2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时3
一、填空题
1．如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 ，简称:“等角对 ”
2．反证法：先假设命题的 不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论 成立，这种证明方法称为反证法.
二、选择题
3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．∠A=50°，∠B=70° B．∠A=70°，∠B=40°
C．∠A=30°，∠B=90° D．∠A=80°，∠B=60°
5．如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2016九上·鄞州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE= BC
7．（2016八上·港南期中）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，添加下列条件中的某一个，不能推出△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠BAD=∠ACD B．∠BAD=∠CAD C．BD=CD D．∠B=∠C
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，若C也是格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ=∠AQP时，P，Q运动的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．4.5秒 D．5秒
12．“aA．a>b且a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
13．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
14．下列命题中，宜用反证法证明的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
三、解答题
15．如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于E,并与CA的延长线交于点F.
求证:△ADF是等腰三角形.
16．把一张长方形纸条按如图方式折叠,BD为折痕,重合部分是什么形状 请说明理由.
17．如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,F为CA的延长线上的一点,过点F 作FG⊥BC于G点,并交AB于E点.
（1）求证:AD∥FG;
（2）△AFE为等腰三角形.
18．如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.
求证:DE=DF.
答案解析部分
1．【答案】相等；等边
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：1、如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 ，简称‘等角对等边”。
故答案为 ：相等 ；等边 。
【分析】根据等腰三角形的性质得出：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边” 。
2．【答案】结论；矛盾；一定
【知识点】反证法
【解析】【解答】解 ：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
故答案为 ：结论； 矛盾；一定。
【分析】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，基本事实，已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明得方法称为反证法。
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5。
故应选：D 。
【分析】根据等角等等边得出AB=AC=5 。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解；①∵在△ABC中 ，∠A=50°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=60° ，
∴∠A≠∠B≠∠C ，
∴此三角形不是等腰三角形，故A不符合题意；
②在△ABC中 ，∠A=70°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=70° ，
∴∠A＝∠B，
∴此三角形是等腰三角形，故B符合题意；
③∵在△ABC中 ，∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=60° ，
∴∠A≠∠B≠∠C ，
∴此三角形不是等腰三角形，故C不符合题意 ；
④在△ABC中 ，∠A=80°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=40° ，
∴∠A≠∠B≠∠C ，
∴此三角形不是等腰三角形，故D不符合题意 ；
故应选 ：B 。
【分析】根据三角形的内角和分别算出三角形的第三个内角的度数，然后看三角形中是否有两个内角相等，若有，则此三角形就是等腰三角形，从而得出答案。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，
∴△ABC和△ADE是等腰三角形，
∵∠B=36°，∠ADE=72°，
∴∠BAD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形，
∵∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=36°，
∴∠CAD=36°+36°=72°，
∴∠CAD=∠CDA=72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理：△ABE是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故应选：D 。
【分析】根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形得出△ABC和△ADE是等腰三角形；根据三角行的外角定理得出∠BAD=36°=∠B，从而得出△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形；根据三角形的内角和得出∠DAE=36°，根据角的和差得出∠CAD=36°+36°=72°，进而得出∠CAD=∠CDA=72°，故△ADC是等腰三角形，同理：△ABE是等腰三角形；从而得出结论。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，∠ADE=∠B，
∵AB=AC，
∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
而DE不一定等于 BC，
故选D．
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
8．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，k°，2k°．
则k°+k°+2k°=180°，
解得k°=45°．
∴2k°=90°，
∴这个三角形是等腰直角三角形．
故应选：D 。
【分析】根据∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，从而设设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，根据三角形的内角和=180°，列出方程，求解得出k的值，从而找出三角形三内角的度数，根据三角形的三内角的大小关系即可得出结论。
9．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解 ：①如果添加∠BAD=∠CAD；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90° ，
又∵AD=AD， ∠BAD=∠CAD ，
∴ △ADC≌△ADB （ASA）
∴ AB=AC ，
∴ △ABC是等腰三角形；
故B不符合题意；
②如果添加BD=CD；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AD=AD， BD=CD
∴ △ADC≌△ADB （SAS）
∴ AB=AC ，
∴ △ABC是等腰三角形；
故C不符合题意；
③如果添加∠B=∠C；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AD=AD， ∠B=∠C；
∴ △ADC≌△ADB （AAS）
∴ AB=AC ，
∴ △ABC是等腰三角形；
故D不符合题意；
综上所述只有A符合题意，
故应选 ：A .
