3.1.1 函数的概念
课后·训练提升
基础巩固
1.若函数y=f(x)的定义域M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
2.(多选题)下列各组函数表示的不是同一个函数的有 ( )
A.f(x)=2x+7,g(x)=
B.f(x)=1,g(x)=x0
C.f(x)=|2x|,g(x)=
D.f(x)=()4+1,g(x)=x2+1
3.已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )
A.{x|x≥-2}
B.{x|-2≤x<2}
C.{x|-2D.{x|x<2}
4.已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数解析式为y=10-2x,则此函数的定义域为 ( )
A.R B.{x|x>0}
C.{x|05.下列函数中值域是[0,+∞)的是( )
A.y=2x+1 B.y=(x-1)2
C.y= D.y=
6.已知f(x)=ax3--2(a,b≠0),若f(-2)=2,则f(2)等于( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-10
7.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[0,2] D.
8.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=5,求x的值.
9.已知函数f(x)=,求函数的定义域,并用区间表示.
能力提升
1.若函数f(x)=ax2-1,f(f(-1))=-1,则a的值为 ( )
A.1 B.0或1 C.-1 D.2
2.已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+1.若f(1)=2,则f(4)=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3 B.3C.69
4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
5.若f(x)=(x≠1),则f(f(x))= .
6.已知函数f(x)=,则f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f= .
7.已知函数y=的定义域为A,函数y=a-2x-x2的值域为B,全集为R,且( RA)∪B=R,求a的取值范围.
8.已知函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.
3.1.1 函数的概念
课后·训练提升
基础巩固
1.若函数y=f(x)的定义域M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案B
解析A中定义域是{x|-2≤x≤0},不是M={x|-2≤x≤2},C中图象不表示函数关系,D中值域不是N={y|0≤y≤2}.
2.(多选题)下列各组函数表示的不是同一个函数的有 ( )
A.f(x)=2x+7,g(x)=
B.f(x)=1,g(x)=x0
C.f(x)=|2x|,g(x)=
D.f(x)=()4+1,g(x)=x2+1
答案ABD
解析对于A,f(x)=2x+7(x∈R)与g(x)==2x+7的定义域不同,所以不是同一个函数;
对于B,f(x)=1(x∈R)与g(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同,所以不是同一个函数;
对于C,f(x)=|2x|(x∈R)与g(x)==|2x|(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一个函数;
对于D,f(x)=()4+1=x2+1(x≥0)与g(x)=x2+1(x∈R)的定义域不同,所以不是同一个函数.故选ABD.
3.已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )
A.{x|x≥-2}
B.{x|-2≤x<2}
C.{x|-2D.{x|x<2}
答案B
解析函数f(x)的定义域为{x|x<2},g(x)的定义域为{x|x≥-2},从而M={x|x<2},N={x|x≥-2},所以M∩N={x|-2≤x<2}.
4.已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数解析式为y=10-2x,则此函数的定义域为 ( )
A.R B.{x|x>0}
C.{x|0答案D
解析△ABC的底边长大于0,即y=10-2x>0,
∴x<5,又三角形中任意两边之和大于第三边,
∴2x>10-2x,解得x>.
∴此函数的定义域为.
5.下列函数中值域是[0,+∞)的是( )
A.y=2x+1 B.y=(x-1)2
C.y= D.y=
答案B
解析y=2x+1的值域为(-∞,+∞),y=(x-1)2的值域为[0,+∞),y=的值域为[1,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故选B.
6.已知f(x)=ax3--2(a,b≠0),若f(-2)=2,则f(2)等于( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-10
答案C
解析∵f(-2)=a·(-2)3--2=-8a+-2=2,∴8a-=-4,
∴f(2)=a·23--2=8a--2=-6.
7.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[0,2] D.
答案C
解析由题意得-2≤x≤2,则-1≤x+1≤3,于是-1≤2x-1≤3,解得0≤x≤2.
8.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=5,求x的值.
解(1)f(2)=22+2-1=5,f-1=.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,
∴x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.
9.已知函数f(x)=,求函数的定义域,并用区间表示.
解要使函数有意义,应满足
解得
解得-2≤x≤3,且x≠,故函数的定义域为.
用区间可表示为.
能力提升
1.若函数f(x)=ax2-1,f(f(-1))=-1,则a的值为 ( )
A.1 B.0或1 C.-1 D.2
答案B
解析由题意得f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1,即a3-2a2+a=0,解得a=1或a=0.
2.已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+1.若f(1)=2,则f(4)=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
答案D
解析f(2)=f(1)+f(1)+1=5,
f(4)=f(2)+f(2)+1=11.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3 B.3C.69
答案C
解析由f(-1)=f(-2)=f(-3),
得
即解得
所以f(-1)=c-6.
由04.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
答案C
解析因为函数解析式为y=x2,值域为{1,4},所以当x=±1时,y=1;当x=±2时,y=4,所以定义域可以为{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{-1,2,-2},{1,-2,2},{1,-1,2,-2},因此满足题意的“同族函数”共有9个.
5.若f(x)=(x≠1),则f(f(x))= .
答案(x≠0且x≠1)
解析∵f(x)=(x≠1),
∴f(f(x))=(x≠0且x≠1).
6.已知函数f(x)=,则f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f= .
答案
解析因为f(x)=,所以f,f(x)+f=1,从而f(2)+f=f(3)+f=f(4)+f=1,
即=3,而f(1)=,
故f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f.
7.已知函数y=的定义域为A,函数y=a-2x-x2的值域为B,全集为R,且( RA)∪B=R,求a的取值范围.
