人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角（一） 同步练习
一、选择题
1．（2018·济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
3．（2016九上·北京期中）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
4．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
6．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
7．（2018·襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
8．如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）
A． B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠AOC= ．
10．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC= ．
11．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
12．如图，在⊙O中，AB是弦，C是 上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度．
13．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出一个即可）
14．如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是 。
15．（2018·甘孜）如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为 .
三、解答题
16．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
17．如图，在 中，AB是 的直径， 与AC交于点D， ，
求 的度数.
18．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．
19．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，故答案为：D．
【分析】圆上取一点A，连接AB，AD，利用圆内接四边形的性质，求出∠BAD的度数，再利用圆周角定理即可解答。
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC．
则∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= =40°．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC，再根据OB=OC等边对等角可得∠OBC。
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
【分析】利用垂径定理得出 = = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理，可得∠AOC=2∠ABC，代入求解即可。
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°可得∠ACB=90°，再根据∠OBC=60°，最后求得∠BAC。
6．【答案】D
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图
，
由OC⊥AB，得
= ，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理易得弧AC=弧BC，∠OEB=90°．可得∠2=∠3．再根据圆周角定理可得∠2、∠3，最后在Rt△OBE中，求得∠B即可。
7．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理得出CH=BH，弧AC=弧BC，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠CDA=60°，在Rt△BHO中利用正弦函数及特殊锐角三角函数值得出BH=OB sin∠AOB= ，从而得出答案。
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、 ，正确，故本选项不符合题意；
B、AF=BF，正确，故本选项不符合题意；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，根据垂径定理可得点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，再对所有选项逐一判断即可。
9．【答案】50°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
故答案为：50°．
【分析】根据题意先求得∠ADC，再根据圆周角定理求得∠AOC即可。
10．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠A=60°．
故答案为：60°.
【分析】根据题意易知，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠A=60°。
11．【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC= ∠BOC，∠ACB= ∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB= BAC=20°．
故答案为：20．
【分析】由圆周角定理可得∠BAC=∠BOC、∠ACB=∠AOB，结合∠BOC=2∠AOB，求得∠ACB。
12．【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，
∵∠ACO=40°，OA=OC，
∴∠C=∠CAO=40°，
∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．
故答案为：30．
【分析】根据∠BAO度数、OA=OB，可得∠B、∠BAO、∠AOB，再根据∠ACO度数、OA=OC，求得∠C、∠CAO，最后求得∠BOC即可。
13．【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC= ∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【分析】连接DA，OA，易得△OAB是等边三角形，∠OAB=∠AOB=60°，再求得∠AOC、∠ADC、∠DAB，再根据∠OAB、∠PAB、∠DAB之间的大小关系确定∠PAB的度数即可。
14．【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠OAC=20°，
∴∠ACO=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，
∴∠B= ∠AOC= ×140°=70°．
故答案为：70°．
【分析】由OA=OC、∠OAC可得∠ACO、∠OAC，再求得∠AOC，最后根据圆周角定理可得∠B。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作图如下：
∵BC=CD，BO=DO，
∴∠1=∠2，∠3=∠DBO，
∴∠1+∠3=∠2+∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，
∴CO为等腰△BCD的角平分线，
∴CO⊥BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠5=∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠5，
∴AD//CO，
∵AE=AO=2，
∴AD= CO=1，
在Rt△ABD中，BD= .
【分析】连接OD、AD，利用等腰三角形的性质证明∠CDO=∠CBO，由OC=OD=OB去证明∠BCO=∠DCO，再根据等腰三角形三线合一的性质，可证得CO⊥BD，然后证明AD//CO，由AE=AO=2，可得出AD是△EOC的中位线，从而可求出AD的长，利用勾股定理再求出BD的长。
16．【答案】解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
17．【答案】解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，
∴∠A=45°．
∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，
∴∠BOD=2∠A=90°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】在△ABC中，先求得∠A，再根据圆周角定理可求得∠
BOD 。
18．【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= BC= ，
∵CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ 2 =4CD，
∴CD= ．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由ED=EC等边对等角可得∠EDC=∠C，再根据∠EDC=∠B等量代换可得∠B=∠C，等角对等边得出AB=AC。
（2）连接AE，根据直径所对的圆周角是90°，易知AE⊥BC，再由（1）知AB=AC，求得BE，再根据三角形相似可得CD。
19．【答案】（1）解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°
（2）解：在直角△ABC中，BC= = = ．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE= BC= ．
又∵OD= AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣ ．
【知识点】垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先根据“直径所对的圆周角是90°”可得∠ACB=90°，再根据OD∥BC得∠AEO=90°，然后求得∠CAB，再在△DAO中求得∠DAO，最后求得∠CAD即可。
（2）在Rt△ABC中，运用勾股定理先求得BC，再根据垂径定理易得AE=EC，再根据OA=OB求得OE，最后求得OD，据此可得DE的值。
20．【答案】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°.
