第1课时 一元二次不等式
课后·训练提升
基础巩固
1.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N等于( )
A.{x|-4≤x<-2,或3
B.{x|-4C.{x|x≤-2,或x>3}
D.{x|x<-2,或x≥3}
2.(多选题)下列不等式中解集是R的是( )
A.-x2+x-1<0
B.4x2+4x+1≥0
C.x2-5x+6>0
D.(a2+1)x2+ax-1>0
3.使分式有意义的x的取值范围为( )
A.-7≤x≤1 B.-7C.x≤-7或x≥1 D.x<-7或x>1
4.如果关于x的不等式x2A.-81 B.81 C.-64 D.64
5.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-26.解不等式:-17.已知关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},求a,b的值.
8.已知关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为,求m的取值范围.
9.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
能力提升
1.已知关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为{x|x1A.- B.-
C.± D.
2.若在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )
A.0C.x<-2或x>1 D.-13.若0A.{x|B.{x|x>或xC.{x|x<或x>t}
D.{x|t4.已知y=(x-a)(x-b)+2(aA.a<α<βC.α5.已知x=1在不等式k2x2-6kx+8≥0的解集内,则k的取值范围是 .
6.已知关于x的不等式x2-3x+t<0的解集为{x|17.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2+bn<(an+b)x.
第1课时 一元二次不等式
课后·训练提升
基础巩固
1.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N等于( )
A.{x|-4≤x<-2,或3B.{x|-4C.{x|x≤-2,或x>3}
D.{x|x<-2,或x≥3}
答案A
解析∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2,或x>3},
∴M∩N={x|-4≤x<-2,或32.(多选题)下列不等式中解集是R的是( )
A.-x2+x-1<0
B.4x2+4x+1≥0
C.x2-5x+6>0
D.(a2+1)x2+ax-1>0
答案AB
解析-x2+x-1<0 x2-x+1>0 (x-)2+>0,
∴A中不等式的解集为R;
4x2+4x+1≥0 (2x+1)2≥0,
∴B中不等式的解集为R;
不等式x2-5x+6>0对应的方程中Δ=25-4×6=1>0,
∴C中不等式的解集不是R;
不等式(a2+1)x2+ax-1>0对应的方程中Δ=a2-4(a2+1)×(-1)=5a2+4>0,
∴D中不等式的解集不是R.故选AB.
3.使分式有意义的x的取值范围为( )
A.-7≤x≤1 B.-7C.x≤-7或x≥1 D.x<-7或x>1
答案B
解析由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7)·(x-1)<0,所以-74.如果关于x的不等式x2A.-81 B.81 C.-64 D.64
答案B
解析关于x的不等式x2由根与系数的关系,得解得
所以ba=(-3)4=81.故选B.
5.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2答案B
解析因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-26.解不等式:-1解由x2+2x-1>-1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2.
由x2+2x-1≤2,得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.所以-3≤x<-2或0故不等式的解集为{x|-3≤x<-2,或07.已知关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},求a,b的值.
解由ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},知a<0,且关于x的方程ax2+bx+2=0的两根分别是x1=-1,x2=2,∴解得
8.已知关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为,求m的取值范围.
解∵关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为,
∴关于x的方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为和2,且
解得m<0.故m的取值范围是m<0.
9.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
解(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为,且a<0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由a=-6,c=-1,知关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以不等式的解集为.
能力提升
1.已知关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为{x|x1A.- B.-
C.± D.
答案C
解析由题意知x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-8a2,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2.
又x2-x1=15,
所以36a2=152,解得a=±.
2.若在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )
A.0C.x<-2或x>1 D.-1答案B
解析根据给出的定义,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).
又x☉(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,解得-23.若0A.{x|B.{x|x>或xC.{x|x<或x>t}
D.{x|t答案D
解析∵t∈(0,1)时,t<,
∴原不等式的解集为{x|t4.已知y=(x-a)(x-b)+2(aA.a<α<βC.α答案A
解析设h=(x-a)(x-b),将其图象向上平移2个单位长度得到y=(x-a)(x-b)+2的图象,如图所示.
由图易知a<α<β5.已知x=1在不等式k2x2-6kx+8≥0的解集内,则k的取值范围是 .
答案{k|k≥4,或k≤2}
解析x=1在不等式k2x2-6kx+8≥0的解集内,把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2.
6.已知关于x的不等式x2-3x+t<0的解集为{x|1解∵关于x的不等式x2-3x+t<0的解集为{x|1∴1,m是关于x的方程x2-3x+t=0的两根,
∴
解得
∴t+m=4.
7.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2+bn<(an+b)x.
解(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个根且a>0,b≥1.
由一元二次方程根与系数的关系式解得所以a=1,b=2.
(2)由(1)知a=1,b=2,故原不等式可化为x2-(2+n)x+2n<0,即(x-2)(x-n)<0.
①当n>2时,原不等式的解集为{x|2②当n=2时,原不等式的解集为 .
③当n<2时,原不等式的解集为{x|n课后·训练提升
基础巩固
1.不等式<1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.
D.
2.不等式≥2的解集是( )
A.
B.
C.
D.