【分析】①如果添加∠BAD=∠CAD；能推出△ABC为等腰三角形 ，理由如下 ：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90° ， 然后利用ASA判断出 △ADC≌△ADB ，根据全等三角形对应边相等得出 AB=AC ，从而得出结论△ABC是等腰三角形；
②如果添加BD=CD；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90° ， 然后利用SAS判断出 △ADC≌△ADB ，根据全等三角形对应边相等得出 AB=AC ，从而得出结论△ABC是等腰三角形；
③如果添加∠B=∠C；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90° ， 然后利用AAS判断出 △ADC≌△ADB ，根据全等三角形对应边相等得出 AB=AC ，从而得出结论△ABC是等腰三角形；从而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如下图：分情况讨论．
① AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故应选：C 。
【分析】此题分两种情况讨论，① AB为等腰△ABC底边时，作AB的中垂线，交格点的位置就是C点的位置，从而得出符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，以B点为圆心，AB的长度为半径画弧，与格点有两个交点；以A点为圆心，AB的长度为半径画弧，与格点有两个交点； 符合条件的C点有4个；从而得出答案。
11．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】设运动的时间为x，
∵在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
∴AP=20-3x，AQ=2x ，
当△APQ中∠APQ=∠AQP时，
AP=AQ，
∴ 20-3x=2x，
解得x=4．
故应选：B。
【分析】设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，AP=20-3x，AQ=2x ，当△APQ中∠APQ=∠AQP时，AP=AQ，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案。
12．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解 ：a=b或a>b 。
故应选 ：D .
【分析】“a13．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
14．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】A、利用三角形的面积公式比较容易证明，故A选项不符合题意；B、利用等边三角形的判定定理即可直接证明，故B不符合题意；D、根据全等的定义可以直接证明，故D不符合题意 。
故应选：C 。
【分析】根据三角形的面积法容易证出等腰三角形两腰上的高相等；有一个外角是120°的话，则相邻内角是60°，利用有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可证出有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；根据全等三角形的定义，能完全重合的三角形就是全等三角形，既然能重合，肯定面积相等从而得出全等三角形的面积相等；从而得出答案。
15．【答案】证明:∵DE⊥BC于E,∴∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°.∵∠FDA=∠BDE,∴∠B+∠FDA=90°.∴∠F+∠C=∠B+∠FDA.∵ AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠F=∠FAD ,∴AF=AD,即△ADF是等腰三角形
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得出∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°，根据对顶角相等得出∠FDA=∠BDE，进而得出∠B+∠FDA=90° ，根据等边对等角得出∠B=∠C，根据等角的余角相等得出∠F=∠FAD ,根据两角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
16．【答案】解:重合部分△BDE是等腰三角形.理由如下:∵△BC'D是由△BCD翻折得到的,∴△BC'D与△BCD关于直线BD成轴对称.∴∠EBD=∠CBD.又∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC.∴∠EDB=∠CBD.∴∠EDB=∠EBD.∴BE=DE,即△BDE是等腰三角形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】重合部分△BDE是等腰三角形.理由如下:根据翻折的知识知∠EBD=∠CBD，根据长方形的对边平行得出AD∥BC。根据二直线平行内错角相等得出∠EDB=∠CBD，进而得出∠EDB=∠EBD，根据两角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
17．【答案】（1）证明：∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.
又∵FG⊥BC,∴AD∥FG .
（2）证明：∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.
∵AD∥FG,∴∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD.
∴∠F=∠AEF.
∴AF=AE,即△AEF是等腰三角形
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC.又FG⊥BC,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥FG ；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD，根据二直线平行内错相等，同位角相等得出∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD.从而得出∠F=∠AEF，根据两角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
18．【答案】证明: 过点E作EG∥AC,交BC于点G ， ,∴∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B(等边对等角).∴∠B=∠EGB.∴BE=EG(等角对等边).∵BE=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,∴△EGD≌△FCD(AAS).∴DE=DF.
