新人教A版必修第一册高中数学第3章函数的概念与性质3.4函数的应用（一）课后训练（含解析）

3.4　函数的应用(一)
课后·训练提升
基础巩固
1.在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:吨)与每吨价格x(单位:元)之间满足一次函数关系,如果购买1 000吨,每吨为800元;如果购买2 000吨,每吨为700元.一客户购买400吨,每吨价格应该是(　　)
A.820元 B.840元
C.860元 D.880元
2.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分,组装第A件产品用时15分,则c和A的值分别是(　　)
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　)
A.15 B.40
C.25 D.130
4.(多选题)已知某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.则下列结论正确的是(　　)
A.乘客乘出租车行驶4 km,需付费9.6元
B.乘客乘出租车行驶10 km,需付费25.45元
C.乘客两次乘出租车均行驶5 km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km的费用
D.乘客乘坐出租车后付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
5.已知汽车刹车距离y(单位:米)与行驶速度的平方v2(v的单位:千米/时)成正比,当汽车行驶速度为60千米/时时,刹车距离为20米,若某人驾驶汽车的速度为90千米/时,则刹车距离为　　　　　米.
6.医院通过撒放某种药物对病房进行消毒.已知开始撒放这种药物时,浓度激增,中间有一段时间,药物的浓度保持在一个理想状态,随后药物浓度开始下降.撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示,其中x表示时间(单位:时),f(x)表示药物的浓度:
f(x)=
(1)撒放药物多少小时后,药物的浓度最高 能维持多长时间
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时,那么此次撒放药物能否达到消毒要求 并简要说明理由.
能力提升
1.以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹,t秒后的高度x米可由x=at-4.9t2确定,已知5秒后子弹高245米,问子弹保持245米以上(含245米)高度共有(　　)
A.4秒 B.5秒 C.6秒 D.7秒
2.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价20元,茶杯每只定价5元,该商店现推出两种优惠活动:
(1)买一只茶壶赠送一只茶杯;
(2)按购买总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4只,茶杯若干只(不少于4只),若购买x只茶杯时总付款为y元,试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数关系式,并指出如果该顾客需购买茶杯40只,应选择哪种优惠活动
3.为响应“提速降费”,某市移动公司欲提供新的资费套餐(资费包含手机月租费、手机拨打电话费与家庭宽带上网费),其中一组套餐变更如下:
原资费方案:
手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上网费(50M)
18元/月 0.2元/分 50元/月
新资费方案:
手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上网费(50M)
58元/月 前100分钟(包含100分钟)免费,超过100分钟的部分a元/分(a>0.2) 免费
(1)客户甲(只有一个手机号和一个家庭宽带上网号)欲从原方案改成新方案,设其每月手机通话时间为x分(x∈N*),费用y=原方案每月资费-新方案每月资费,写出y关于x的函数解析式;
(2)经过统计,移动公司发现,选这组套餐的客户平均月通话时间x≤400分,为能起到降费作用,求a的取值范围.
4.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数不超过30,游客需付给旅行社飞机票费900元/张;若每团人数超过30,则给予优惠:每多1人,每张飞机票减少10元,直到达到规定人数75为止.而旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元.
(1)写出每张飞机票的价格y(单位:元)关于人数x的函数解析式;
(2)每团人数为多少时,旅行社可从飞机票收入中获取最大利润
3.4　函数的应用(一)
课后·训练提升
基础巩固
1.在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:吨)与每吨价格x(单位:元)之间满足一次函数关系,如果购买1 000吨,每吨为800元;如果购买2 000吨,每吨为700元.一客户购买400吨,每吨价格应该是(　　)
A.820元 B.840元
C.860元 D.880元
答案C
解析因为产品的购买量y(单位:吨)与每吨价格x(单位:元)之间满足一次函数关系,所以设一次函数为y=kx+b(k≠0).
当x=800时,y=1000,当x=700时,y=2000,
故得方程组
解得
所以y=-10x+9000,故当y=400时,由-10x+9000=400得x=860.
2.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分,组装第A件产品用时15分,则c和A的值分别是(　　)
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
答案D
解析由条件可知,x≥A时所用的时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足f(x)=,即f(4)==30,得c=60,从而f(A)==15,得A=16.故选D.
3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　)
A.15 B.40
C.25 D.130
答案C
解析若4x=60,则x=15>10,不符合题意;若2x+10=60,则x=25,符合题意;若1.5x=60,则x=40<100,不符合题意.故选C.
4.(多选题)已知某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.则下列结论正确的是(　　)
A.乘客乘出租车行驶4 km,需付费9.6元
B.乘客乘出租车行驶10 km,需付费25.45元
C.乘客两次乘出租车均行驶5 km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km的费用
D.乘客乘坐出租车后付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
答案BCD
解析在A中,出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),所以A中结论错误;在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),所以B中结论正确;在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,所以C中结论正确;在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,所以D中结论正确.故选BCD.
