时,x=±为无理数,故B为假命题;对于C,因为方程x2-ax-1=0的判别式Δ=a2+4>0恒成立,所以函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点,故C为真命题;易知D为真命题.
4.若非空集合P,Q满足P∩Q=P,则( )
A. x∈Q,有x∈P
B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P
D. x∈P,使得x Q
答案B
解析∵P∩Q=P,∴P Q,如图,
∴A错误;B正确;C错误;D错误.故选B.
5.(多选题)可以作为命题“ 1≤x≤3,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥9 B.a≥11 C.a≥10 D.a≤10
答案BC
解析当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥(x2)max.
因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9.
因为a≥9a≥10,a≥10 a≥9,
又a≥9a≥11,a≥11 a≥9,故选BC.
6.下列命题是存在量词命题且为假命题的是( )
A.存在两个全等三角形,它们的周长不相等
B.所有的三角形都不是钝角三角形
C.存在一个四边形的四个顶点不共圆
D. m∈R,方程mx2+mx+1=0无实根
答案A
7.若命题“二次函数y=(a-1)x2+x-1(a≠1)的图象开口向上”是真命题,则a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.a≥1 D.a>1
答案D
8.给出下列说法:①有些不相似的三角形的面积相等,是真命题;② a∈R,b∈R,使函数y=ax+b的图象经过第一、第二、第三象限,是假命题;③正数的平方根不等于0,是真命题;④对任意的两个非空集合,A∩B≠ ,是假命题.其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案C
9.已知命题p: x∈R,-x2+1>a,若p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.0-1
答案A
解析因为x∈R,所以-x2+1的最大值为1.
所以a的取值范围是a<1.
10.若“ x∈{x|-1≤x≤1},x+1≤m”是真命题,求实数m的最小值.
解由已知得m≥(x+1)max.
因为-1≤x≤1,所以(x+1)max=2.
所以m≥2,所以m的最小值为2.
能力提升
1.下列命题为真命题的是( )
A. x∈R,x2+2x+1>0
B. x∈R,x2+1>0
C. x∈N,2x2=7
D. x∈R,x2-1<-1
答案B
解析对于A,当x=-1时,x2+2x+1=0,故为假命题;对于C,当2x2=7时,x=± N,故为假命题;对于D,因为x2≥0,所以x2-1≥-1,故为假命题.
2.已知“ x∈{x|0≤x≤2},m>x”和“ x∈{x|0≤x≤2},n>x”均为真命题,那么m,n的取值范围分别是 ( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n>2
C.m>2,n>0 D.m>2,n>2
答案C
解析由“ x∈{x|0≤x≤2},m>x”是真命题,可得m>2;由“ x∈{x|0≤x≤2},n>x”是真命题,可得n>0.
3.已知a>0,则“x0满足关于x的方程ax=b”的充要条件是( )
A. x∈R,ax2-bx≥-bx0
B. x∈R,ax2-bx≤-bx0
C. x∈R,ax2-bx≥-bx0
D. x∈R,ax2-bx≤-bx0
答案C
解析由于a>0,令函数y=ax2-bx=a(x-)2-,故此函数图象的开口向上,且当x=时,取得最小值-,而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0=,故 x∈R,ax2-bx≥-bx0.故选C.
4.已知函数y=x2+bx+c,则“c<0”是“ x0∈R,使+bx0+c<0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案A
解析 x0∈R,使+bx0+c<0的充要条件是x2+bx+c<0有解,即b2-4c>0,4c5.若 x∈R,函数y=mx2+x-1的图象和x轴恒有公共点,求实数m的取值范围.
解当m=0时,函数y=x-1的图象与x轴有交点.当m≠0时,由已知得函数y=mx2+x-1对应方程的判别式Δ=1+4m≥0,得m≥-,且m≠0.综上所述,m的取值范围是m≥-.
6.已知函数y=x2-2x+5,若至少存在一个实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.
解不等式m-y>0可化为m>y,若至少存在一个实数x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.