3.若关于x的一元二次不等式x2-(t+2)x+t>0恒成立,则t的取值集合是( )
A.{t|1≤t≤4}
B.{t|1C.{t|t≤1,或t≥4}
D.{t|t<1,或t>4}
4.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意的x∈R恒成立,则m的最大值为( )
A.2 B.-2 C.-4 D.4
5.已知对 a∈{a|-1≤a≤1},函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.13
C.12
6.不等式≤3的解集是 .
7.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是 ;
(2)若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .
8.设三角形三边的长度分别是15 cm,19 cm,23 cm,把它的三条边都缩短x cm,能组成钝角三角形吗 若能,求出x的取值范围;若不能,请说明理由.(提示:若△ABC的三边长分别为a,b,c,a2+b29.已知关于x的不等式<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.
能力提升
1.已知关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是 ,则实数a的取值范围是( )
A.-1C.22.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<-2,或x>1} B.{x|1C.{x|x<-1,或x>2} D.{x|-13.已知关于x的一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是 .
4.对于集合A={x|x2-2ax+4a-3=0,a∈R},B={x|x2-2ax+a2+a+2=0,a∈R},是否存在实数a,使A∪B= 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
5.某单位采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.
(1)该单位每月二氧化碳处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
(2)该单位处理二氧化碳每月能否获利 如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能不亏损
第2课时 一元二次不等式的应用
课后·训练提升
基础巩固
1.不等式<1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.
D.
答案C
解析原不等式等价于-1<0 <0 (x+1)·(1-2x)<0 (2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>.故原不等式的解集为.
2.不等式≥2的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析∵原不等式等价于
∴
∴.
3.若关于x的一元二次不等式x2-(t+2)x+t>0恒成立,则t的取值集合是( )
A.{t|1≤t≤4}
B.{t|1C.{t|t≤1,或t≥4}
D.{t|t<1,或t>4}
答案B
解析由不等式对应方程的判别式Δ=(t+2)2-4×=t2+4t+4-9t=t2-5t+4<0,解得14.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意的x∈R恒成立,则m的最大值为( )
A.2 B.-2 C.-4 D.4
答案C
解析由已知可得不等式对应方程的判别式Δ≤0,即Δ=(-4)2+4m≤0,解得m≤-4.
所以m的最大值为-4.
5.已知对 a∈{a|-1≤a≤1},函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.13
C.12
答案B
解析整理可得y=(x-2)a+(x2-4x+4),当-1≤a≤1时,y>0,
即
即解得
故x<1或x>3.
6.不等式≤3的解集是 .
答案
解析由≤3,得-3≤0,即≥0,则解得x<0或x≥.
故不等式≤3的解集是.
7.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是 ;
(2)若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .
答案(1)-4解析(1)由题意可得,方程x2-ax-a=0的判别式Δ1<0,即a2-4(-a)<0,解得-4(2)由x2-ax-a≤-3,得x2-ax-a+3≤0.
∵x2-ax-a+3≤0的解集不是空集,
∴方程x2-ax-a+3=0的判别式Δ2≥0,
即a2-4(3-a)≥0,解得a≤-6或a≥2.
8.设三角形三边的长度分别是15 cm,19 cm,23 cm,把它的三条边都缩短x cm,能组成钝角三角形吗 若能,求出x的取值范围;若不能,请说明理由.(提示:若△ABC的三边长分别为a,b,c,a2+b2解假设能组成钝角三角形,依题意得
整理可得解得39.已知关于x的不等式<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m<2(x2-2x+3)恒成立,
∴2x2-8x+6-m>0恒成立.
∴方程2x2-8x+6-m=0的判别式Δ=64-8(6-m)=16+8m<0,解得m<-2.
∴实数m的取值范围为m<-2.
能力提升
1.已知关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是 ,则实数a的取值范围是( )
A.-1C.2答案B
解析∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集是 ,
∴方程x2-2x-(a2-2a-4)=0的判别式Δ=4+4(a2-2a-4)<0,
即a2-2a-3<0,解得-12.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<-2,或x>1} B.{x|1C.{x|x<-1,或x>2} D.{x|-1答案C
解析由题意,可得x=1为方程ax-b=0的根,且a>0,∴a-b=0,即a=b>0.
∴>0,等价于(x+1)(x-2)>0.
解得x>2或x<-1.
故所求不等式的解集为{x|x>2,或x<-1}.
3.已知关于x的一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是 .
答案0解析∵关于x的一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立,
∴解得0∴k的取值范围是04.对于集合A={x|x2-2ax+4a-3=0,a∈R},B={x|x2-2ax+a2+a+2=0,a∈R},是否存在实数a,使A∪B= 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
解假设存在实数a,使A∪B= ,则A=B= ,即关于x的一元二次方程x2-2ax+4a-3=0与x2-2ax+a2+a+2=0均无实数根,于是有Δ1=4a2-4(4a-3)<0,且Δ2=8a2-4(a2+a+2)<0,解得15.某单位采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.
(1)该单位每月二氧化碳处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
(2)该单位处理二氧化碳每月能否获利 如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能不亏损
解(1)由题意可知,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000(400≤x≤600),所以每吨二氧化碳的平均处理成本为x+-200,有≥2-200=200,当且仅当x=,即当x=400时,等号成立.
因此,该单位每月二氧化碳处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
(2)每月利润Y=100x-(x2-200x+80000)=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000,400≤x≤600,当x=400时,函数取得最大值-40000.
所以该单位处理二氧化碳每月不能获利,国家至少需要补贴40000元才能不亏损.