第1课时 基本不等式
课后·训练提升
基础巩固
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
2.已知m=a++1(a>0),0A.m>n B.m3.(多选题)下列不等式一定成立的是( )
A.x2+>x(x>0) B.2x+≥4(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
4.(多选题)下列条件中,能使≥2成立的有( )
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0,b>0 D.a<0,b<0
5.已知a>b>c,则的大小关系是 .
6.不等式≥2恒成立,当且仅当x= 时取等号.
7.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (填序号).
①ab≤1;②;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.
8.设a,b,c都是正数,求证:≥a+b+c.
9.已知a,b,c∈R,求证:(a+b+c).
能力提升
1.已知a,b是正数,则的大小关系是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )
A.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
3.(多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.a+b+≥2 B.(a+b)≥4
C.≥2 D.
4.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 .
5.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1)2+(b+1)2≥.
6.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)≥9.
第1课时 基本不等式
课后·训练提升
基础巩固
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
答案B
解析a2+1-2a=(a-1)2≥0,当a=1时,等号成立.
2.已知m=a++1(a>0),0A.m>n B.m答案A
解析因为a>0,所以m=a++1≥2+1=3,当且仅当a=1时等号成立.所以m>n.
3.(多选题)下列不等式一定成立的是( )
A.x2+>x(x>0) B.2x+≥4(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
答案BC
解析∵当x=时,x2+=x,
∴A不一定成立;
∵当x>0时,有2x+≥4=4,当且仅当x=1时等号成立,∴B一定成立;
∵x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,∴C一定成立;
∵x2+1≥1,∴0<≤1,故D不成立.
4.(多选题)下列条件中,能使≥2成立的有( )
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0,b>0 D.a<0,b<0
答案ACD
解析当均为正数时,≥2,故只需a,b同号即可.故A,C,D均可以.
5.已知a>b>c,则的大小关系是 .
答案
解析∵a>b>c,
∴a-b>0,b-c>0.
∴,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.
6.不等式≥2恒成立,当且仅当x= 时取等号.
答案0
解析≥2=2,其中当且仅当 x2+1=1 x2=0 x=0时等号成立.
7.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (填序号).
①ab≤1;②;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.
答案①③⑤
解析令a=b=1,排除②④;由2=a+b≥2 ab≤1,①中不等式恒成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥4-2×=2,③中不等式恒成立;=2,⑤中不等式恒成立.
8.设a,b,c都是正数,求证:≥a+b+c.
证明因为a,b,c都是正数,所以也都是正数.
所以≥2c,≥2a,≥2b,
三式相加得2≥2(a+b+c),即≥a+b+c,当且仅当a=b=c时取等号.
9.已知a,b,c∈R,求证:(a+b+c).
证明∵=-=-≤0,∴,
∴(a+b)(等号在a=b时成立),
同理(b+c)(等号在b=c时成立),
(a+c)(等号在a=c时成立),
三式相加得(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(等号在a=b=c时成立).
能力提升
1.已知a,b是正数,则的大小关系是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析∵a,b是正数,∴(当且仅当a=b时,取等号);再比较的大小.
∵=-=-≤0,∴.故选D.
2.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )
A.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
答案A
解析因为a,b,c,d均为正数,且a+b=cd=4,所以由基本不等式得a+b≥2,故ab≤4.
又因为cd≤,所以c+d≥4,所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.
3.(多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.a+b+≥2 B.(a+b)≥4
C.≥2 D.
答案ABC
解析对A,a+b+≥2≥2,当时,取等号,故A恒成立;对B,(a+b)()=2+≥4,当a=b时,取等号,故B恒成立;对C,=2,当a=b时,取等号,故C恒成立;对D,,当a=b时,取等号,故D不成立.故选ABC.
4.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 .
答案x解析∵a,b是不相等的正数,∴x2-y2=2-()2=-a-b=<0,∴x20,y>0,∴x5.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1)2+(b+1)2≥.
证明∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0,
∴(a+1)2+(b+1)2≥2(a+1)(b+1),
∴2(a+1)2+2(b+1)2≥(a+1)2+(b+1)2+2(a+1)(b+1)=[(a+1)+(b+1)]2,
∴≥(a+1)+(b+1)=3,
∴(a+1)2+(b+1)2≥,
当且仅当a=b=时,等号成立.
6.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)≥9.
证明(1)=2().
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴=2+≥2+2=4,
∴≥8(当且仅当a=b=时,等号成立).
(2)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,同理,1+=2+,
∴=5+2()≥5+4=9,
∴≥9(当且仅当a=b=时,等号成立).第2课时 基本不等式的应用
课后·训练提升
基础巩固
1.已知正数x,y满足=1,则xy有( )
A.最小值 B.最大值16
C.最小值16 D.最大值
2.已知0A. B. C. D.
3.已知x>1,在x=t时取得最小值,则t等于 ( )
A.1+ B.2
C.3 D.4
4.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
5.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明,在现代数学中可用下图来表述.我们教材中利用该图作为( )的几何解释.
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立
D.如果a>b,c>0,那么ac>bc
6.为净化水质,某游泳馆向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大值为 .
7.某公司一年需购买某种货物400吨,每次都购买x吨,每次的运费为4万元,一年的存储费用为4x万元,要使一年的运费与存储费用之和最少,则x= .
8.已知09.已知a>0,b>0,c>0,求证:≥a+b+c.
