新人教A版必修第一册高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数 课后训练（含解析）

4.1　指数
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列各式中一定成立的有(　　)
A.()7=n7 B.
C.=(x+y D.
2.化简的结果为(　　)
A.- B.-
C. D.
3.当a>0时,=(　　)
A.x B.x
C.-x D.-x
4.(3-2x中x的取值范围是(　　)
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
5.化简(a3÷()(a>0,b>0)的结果为(　　)
A.a B.b C. D.
6.若a+b=,ab=(m>0),则a3+b3=(　　)
A.0 B. C.- D.
7.化简x>的结果是　　　　　.
8.化简的值为　　　　　.
9.若10x=3,10y=4,则102x-y=　　　　　.
10.化简下列各式(式中字母均为正数):
(1);
(2)4÷-6(结果为分数指数幂).
11.已知x+y=12,xy=9,且x(1);
(2);
(3)x-y.
能力提升
1.代数式x恒等于(　　)
A. B.
C.- D.-
2.当有意义时,化简的结果为(　　)
A.2x-5 B.-2x-1
C.-1 D.5-2x
3.若,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,3) B.
C. D.
4.若x<0,则|x|-=　　　　　.
5.若a>0,且ax=3,ay=5,则=　　　　　.
6.已知+b=1,则的值为　　　　　.
7.已知2a·3b=2c·3d=6,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)·(c-1).
8.已知函数f(x)=,g(x)=.
(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
4.1　指数
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列各式中一定成立的有(　　)
A.()7=n7 B.
C.=(x+y D.
答案BD
2.化简的结果为(　　)
A.- B.-
C. D.
答案A
解析显然a≥0.∴=-=-=-=-.
3.当a>0时,=(　　)
A.x B.x
C.-x D.-x
答案C
解析∵中,-ax3≥0,
∴由a>0得x3≤0,即x≤0,
∴|x|=-x.故选C.
4.(3-2x中x的取值范围是(　　)
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
答案C
解析(3-2x,要使该式有意义,需3-2x>0,即x<.
5.化简(a3÷()(a>0,b>0)的结果为(　　)
A.a B.b C. D.
答案A
解析(a3÷()=()÷()==a.故选A.
6.若a+b=,ab=(m>0),则a3+b3=(　　)
A.0 B. C.- D.
答案B
解析a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)·[(a+b)2-3ab]=·()=m.
7.化简x>的结果是　　　　　.
答案2x-1
解析∵x>,∴1-2x<0,
∴=|1-2x|=2x-1.
8.化简的值为　　　　　.
答案-6
解析∵=-6,=|-4|=4--4,
∴原式=-6+4--4=-6.
9.若10x=3,10y=4,则102x-y=　　　　　.
答案
解析∵10x=3,∴102x=9,∴102x-y=.
10.化简下列各式(式中字母均为正数):
(1);
(2)4÷-6(结果为分数指数幂).
解(1)=a.
(2)4(-3)÷(-6)=2=2x.
11.已知x+y=12,xy=9,且x(1);
(2);
(3)x-y.
解(1)∵()2=x+y+2=18,
又>0,∴=3.
(2)()2=x+y-2=6,
∵x(3)x-y=()2-()2=()()=3×(-)=-6.
能力提升
1.代数式x恒等于(　　)
A. B.
C.- D.-
答案C
解析由题知-2x≥0,∴x≤0,
∴x=-.故选C.
2.当有意义时,化简的结果为(　　)
A.2x-5 B.-2x-1
C.-1 D.5-2x
答案C
解析当有意义时,x≤2,则=|x-2|=2-x,=|x-3|=3-x,
∴=2-x-(3-x)=-1.故选C.
3.若,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,3) B.
C. D.
答案B
解析∵=||=,∴1-3a≥0,解得a≤.故选B.
4.若x<0,则|x|-=　　　　　.
答案1
解析∵x<0,
∴原式=-x-(-x)+=-x+x+1=1.
5.若a>0,且ax=3,ay=5,则=　　　　　.
答案9
解析=(ax)2·(ay=32×=9.
6.已知+b=1,则的值为　　　　　.
答案3
解析因为+b=1,所以=31=3.
7.已知2a·3b=2c·3d=6,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)·(c-1).
证明∵2a·3b=6,
∴2a-1·3b-1=1.
∴(2a-1·3b-1)d-1=1,
即2(a-1)(d-1)·3(b-1)(d-1)=1.①
又2c·3d=6,∴2c-1·3d-1=1.
∴(2c-1·3d-1)b-1=1,即2(c-1)(b-1)·3(d-1)(b-1)=1.②
由①②知2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1),
∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
8.已知函数f(x)=,g(x)=.
(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
(1)证明设x1>x2>0,
∵y=在R上是增函数,∴.
又(x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)=)==)[1+(x1x2]>0.
∴函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)解经计算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,
由此猜想:当x≠0时,f(x2)-5f(x)g(x)=0.
证明如下:当x≠0时,f(x2)-5f(x)g(x)=)-)()=)-)=0.