2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习
一、选择题
1．方程 配方后，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（ ）
A．22 B．28 C．34 D．40
3．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．x1=x2=1 B．x1=1+ ，x2=﹣1﹣
C．x1=1+ ，x2=1﹣ D．x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣
4．二次三项式 -4x+7配方的结果是（ ）
A． +7 B． +3 C． +3 D． -1
5．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0
6．把方程x2+ x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）
A．（x+ ）2= B．（x+ ）2=
C．（x+ ）2= D．（x+ ）2=
7．对任意实数x，多项式- +6x-10的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
8． ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2017·贾汪模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题
10．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是
11．（2016九上·临洮期中）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
12．将 变形为 ，则m+n=
13．已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
14．把方程 变形为 的形式后，h= ，k= ．
15．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
16．（2016八上·临海期末）已知a+ =3，则a2+ 的值是 ．
17．已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
三、解答题
18．用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0
（2）x2+12x-15=0
（3）x2-4x=16
（4）x2=x+56
19．用配方法解方程 ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
20．已知实数a满足
，求
的值.
21．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
22．已知当x=2时，二次三项式 的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9？
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2+8x=-9，
x2+8x+42=-9+42，
故答案为：A
【分析】根据配方法的特点，把不合适的常数项移到方程的右边，由完全平方式的意义，在方程两边加上一次项系数一半的平方即可配方。
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，
移项得：4x2+12x=1147，
4x2+12x+9=1147+9，
即（2x+3）2=1156，
2x+3=34，2x+3=﹣34，
解得：x= ，x=﹣ ，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a= ，b=﹣ ，
∴3a+b=3× +（﹣ ）=28，故答案为：B
【分析】先对所给方程进行配方，进而求得方程的根，即可求得a，b的值，进而可求得所给的代数式的值.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ， ， 所以.
故答案为：C
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
4．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： -4x+7= -4x+4+3= +3
故答案为：B
【分析】将x 2 -4x+7加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数的一半的平方，再写成完全平方的形式。
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣10x+5=x2﹣10x+25﹣20=（x﹣5）2﹣20，
当x=5时，代数式的最小值为﹣20，
故选B
【分析】原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ， ， ．故答案为：D
【分析】根据配方法的特点，把不合适的常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。
7．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：- +6x-10=-（ -6x）-10=-（ -6x+9-9）-10=- -1，∵-（ ≤0，∴- -1＜0，
即多项式- +6x-10的值是一个负数．
故答案为：B
【分析】根据配方法的特征，将代数式的二次项系数化为1，再配一个适当的常数项即加一次项系数一半的平方，结合平方的非负性即可求解。
8．【答案】B
【知识点】配方法的应用
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1=34，
2（x﹣2016）2+2=34，
2（x﹣2016）2=32，
（x﹣2016）2=16．
故选：D．
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
10．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由 ，得
∴
∵一个三角形的三边均满足方程
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °= 故答案是：
【分析】先利用配方法求出方程的解，再由已知一个三角形的三边是这个方程的解，可得出此三角形是等边三角形，再利用三角形的面积公式可解答。
11．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
12．【答案】18
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
则m＝3，n=15
则m+n=3+15=18
故答案为：18
【分析】根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，就可转化为(x 3)2=15，就可得出n、m的值，然后求出m+n的值。
13．【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
【分析】根据完全平方公式的特点可将已知的方程的左边配成完全平方式，右边是一个非负数，然后用直接开平方法求得x的值，再将所求的x的值代入所求的代数式中求值。
14．【答案】3；6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】把常数项移到选号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：移项，得 配方，得 所以， 故答案是：3；6
【分析】由完全平方公式的特点，把常数项移到选号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边配成完全平方式，右边是一个非负数，然后即可求解。
15．【答案】3
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
16．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+ =3，
∴a2+2+ =9，
∴a2+ =9﹣2=7．
故答案为：7．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
17．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
18．【答案】（1）解：x2+2x-8=0，
x2+2x=8，
x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，
则x+1=±3，
x= 1±3，
即
（2）解：x2+12x-15=0，
x2+12x=15，
x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，
则x+6=± ，
x= 6± ，
即
（3）解：x2-4x=16，
x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，
则x-2=± ，
x=2± ，
（4）解：x2=x+56，
x2-x+ 2=56+ 2，
（ 2= ，
则x- =± ，
x- =± + ，
即 .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。
19．【答案】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－ x+ =15+ ，即（x－ ）2= ，解得x－ =± ，即x1=3 ，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。按照步骤即可判断。
20．【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据完全平方公式
可变形得，
，于是已知的方程可变形为：
，将
看作一个整体，解一元二次方程即可求得
的值。
21．【答案】（1）⑤
（2）解：x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
【分析】（1）阅读解答过程，可得出答案。
（2）根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
22．【答案】解：把x=2代入方程 得
∴m=2，
把m=2代入
∴原方程的实数根为 或 答：
当 或 时，这个二次三项式的值是9.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=2代入x 2 2 m x + 8 =4，求出m的值，再将m的值代入方程x2 2mx+8=9，然后利用配方法求出方程的解。
23．【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则m2+m+4的最小值是 ；
（2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）先对所给代数式进行配方，结合平方的非负性即可求得所给代数式的最小值；（2）先将代数式的二次项系数化为1，再配方，即可得到一个数减去一个非负数，从而可求得代数式的最大值；（3）根据题意可用x表示出花园的面积，可知其为一个一元二次多项式，先将二次项系数化为1，再进行配方即可求得花园面积的最大值，及此时x的值.