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得CE，再在Rt△OCE中，根据勾股定理可得半径，最后求得直径。
（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠D=∠BOD，再根据AB⊥CD，求得∠D=30°即可。
21．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED， ．
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，
CE= CD= ×24=12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+12
解得R=13，
∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得∠BCD=∠BAC．再根据OA=OC由等边对等角可得∠OAC=∠OCA，等量代换得出∠ACO=∠BCD。
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，由勾股定理可得R，从而求得 ⊙O的直径。
1 / 1人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角（一） 同步练习
一、选择题
1．（2018·济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，故答案为：D．
【分析】圆上取一点A，连接AB，AD，利用圆内接四边形的性质，求出∠BAD的度数，再利用圆周角定理即可解答。
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC．
则∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= =40°．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC，再根据OB=OC等边对等角可得∠OBC。
3．（2016九上·北京期中）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
【分析】利用垂径定理得出 = = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
4．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理，可得∠AOC=2∠ABC，代入求解即可。
5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°可得∠ACB=90°，再根据∠OBC=60°，最后求得∠BAC。
6．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
【答案】D
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图
，
由OC⊥AB，得
= ，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理易得弧AC=弧BC，∠OEB=90°．可得∠2=∠3．再根据圆周角定理可得∠2、∠3，最后在Rt△OBE中，求得∠B即可。
7．（2018·襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理得出CH=BH，弧AC=弧BC，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠CDA=60°，在Rt△BHO中利用正弦函数及特殊锐角三角函数值得出BH=OB sin∠AOB= ，从而得出答案。
8．如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）
A． B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°
【答案】C
【知识点】垂径定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、 ，正确，故本选项不符合题意；
B、AF=BF，正确，故本选项不符合题意；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，根据垂径定理可得点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，再对所有选项逐一判断即可。
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠AOC= ．
【答案】50°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
故答案为：50°．
【分析】根据题意先求得∠ADC，再根据圆周角定理求得∠AOC即可。
10．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC= ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠A=60°．
故答案为：60°.
【分析】根据题意易知，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠A=60°。
11．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC= ∠BOC，∠ACB= ∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB= BAC=20°．
故答案为：20．
【分析】由圆周角定理可得∠BAC=∠BOC、∠ACB=∠AOB，结合∠BOC=2∠AOB，求得∠ACB。
12．如图，在⊙O中，AB是弦，C是 上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度．
【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，
∵∠ACO=40°，OA=OC，
∴∠C=∠CAO=40°，
∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．
故答案为：30．
【分析】根据∠BAO度数、OA=OB，可得∠B、∠BAO、∠AOB，再根据∠ACO度数、OA=OC，求得∠C、∠CAO，最后求得∠BOC即可。
13．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出一个即可）
【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC= ∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【分析】连接DA，OA，易得△OAB是等边三角形，∠OAB=∠AOB=60°，再求得∠AOC、∠ADC、∠DAB，再根据∠OAB、∠PAB、∠DAB之间的大小关系确定∠PAB的度数即可。
14．如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是 。
【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠OAC=20°，
∴∠ACO=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，
∴∠B= ∠AOC= ×140°=70°．
故答案为：70°．
【分析】由OA=OC、∠OAC可得∠ACO、∠OAC，再求得∠AOC，最后根据圆周角定理可得∠B。
15．（2018·甘孜）如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作图如下：
∵BC=CD，BO=DO，
∴∠1=∠2，∠3=∠DBO，
∴∠1+∠3=∠2+∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，
∴CO为等腰△BCD的角平分线，
∴CO⊥BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠5=∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠5，
∴AD//CO，
∵AE=AO=2，
∴AD= CO=1，
在Rt△ABD中，BD= .
【分析】连接OD、AD，利用等腰三角形的性质证明∠CDO=∠CBO，由OC=OD=OB去证明∠BCO=∠DCO，再根据等腰三角形三线合一的性质，可证得CO⊥BD，然后证明AD//CO，由AE=AO=2，可得出AD是△EOC的中位线，从而可求出AD的长，利用勾股定理再求出BD的长。
三、解答题
16．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
【答案】解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
17．如图，在 中，AB是 的直径， 与AC交于点D， ，
求 的度数.
【答案】解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，
∴∠A=45°．
∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，
∴∠BOD=2∠A=90°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】在△ABC中，先求得∠A，再根据圆周角定理可求得∠
BOD 。
18．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= BC= ，
∵CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ 2 =4CD，
∴CD= ．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由ED=EC等边对等角可得∠EDC=∠C，再根据∠EDC=∠B等量代换可得∠B=∠C，等角对等边得出AB=AC。
（2）连接AE，根据直径所对的圆周角是90°，易知AE⊥BC，再由（1）知AB=AC，求得BE，再根据三角形相似可得CD。
19．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
【答案】（1）解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°
（2）解：在直角△ABC中，BC= = = ．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE= BC= ．
又∵OD= AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣ ．
【知识点】垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先根据“直径所对的圆周角是90°”可得∠ACB=90°，再根据OD∥BC得∠AEO=90°，然后求得∠CAB，再在△DAO中求得∠DAO，最后求得∠CAD即可。
（2）在Rt△ABC中，运用勾股定理先求得BC，再根据垂径定理易得AE=EC，再根据OA=OB求得OE，最后求得OD，据此可得DE的值。
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°.
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得CE，再在Rt△OCE中，根据勾股定理可得半径，最后求得直径。
（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠D=∠BOD，再根据AB⊥CD，求得∠D=30°即可。
21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED， ．
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，
CE= CD= ×24=12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+12
解得R=13，
∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得∠BCD=∠BAC．再根据OA=OC由等边对等角可得∠OAC=∠OCA，等量代换得出∠ACO=∠BCD。
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，由勾股定理可得R，从而求得 ⊙O的直径。
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