因为y=x2-2x+5=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m>4.
所以实数m的取值范围是m>4.
7.已知命题“ x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
解由3a+x-2=0,得3a-2=-x.
∵-3≤x≤2,∴-2≤-x≤3,∴-2≤3a-2≤3,
即0≤a≤.故实数a的取值范围是0≤a≤.1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课后·训练提升
基础巩固
1.已知命题p: x∈R,x2=5,则该命题的否定是( )
A. x R,x2=5 B. x∈R,x2≠5
C. x∈R,x2=5 D. x∈R,x2≠5
2.命题“ x∈{x|x>0},|x-1|=x-1”的否定是( )
A. x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1
B. x∈{x|x>0},|x-1|=x-1
C. x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1
D. x {x|x>0},|x-1|=x-1
3.命题“高一(3)班所有的男生都爱踢足球”的否定是( )
A.高一(3)班至多有一名男生爱踢足球
B.高一(3)班至少有一名男生不爱踢足球
C.高一(3)班所有的男生都不爱踢足球
D.高一(3)班的所有同学都不爱踢足球
4.下列四个命题中,为真命题的是( )
A. x∈R,x+≥2
B. x∈R,x3=7
C. x∈R,|1-x|<0
D. x∈R,|x+5|>0
5.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是无理数
6.设命题p: n∈N,n2>2n,则p的否定为( )
A. n∈N,n2>2n B. n∈N,n2≤2n
C. n∈N,n2≤2n D. n∈N,n2=2n
7.下列命题的否定是假命题的是( )
A.有理数不是实数
B.存在一个被5整除的整数,末位数字是3
C.二次函数的图象都开口向上
D.存在一个能被5整除的数是奇数
8.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为 ;此命题的否定是 (用符号表示),是 命题(填“真”或“假”).
9.已知命题“ x∈R,使ax2+2x-1≤0”,是否存在a∈R,使该命题的否定是真命题 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
10.已知命题p: x∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q: x∈R,x2-4x-a=0.命题p是真命题,且命题q的否定是真命题,求a的取值范围.
能力提升
1.命题“ x>0,x2>”的否定是( )
A. x>0,x2≤
B. x≤0,x2≤
C. x>0,x2≤
D. x≤0,x2≤
2.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数,使x3+1=0
3.已知p: x∈R,2x2+2x+<0,q: a∈R,函数y=x2-x+a的图象与x轴有交点,则下列判断正确的是 ( )
A.p是真命题
B.q是假命题
C.p的否定是假命题
D.q的否定是假命题
4.已知下列说法:
①命题“等圆的面积相等,周长相等”是全称量词命题;
②命题“ x∈Z,x2∈N”是假命题;
③命题“ x∈N,∈N”的否定是“ x∈N, N”;
④命题“存在一个梯形,有两个内角为90°”的否定是真命题.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知命题“对任意一个实数x,m≠x2+1”的否定是真命题,则m的取值范围是 .
6.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.写出它们的否定,并判断命题的否定的真假.
(1)矩形的对角线互相垂直;
(2)存在一个集合,它的子集个数是2;
(3) a,b∈R,关于x的方程ax=b有唯一解.
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课后·训练提升
基础巩固
1.已知命题p: x∈R,x2=5,则该命题的否定是( )
A. x R,x2=5 B. x∈R,x2≠5
C. x∈R,x2=5 D. x∈R,x2≠5
答案D
2.命题“ x∈{x|x>0},|x-1|=x-1”的否定是( )
A. x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1
B. x∈{x|x>0},|x-1|=x-1
C. x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1
D. x {x|x>0},|x-1|=x-1
答案A
3.命题“高一(3)班所有的男生都爱踢足球”的否定是( )
A.高一(3)班至多有一名男生爱踢足球
B.高一(3)班至少有一名男生不爱踢足球
C.高一(3)班所有的男生都不爱踢足球
D.高一(3)班的所有同学都不爱踢足球
答案B
4.下列四个命题中,为真命题的是( )
A. x∈R,x+≥2
B. x∈R,x3=7
C. x∈R,|1-x|<0
D. x∈R,|x+5|>0
答案B
解析选项A,当x<0时,x+≥2不成立,所以A中命题为假命题;选项C,绝对值恒大于等于0,故C中命题为假命题;选项D,当x=-5时,|x+5|=0,所以D中命题为假命题.故选B.