5.已知汽车刹车距离y(单位:米)与行驶速度的平方v2(v的单位:千米/时)成正比,当汽车行驶速度为60千米/时时,刹车距离为20米,若某人驾驶汽车的速度为90千米/时,则刹车距离为　　　　　米.
答案45
解析由汽车刹车距离y(单位:米)与行驶速度的平方v2(v的单位:千米/时)成正比,故设y=kv2(k≠0).
∵当汽车行驶速度为60千米/时时,刹车距离为20米,
∴20=3600k,解得k=,∴y=v2.
当v=90千米/时时,y=×902=45米.
6.医院通过撒放某种药物对病房进行消毒.已知开始撒放这种药物时,浓度激增,中间有一段时间,药物的浓度保持在一个理想状态,随后药物浓度开始下降.撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示,其中x表示时间(单位:时),f(x)表示药物的浓度:
f(x)=
(1)撒放药物多少小时后,药物的浓度最高 能维持多长时间
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时,那么此次撒放药物能否达到消毒要求 并简要说明理由.
解(1)当0∴f(x)在区间(0,1]上单调递增,其最大值为f(1)=43;
f(x)在区间(2,3]上单调递减,故当2因此,撒放药物1小时后,药物的浓度最高,且最高为43,并维持1小时.
(2)当0当2因此药物浓度在41.75以上的时间约为2.08-0.5=1.58(时),1.58>1.5,
故此次撒放药物能够达到消毒要求.
能力提升
1.以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹,t秒后的高度x米可由x=at-4.9t2确定,已知5秒后子弹高245米,问子弹保持245米以上(含245米)高度共有(　　)
A.4秒 B.5秒 C.6秒 D.7秒
答案B
解析已知x=at-4.9t2,由条件t=5秒时,x=245米,得a=73.5,所以x=73.5t-4.9t2,子弹保持在245米以上(含245米),即x≥245,所以73.5t-4.9t2≥245,解得5≤t≤10.因此,子弹保持在245米以上的高度有5秒.
2.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价20元,茶杯每只定价5元,该商店现推出两种优惠活动:
(1)买一只茶壶赠送一只茶杯;
(2)按购买总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4只,茶杯若干只(不少于4只),若购买x只茶杯时总付款为y元,试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数关系式,并指出如果该顾客需购买茶杯40只,应选择哪种优惠活动
解设优惠活动(1),(2)对应的总付款分别为y1元、y2元.
由优惠活动(1)得函数关系式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*).
由优惠活动(2)得函数关系式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*).
当该顾客购买茶杯40只时,采用优惠活动(1)应付款y1=5×40+60=260(元);采用优惠活动(2)应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元).
由于y23.为响应“提速降费”,某市移动公司欲提供新的资费套餐(资费包含手机月租费、手机拨打电话费与家庭宽带上网费),其中一组套餐变更如下:
原资费方案:
手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上网费(50M)
18元/月 0.2元/分 50元/月
新资费方案:
手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上网费(50M)
58元/月 前100分钟(包含100分钟)免费,超过100分钟的部分a元/分(a>0.2) 免费
(1)客户甲(只有一个手机号和一个家庭宽带上网号)欲从原方案改成新方案,设其每月手机通话时间为x分(x∈N*),费用y=原方案每月资费-新方案每月资费,写出y关于x的函数解析式;
(2)经过统计,移动公司发现,选这组套餐的客户平均月通话时间x≤400分,为能起到降费作用,求a的取值范围.
解(1)当x≤100,x∈N*时,y=68+0.2x-58=10+0.2x.
当x>100,x∈N*时,y=68+0.2x-[58+(x-100)a]=(0.2-a)x+100a+10.
综上所述,y=
(2)由题意,得x≤400,y>0恒成立,显然,当x≤100,x∈N*时,y>0.
当100所以当x=400时,ymin=90-300a>0,
解得a<0.3,从而0.2所以a的取值范围为(0.2,0.3).
4.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数不超过30,游客需付给旅行社飞机票费900元/张;若每团人数超过30,则给予优惠:每多1人,每张飞机票减少10元,直到达到规定人数75为止.而旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元.
(1)写出每张飞机票的价格y(单位:元)关于人数x的函数解析式;
(2)每团人数为多少时,旅行社可从飞机票收入中获取最大利润
解(1)由题意,得y=
即y=
(2)设旅行社获利S(x)(单位:元),
则S(x)=
即S(x)=
因为S(x)=900x-15000在区间(0,30]上单调递增,
所以当x=30时,S(x)取得最大值,且最大值为12000元,
又当30所以当x=60时,S(x)取得最大值,且最大值为21000元.
故当每团人数为60时,旅行社可从飞机票收入中获取最大利润.