10.某商场预计全年分批购入2 000元/台的电视机共3 600台.每批都购入x台(x是自然数),且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所需的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用,问能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用
能力提升
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.当x>0时,2x+的最小值为2
B.的最小值为2
C.当x>0时,2-3x-的最大值为2-4
D.已知x>0,y>0,4xy-x-2y=4,则xy的最小值为2
2.已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
3.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.a≥0 B.a≥
C.a≥1 D.a≥2
4.若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是 .
5.已知a,b均为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值.
6.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,那么每平方米的平均建筑费用为y=3 000+50x(单位:元).为了使每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层 每平方米的平均综合费用最少是多少
[注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=]
第2课时 基本不等式的应用
课后·训练提升
基础巩固
1.已知正数x,y满足=1,则xy有( )
A.最小值 B.最大值16
C.最小值16 D.最大值
答案C
解析∵x>0,y>0,∴≥2=4.
∵=1,∴4≤1,
∴,∴xy≥16.故选C.
2.已知0A. B. C. D.
答案B
解析由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤,当且仅当3x=3-3x,即x=时等号成立.
3.已知x>1,在x=t时取得最小值,则t等于 ( )
A.1+ B.2
C.3 D.4
答案B
解析∵x>1,∴x-1>0,则=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.故t=2.
4.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
答案B
解析∵x>0,y>0,∴1+x>0,1+y>0,
又x+y=8,
∴(1+x)(1+y)≤=2==25,
当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,取等号.
故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.
5.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明,在现代数学中可用下图来表述.我们教材中利用该图作为( )的几何解释.
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立
D.如果a>b,c>0,那么ac>bc
答案C
6.为净化水质,某游泳馆向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大值为 .
答案2 5
解析C=.
因为t>0,所以t+≥2=4(当且仅当t=,即t=2时,等号成立),所以C==5,即当t=2时,C取得最大值5.
7.某公司一年需购买某种货物400吨,每次都购买x吨,每次的运费为4万元,一年的存储费用为4x万元,要使一年的运费与存储费用之和最少,则x= .
答案20
解析一年的运费与存储费用之和为(4x+×4)万元,4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=,即x=20时取等号.
8.已知0答案4
解析∵08-3x>2>0,
∴=4,
当且仅当3x=8-3x,即x=时,取等号.∴当x=时,取最大值,且最大值为4.
9.已知a>0,b>0,c>0,求证:≥a+b+c.
证明∵a>0,b>0,c>0,∴均大于0.
又+b≥2=2a,+c≥2=2b,+a≥2=2c,
三式相加得+b++c++a≥2a+2b+2c,
∴≥a+b+c.
10.某商场预计全年分批购入2 000元/台的电视机共3 600台.每批都购入x台(x是自然数),且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所需的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用,问能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用
解设全年的运输和保管总费用为y元(y>0),题中正比例函数的比例系数为k,则y=×400+k(2000x)=+2000kx.
因为当x=400时,y=43600,所以k=0.05.
故有y=+100x≥2=24000.
当且仅当=100x,即x=120时取等号.
所以只需每批购入120台,可使资金够用.
能力提升
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.当x>0时,2x+的最小值为2
B.的最小值为2
C.当x>0时,2-3x-的最大值为2-4
D.已知x>0,y>0,4xy-x-2y=4,则xy的最小值为2
答案ACD
解析对于A,当x>0时,2x+≥2,故A正确;
对于B,若=2,则无实数解;
对于C,当x>0时,2-3x-≤2-4,当且仅当3x=时,等号成立,故C正确;
对于D,∵x>0,y>0,x+2y≥2,
∴4xy-(x+2y)≤4xy-2,
∴4≤4xy-2,则(-2)(+1)≥0,∴≥2,
∴xy≥2,故D正确.
2.已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案D
解析∵a>0,b>0,a+b=1,
∴ab≤,当a=b=时,等号成立.
∴+1≥+1=9.故选D.
3.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.a≥0 B.a≥
C.a≥1 D.a≥2
答案B
解析对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,即对任意x>0,不等式≤a恒成立.因为x++3≥3+2=5,当且仅当x=1时,取等号,所以的最大值为.所以a≥.故选B.
4.若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是 .
答案4
解析(方法一)∵x2+xy-2=0,
∴y=-x,
∴3x+y=3x+-x=2x+≥4,当且仅当x=1时等号成立,故3x+y的最小值为4.
(方法二)∵x2+xy=2,∴x(x+y)=2.
∵x>0,y>0,3x+y=2x+(x+y)≥2=4,当且仅当时,取等号.
∴3x+y的最小值为4.
5.已知a,b均为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值.
解∵2a+8b-ab=0,∴=1.
又a>0,b>0,
∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=18,
当且仅当,即a=2b时,等号成立.
由解得
∴当a=12,b=6时,a+b取得最小值18.
6.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,那么每平方米的平均建筑费用为y=3 000+50x(单位:元).为了使每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层 每平方米的平均综合费用最少是多少
[注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=]
解设每平方米的平均综合费用为y1元,依题意得y1=y+=50x++3000(x≥12,x∈N*),故y1=50x++3000≥2+3000=5000(元),
当且仅当50x=,即x=20时,等号成立.
所以当x=20时,y1取得最小值5000元.
所以该楼房应建为20层,此时每平方米的平均综合费用最少,为5000元.