5.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是无理数
答案B
6.设命题p: n∈N,n2>2n,则p的否定为( )
A. n∈N,n2>2n B. n∈N,n2≤2n
C. n∈N,n2≤2n D. n∈N,n2=2n
答案C
解析因为“ x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M, p(x)”,所以命题“ n∈N,n2>2n”的否定是“ n∈N,n2≤2n”.故选C.
7.下列命题的否定是假命题的是( )
A.有理数不是实数
B.存在一个被5整除的整数,末位数字是3
C.二次函数的图象都开口向上
D.存在一个能被5整除的数是奇数
答案D
8.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为 ;此命题的否定是 (用符号表示),是 命题(填“真”或“假”).
答案 x,y∈R,x+y>1 x,y∈R,x+y≤1 假
解析命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为“ x,y∈R,x+y>1”,此命题的否定是全称量词命题:“ x,y∈R,x+y≤1”,显然命题的否定是假命题.
9.已知命题“ x∈R,使ax2+2x-1≤0”,是否存在a∈R,使该命题的否定是真命题 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解∵“ x∈R,ax2+2x-1>0”是真命题,
∴此不等式的解集为 .
综上,这样的a不存在.
10.已知命题p: x∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q: x∈R,x2-4x-a=0.命题p是真命题,且命题q的否定是真命题,求a的取值范围.
解当x∈R时,(x-2)2-1的最小值为-1,所以由命题p是真命题,可得a<-1.命题q的否定: x∈R,x2-4x-a≠0.因为命题q的否定是真命题,所以Δ=16+4a<0,解得a<-4.综上所述,所求a的取值范围是a<-4.
能力提升
1.命题“ x>0,x2>”的否定是( )
A. x>0,x2≤
B. x≤0,x2≤
C. x>0,x2≤
D. x≤0,x2≤
答案C
2.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数,使x3+1=0
答案AC
解析命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题.又D为真命题,故选AC.
3.已知p: x∈R,2x2+2x+<0,q: a∈R,函数y=x2-x+a的图象与x轴有交点,则下列判断正确的是 ( )
A.p是真命题
B.q是假命题
C.p的否定是假命题
D.q的否定是假命题
答案D
解析在命题p中,当x=-时,2x2+2x+=0,故p为假命题, p为真命题;在命题q中,当a=0时,函数y=x2-x的图象与x轴有交点,故q为真命题, q是假命题.故选D.
4.已知下列说法:
①命题“等圆的面积相等,周长相等”是全称量词命题;
②命题“ x∈Z,x2∈N”是假命题;
③命题“ x∈N,∈N”的否定是“ x∈N, N”;
④命题“存在一个梯形,有两个内角为90°”的否定是真命题.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案B
解析①③正确,②④错误,故选B.
5.已知命题“对任意一个实数x,m≠x2+1”的否定是真命题,则m的取值范围是 .
答案m≥1
解析该命题的否定:存在一个实数x,m=x2+1,且为真命题.因为x2+1≥1,所以m≥1.
6.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.写出它们的否定,并判断命题的否定的真假.
(1)矩形的对角线互相垂直;
(2)存在一个集合,它的子集个数是2;
(3) a,b∈R,关于x的方程ax=b有唯一解.
解(1)全称量词命题;否定:有些矩形的对角线不互相垂直;真命题.
(2)存在量词命题;否定:任何集合的子集个数都不是2;假命题.
(3)全称量词命题;否定: a,b∈R,关于x的方程ax=b的解不存在或至少有2个;真命