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】过点E作EG∥AC,交BC于点G ， 根据二直线平行内错角，同位角相等得出∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB.根据等边对等角得出∠ACB=∠B，从而得出∠B=∠EGB.根据等角对等边得出BE=EG，从而得出EG=CF.然后利用AAS判断出△EGD≌△FCD，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时3
一、填空题
1．如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 ，简称:“等角对 ”
【答案】相等；等边
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：1、如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 ，简称‘等角对等边”。
故答案为 ：相等 ；等边 。
【分析】根据等腰三角形的性质得出：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边” 。
2．反证法：先假设命题的 不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论 成立，这种证明方法称为反证法.
【答案】结论；矛盾；一定
【知识点】反证法
【解析】【解答】解 ：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
故答案为 ：结论； 矛盾；一定。
【分析】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，基本事实，已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明得方法称为反证法。
二、选择题
3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5。
故应选：D 。
【分析】根据等角等等边得出AB=AC=5 。
4．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．∠A=50°，∠B=70° B．∠A=70°，∠B=40°
C．∠A=30°，∠B=90° D．∠A=80°，∠B=60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解；①∵在△ABC中 ，∠A=50°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=60° ，
∴∠A≠∠B≠∠C ，
∴此三角形不是等腰三角形，故A不符合题意；
②在△ABC中 ，∠A=70°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=70° ，
∴∠A＝∠B，
∴此三角形是等腰三角形，故B符合题意；
③∵在△ABC中 ，∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=60° ，
∴∠A≠∠B≠∠C ，
∴此三角形不是等腰三角形，故C不符合题意 ；
④在△ABC中 ，∠A=80°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=40° ，
∴∠A≠∠B≠∠C ，
∴此三角形不是等腰三角形，故D不符合题意 ；
故应选 ：B 。
【分析】根据三角形的内角和分别算出三角形的第三个内角的度数，然后看三角形中是否有两个内角相等，若有，则此三角形就是等腰三角形，从而得出答案。
5．如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，
∴△ABC和△ADE是等腰三角形，
∵∠B=36°，∠ADE=72°，
∴∠BAD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形，
∵∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=36°，
∴∠CAD=36°+36°=72°，
∴∠CAD=∠CDA=72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理：△ABE是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故应选：D 。
【分析】根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形得出△ABC和△ADE是等腰三角形；根据三角行的外角定理得出∠BAD=36°=∠B，从而得出△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形；根据三角形的内角和得出∠DAE=36°，根据角的和差得出∠CAD=36°+36°=72°，进而得出∠CAD=∠CDA=72°，故△ADC是等腰三角形，同理：△ABE是等腰三角形；从而得出结论。
6．（2016九上·鄞州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE= BC
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，∠ADE=∠B，
∵AB=AC，
∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
而DE不一定等于 BC，
故选D．
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
7．（2016八上·港南期中）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
8．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，k°，2k°．
则k°+k°+2k°=180°，
解得k°=45°．
∴2k°=90°，
∴这个三角形是等腰直角三角形．
故应选：D 。
【分析】根据∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，从而设设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，根据三角形的内角和=180°，列出方程，求解得出k的值，从而找出三角形三内角的度数，根据三角形的三内角的大小关系即可得出结论。
9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，添加下列条件中的某一个，不能推出△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠BAD=∠ACD B．∠BAD=∠CAD C．BD=CD D．∠B=∠C
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解 ：①如果添加∠BAD=∠CAD；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90° ，
又∵AD=AD， ∠BAD=∠CAD ，
∴ △ADC≌△ADB （ASA）
∴ AB=AC ，
∴ △ABC是等腰三角形；
故B不符合题意；
②如果添加BD=CD；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AD=AD， BD=CD
∴ △ADC≌△ADB （SAS）
∴ AB=AC ，
∴ △ABC是等腰三角形；
故C不符合题意；
③如果添加∠B=∠C；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AD=AD， ∠B=∠C；
∴ △ADC≌△ADB （AAS）
∴ AB=AC ，
∴ △ABC是等腰三角形；
故D不符合题意；
综上所述只有A符合题意，
故应选 ：A .