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习
一、选择题
1．方程 配方后，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2+8x=-9，
x2+8x+42=-9+42，
故答案为：A
【分析】根据配方法的特点，把不合适的常数项移到方程的右边，由完全平方式的意义，在方程两边加上一次项系数一半的平方即可配方。
2．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（ ）
A．22 B．28 C．34 D．40
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，
移项得：4x2+12x=1147，
4x2+12x+9=1147+9，
即（2x+3）2=1156，
2x+3=34，2x+3=﹣34，
解得：x= ，x=﹣ ，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a= ，b=﹣ ，
∴3a+b=3× +（﹣ ）=28，故答案为：B
【分析】先对所给方程进行配方，进而求得方程的根，即可求得a，b的值，进而可求得所给的代数式的值.
3．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．x1=x2=1 B．x1=1+ ，x2=﹣1﹣
C．x1=1+ ，x2=1﹣ D．x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ， ， 所以.
故答案为：C
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
4．二次三项式 -4x+7配方的结果是（ ）
A． +7 B． +3 C． +3 D． -1
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： -4x+7= -4x+4+3= +3
故答案为：B
【分析】将x 2 -4x+7加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数的一半的平方，再写成完全平方的形式。
5．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣10x+5=x2﹣10x+25﹣20=（x﹣5）2﹣20，
当x=5时，代数式的最小值为﹣20，
故选B
【分析】原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．
6．把方程x2+ x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）
A．（x+ ）2= B．（x+ ）2=
C．（x+ ）2= D．（x+ ）2=
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ， ， ．故答案为：D
【分析】根据配方法的特点，把不合适的常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。
7．对任意实数x，多项式- +6x-10的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：- +6x-10=-（ -6x）-10=-（ -6x+9-9）-10=- -1，∵-（ ≤0，∴- -1＜0，
即多项式- +6x-10的值是一个负数．
故答案为：B
【分析】根据配方法的特征，将代数式的二次项系数化为1，再配一个适当的常数项即加一次项系数一半的平方，结合平方的非负性即可求解。
8． ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用
9．（2017·贾汪模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1=34，
2（x﹣2016）2+2=34，
2（x﹣2016）2=32，
（x﹣2016）2=16．
故选：D．
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
二、填空题
10．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由 ，得
∴
∵一个三角形的三边均满足方程
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °= 故答案是：
【分析】先利用配方法求出方程的解，再由已知一个三角形的三边是这个方程的解，可得出此三角形是等边三角形，再利用三角形的面积公式可解答。
11．（2016九上·临洮期中）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
12．将 变形为 ，则m+n=
【答案】18
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
则m＝3，n=15
则m+n=3+15=18
故答案为：18
【分析】根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，就可转化为(x 3)2=15，就可得出n、m的值，然后求出m+n的值。
13．已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
【分析】根据完全平方公式的特点可将已知的方程的左边配成完全平方式，右边是一个非负数，然后用直接开平方法求得x的值，再将所求的x的值代入所求的代数式中求值。
14．把方程 变形为 的形式后，h= ，k= ．
【答案】3；6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】把常数项移到选号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：移项，得 配方，得 所以， 故答案是：3；6
【分析】由完全平方公式的特点，把常数项移到选号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边配成完全平方式，右边是一个非负数，然后即可求解。
15．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
16．（2016八上·临海期末）已知a+ =3，则a2+ 的值是 ．
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+ =3，
∴a2+2+ =9，
∴a2+ =9﹣2=7．
故答案为：7．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
17．已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
三、解答题
18．用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0
（2）x2+12x-15=0
（3）x2-4x=16
（4）x2=x+56
【答案】（1）解：x2+2x-8=0，
x2+2x=8，
x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，
则x+1=±3，
x= 1±3，
即
（2）解：x2+12x-15=0，
x2+12x=15，
x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，
则x+6=± ，
x= 6± ，
即
（3）解：x2-4x=16，
x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，
则x-2=± ，
x=2± ，
（4）解：x2=x+56，
x2-x+ 2=56+ 2，
（ 2= ，
则x- =± ，
x- =± + ，
即 .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。
19．用配方法解方程 ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
【答案】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－ x+ =15+ ，即（x－ ）2= ，解得x－ =± ，即x1=3 ，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。按照步骤即可判断。
20．已知实数a满足
，求
的值.
【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据完全平方公式
可变形得，
，于是已知的方程可变形为：
，将
看作一个整体，解一元二次方程即可求得
的值。
21．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【答案】（1）⑤
（2）解：x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
【分析】（1）阅读解答过程，可得出答案。
（2）根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
22．已知当x=2时，二次三项式 的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9？
【答案】解：把x=2代入方程 得
∴m=2，
把m=2代入
∴原方程的实数根为 或 答：
当 或 时，这个二次三项式的值是9.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=2代入x 2 2 m x + 8 =4，求出m的值，再将m的值代入方程x2 2mx+8=9，然后利用配方法求出方程的解。
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则m2+m+4的最小值是 ；
（2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）先对所给代数式进行配方，结合平方的非负性即可求得所给代数式的最小值；（2）先将代数式的二次项系数化为1，再配方，即可得到一个数减去一个非负数，从而可求得代数式的最大值；（3）根据题意可用x表示出花园的面积，可知其为一个一元二次多项式，先将二次项系数化为1，再进行配方即可求得花园面积的最大值，及此时x的值.
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