解由15-2x-x2≥0,解得-5≤x≤3,
∴A={x|-5≤x≤3},
∴ RA={x|x<-5,或x>3}.
∵y=a-2x-x2=-(x+1)2+1+a≤1+a,
∴B={y|y≤1+a}.
由( RA)∪B=R,得1+a≥3,即a≥2.
∴a的取值范围是[2,+∞).
8.已知函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.
解①当m=0时,y=,其定义域是R.
②当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成立,
于是有解得0由①②可知,m∈[0,1].3.1.2 函数的表示法
课后·训练提升
基础巩固
1.已知一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y(单位:cm)表示成x的函数为( )
A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0)
C.y=(x>0) D.y=(x>0)
2.已知f(x)=则f(3)的值为( )
A.2 B.5 C.4 D.3
3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2
C.1 D.0
4.如果f,那么当x≠0,且x≠1时,f(x)= ( )
A. B. C. D.-1
5.某企业生产某种产品时的单位产品能耗y与所生产的产品件数x之间的函数解析式为y=ax+.其中,当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,且此产品生产件数不超过20.则y关于x的函数解析式为 .
6.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= .
7.已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(-2)))的值;
(2)若f(a)=,求a.
8.已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n∈R),f(0)=f(1),且方程x=f(x)有两个相等的实数根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的值域.
能力提升
1.已知函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1),其中t>0,[t]为t的整数部分,则g(5.5)=( )
A.5.035 B.5.56
C.5.84 D.5.38
2.设f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),且g(f(x))=x2-x+1,则a的值为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.1或-2
3.定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为( )
A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]
4.作出下列函数的图象:
(1)y=x2-4x;
(2)y=x2-4|x|;
(3)y=|x2-4x|.
5.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.令BF=x,试写出梯形ABCD位于直线l的左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出它的大致图象.
3.1.2 函数的表示法
课后·训练提升
基础巩固
1.已知一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y(单位:cm)表示成x的函数为( )
A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0)
C.y=(x>0) D.y=(x>0)
答案C
解析由·y=100,得2xy=100,
则y=(x>0).
2.已知f(x)=则f(3)的值为( )
A.2 B.5 C.4 D.3
答案A
解析f(3)=f(3+4)=f(7)=7-5=2.
3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2
C.1 D.0
答案B
解析由题中函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2.
4.如果f,那么当x≠0,且x≠1时,f(x)= ( )
A. B. C. D.-1
答案B
解析令=t(t≠0,且t≠1),则x=,
所以f(t)=,所以f(x)=(x≠0,且x≠1).
5.某企业生产某种产品时的单位产品能耗y与所生产的产品件数x之间的函数解析式为y=ax+.其中,当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,且此产品生产件数不超过20.则y关于x的函数解析式为 .
答案y=x+(0解析由题意可知,解得所以所求函数的解析式为y=x+(06.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= .
答案2
解析由f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,
即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24,比较系数得解得
则5a-b=2.
7.已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(-2)))的值;
(2)若f(a)=,求a.
解(1)∵-2<-1,∴f(-2)=2×(-2)+3=-1,f(f(-2))=f(-1)=2.
∵2>1,∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+.
(2)当a>1时,f(a)=1+,解得a=2>1,符合题意;
当-1≤a≤1时,f(a)=a2+1=,
解得a=±∈[-1,1],符合题意;
当a<-1时,f(a)=2a+3=,解得a=->-1,不符合题意.综上,a=2或a=±.
8.已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n∈R),f(0)=f(1),且方程x=f(x)有两个相等的实数根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的值域.
解(1)∵f(x)=x2+mx+n,且f(0)=f(1),
∴n=1+m+n.∴m=-1.∴f(x)=x2-x+n.
∵方程x=f(x)有两个相等的实数根,即方程x2-2x+n=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4n=0,解得n=1.
∴f(x)=x2-x+1.
(2)由(1),知f(x)=x2-x+1.
此函数图象的开口向上,对称轴为直线x=.
∴当x=时,f(x)有最小值,最小值为f.
而f+1=,f(0)=1,f(3)=32-3+1=7,
∴当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域是.
能力提升
1.已知函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1),其中t>0,[t]为t的整数部分,则g(5.5)=( )
A.5.035 B.5.56
C.5.84 D.5.38
答案A
解析g(5.5)=1.06×(0.75×5+1)=5.035.
2.设f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),且g(f(x))=x2-x+1,则a的值为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.1或-2
答案B
解析因为g(x)=(x2+3),f(x)=2x+a,所以g(f(x))=[(2x+a)2+3]=(4x2+4ax+a2+3)=x2+ax+=x2-x+1,所以a=-1.
3.定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为( )
A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]
答案D
解析由已知得2 x=,x 2=,
∴f(x)=.
由
∴-2≤x<0或04.作出下列函数的图象:
(1)y=x2-4x;
(2)y=x2-4|x|;
(3)y=|x2-4x|.
解(1)函数y=x2-4x的图象如图①所示.
(2)函数y=x2-4|x|的图象如图②所示.
(3)函数y=|x2-4x|的图象如图③所示.
①
②
③
5.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.令BF=x,试写出梯形ABCD位于直线l的左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出它的大致图象.
解如图,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是点G,H.
因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm.
又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.
当点F在线段BG上,即x∈[0,2]时,y=x2;
当点F在线段GH上,即x∈[2,5]时,y=2+2(x-2)=2x-2;
当点F在线段HC上,即x∈[5,7]时,y=×(7+3)×2-(7-x)2=-(x-7)2+10.
综上,梯形ABCD位于直线l的左边部分的面积y关于x的函数解析式为y=其大致图象如图所示.