【分析】①如果添加∠BAD=∠CAD；能推出△ABC为等腰三角形 ，理由如下 ：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90° ， 然后利用ASA判断出 △ADC≌△ADB ，根据全等三角形对应边相等得出 AB=AC ，从而得出结论△ABC是等腰三角形；
②如果添加BD=CD；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90° ， 然后利用SAS判断出 △ADC≌△ADB ，根据全等三角形对应边相等得出 AB=AC ，从而得出结论△ABC是等腰三角形；
③如果添加∠B=∠C；能推出△ABC为等腰三角形，理由如下：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90° ， 然后利用AAS判断出 △ADC≌△ADB ，根据全等三角形对应边相等得出 AB=AC ，从而得出结论△ABC是等腰三角形；从而得出答案。
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，若C也是格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如下图：分情况讨论．
① AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故应选：C 。
【分析】此题分两种情况讨论，① AB为等腰△ABC底边时，作AB的中垂线，交格点的位置就是C点的位置，从而得出符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，以B点为圆心，AB的长度为半径画弧，与格点有两个交点；以A点为圆心，AB的长度为半径画弧，与格点有两个交点； 符合条件的C点有4个；从而得出答案。
11．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ=∠AQP时，P，Q运动的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．4.5秒 D．5秒
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】设运动的时间为x，
∵在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
∴AP=20-3x，AQ=2x ，
当△APQ中∠APQ=∠AQP时，
AP=AQ，
∴ 20-3x=2x，
解得x=4．
故应选：B。
【分析】设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，AP=20-3x，AQ=2x ，当△APQ中∠APQ=∠AQP时，AP=AQ，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案。
12．“aA．a>b且a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解 ：a=b或a>b 。
故应选 ：D .
【分析】“a13．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
14．下列命题中，宜用反证法证明的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】A、利用三角形的面积公式比较容易证明，故A选项不符合题意；B、利用等边三角形的判定定理即可直接证明，故B不符合题意；D、根据全等的定义可以直接证明，故D不符合题意 。
故应选：C 。
【分析】根据三角形的面积法容易证出等腰三角形两腰上的高相等；有一个外角是120°的话，则相邻内角是60°，利用有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可证出有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；根据全等三角形的定义，能完全重合的三角形就是全等三角形，既然能重合，肯定面积相等从而得出全等三角形的面积相等；从而得出答案。
三、解答题
15．如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于E,并与CA的延长线交于点F.
求证:△ADF是等腰三角形.
【答案】证明:∵DE⊥BC于E,∴∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°.∵∠FDA=∠BDE,∴∠B+∠FDA=90°.∴∠F+∠C=∠B+∠FDA.∵ AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠F=∠FAD ,∴AF=AD,即△ADF是等腰三角形
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得出∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°，根据对顶角相等得出∠FDA=∠BDE，进而得出∠B+∠FDA=90° ，根据等边对等角得出∠B=∠C，根据等角的余角相等得出∠F=∠FAD ,根据两角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
16．把一张长方形纸条按如图方式折叠,BD为折痕,重合部分是什么形状 请说明理由.
【答案】解:重合部分△BDE是等腰三角形.理由如下:∵△BC'D是由△BCD翻折得到的,∴△BC'D与△BCD关于直线BD成轴对称.∴∠EBD=∠CBD.又∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC.∴∠EDB=∠CBD.∴∠EDB=∠EBD.∴BE=DE,即△BDE是等腰三角形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】重合部分△BDE是等腰三角形.理由如下:根据翻折的知识知∠EBD=∠CBD，根据长方形的对边平行得出AD∥BC。根据二直线平行内错角相等得出∠EDB=∠CBD，进而得出∠EDB=∠EBD，根据两角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
17．如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,F为CA的延长线上的一点,过点F 作FG⊥BC于G点,并交AB于E点.
（1）求证:AD∥FG;
（2）△AFE为等腰三角形.
【答案】（1）证明：∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.
又∵FG⊥BC,∴AD∥FG .
（2）证明：∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.
∵AD∥FG,∴∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD.
∴∠F=∠AEF.
∴AF=AE,即△AEF是等腰三角形
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC.又FG⊥BC,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥FG ；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD，根据二直线平行内错相等，同位角相等得出∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD.从而得出∠F=∠AEF，根据两角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
18．如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.
求证:DE=DF.
【答案】证明: 过点E作EG∥AC,交BC于点G ， ,∴∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B(等边对等角).∴∠B=∠EGB.∴BE=EG(等角对等边).∵BE=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,∴△EGD≌△FCD(AAS).∴DE=DF.
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】过点E作EG∥AC,交BC于点G ， 根据二直线平行内错角，同位角相等得出∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB.根据等边对等角得出∠ACB=∠B，从而得出∠B=∠EGB.根据等角对等边得出BE=EG，从而得出EG=CF.然后利用AAS判断出△EGD≌△FCD，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF。
1 / 1
