第1课时 指数函数的概念与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.已知指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则( )
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.0
1
D.02.已知函数f(x)=(a2-4a+4)ax是指数函数,则f(2)的值是( )
A.3 B.4 C.9 D.16
3.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)=的定义域为( )
A.[2,4) B.[2,4)∪(4,+∞)
C.(2,4)∪(4,+∞) D.[2,+∞)
5.若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)经过点(-1,3),则a的值为 .
6.已知函数f(x)=,a为常数,且函数f(x)的图象过点(-1,2),则a= ,若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),则x= .
7.若函数y=(4-3a)x是指数函数,求实数a的取值范围.
8.(1)函数f(x)=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a的取值范围.
(2)求函数y=1-的定义域与值域.
能力提升
1.已知函数f(x)=若f(f(-1))=1,则a=( )
A. B. C.1 D.2
2.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是( )
A.[0,8) B.(0,8) C.[0,8] D.(0,8]
3.(多选题)函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是( )
4.若定义运算a*b=例如1*2=1,则函数y=1*2x的值域为( )
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(0,1]
5.定义min{a,b,c}为a,b,c中的最小值,设M=min{x-,8-x},则M的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
6.函数f(x)=的值域是 .
7.已知f(x)=+a是奇函数,求a的值及函数的值域.
8.设f(x)=.
(1)若0(2)求f+f+f()+…+f的值.
第1课时 指数函数的概念与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.已知指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则( )
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.01
D.0答案C
2.已知函数f(x)=(a2-4a+4)ax是指数函数,则f(2)的值是( )
A.3 B.4 C.9 D.16
答案C
解析由题意得解得a=3,故f(2)=9.
3.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案A
解析由y=3-x=的图象(图略)可知,当-2≤x<2时,<3-x≤9,所以-<3-x-1≤8.
故所求取值范围为.
4.函数f(x)=的定义域为( )
A.[2,4) B.[2,4)∪(4,+∞)
C.(2,4)∪(4,+∞) D.[2,+∞)
答案B
解析依题意有解得x≥2,且x≠4,所以函数f(x)的定义域是[2,4)∪(4,+∞).
5.若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)经过点(-1,3),则a的值为 .
答案
解析依题意有a-1=3,即=3.所以a=.
6.已知函数f(x)=,a为常数,且函数f(x)的图象过点(-1,2),则a= ,若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),则x= .
答案1 -1
解析因为函数f(x)的图象过点(-1,2),所以=2,所以a=1,所以f(x)=,g(x)=f(x)可变形为4-x-2-x-2=0,解得2-x=2,所以x=-1.
7.若函数y=(4-3a)x是指数函数,求实数a的取值范围.
解由y=(4-3a)x是指数函数,
得解得a<,且a≠1,
故a的取值范围为.
8.(1)函数f(x)=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a的取值范围.
(2)求函数y=1-的定义域与值域.
解(1)由题意知,当x≤0时,ax≥1=a0,所以0(2)函数的定义域为R.
由2x>0得2x+1>1,∴0<<1,
从而-2<<0,则-1<1-<1,
故函数的值域为(-1,1).
能力提升
1.已知函数f(x)=若f(f(-1))=1,则a=( )
A. B. C.1 D.2
答案A
解析根据题意可得f(-1)=21=2,则f(f(-1))=f(2)=a·22=1,解得a=.故选A.
2.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是( )
A.[0,8) B.(0,8) C.[0,8] D.(0,8]
答案A
解析∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3,
∴0<23-x≤8,∴0≤8-23-x<8,
∴函数y=8-23-x的值域为[0,8).
3.(多选题)函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是( )
答案CD
解析当a>1时,∈(0,1),因此x=0时,0当01,因此x=0时,y<0,x=-1时,y==0,且y=ax-在R上单调递减,故D符合.故选CD.
4.若定义运算a*b=例如1*2=1,则函数y=1*2x的值域为( )
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(0,1]
答案D
解析当1≤2x,即x≥0时,函数y=1*2x=1;当1>2x,即x<0时,函数y=1*2x=2x,
∴y=
函数图象如图所示,则函数y=1*2x的值域为(0,1].
5.定义min{a,b,c}为a,b,c中的最小值,设M=min{x-,8-x},则M的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
答案A
解析画出y=,y=x-,y=8-x的图象如图所示,
观察图象可知,当x=2时,M有最大值,Mmax=.
6.函数f(x)=的值域是 .
答案(0,2)
解析f(x)==2-.
∵3x>0,∴3x+1>1,∴0<<1,
∴-2<<0,
∴0<2-<2.
故f(x)的值域为(0,2).
7.已知f(x)=+a是奇函数,求a的值及函数的值域.
解∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x)对定义域内的每一个x都成立,即+a=-,
∴2a=-=1,
∴a=.
∵2x-1≠0,∴x≠0.
∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
∵2x>0,且2x≠1,
∴2x-1>-1,且2x-1≠0,
∴<-1或>0,
∴<-.
∴f(x)的值域为.
8.设f(x)=.
(1)若0(2)求f+f+f()+…+f的值.
解(1)f(a)+f(1-a)==1.
(2)由(1)可知,f+f+f+…+f
=[f+f]+[f+f]+…+[f()+f()]=500×1=500.第2课时 指数函数的图象与性质
课后·训练提升
基础巩固
1.设x<0,且1A.0C.12.若函数y=ax在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在区间[0,1]上的最大值是( )
A.6 B.1
C.3 D.
3.已知函数f(x)=ax在区间(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的大致图象是( )
4.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
6.设函数f(x)的定义域为R,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则f,f,f之间的大小关系是 .
7.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在区间[m,+∞)内单调递增,则实数m的最小值等于 .
8.比较(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2)的大小.
9.已知函数f(x)=.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)有最大值3,求实数a的值.
能力提升
1.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值比最小值大,则实数a等于( )
A. B.
C. D.
2.如果<1,那么( )
A.aaC.ab3.已知函数f(x)=x2·(a+)是R上的奇函数,则实数a等于( )
A.- B. C.-1 D.1
4.若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则实数m的取值范围是 .
5.某人喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的规律近似满足解析式f(x)=规定人在驾驶汽车时,血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL,据此可知,此人至少要过 h后才能开车(精确到1 h).
6.已知f(x)=x2,g(x)=-m.若对任意x1∈[-1,3],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性并说明理由;
(3)若f(ax-1)+f(2-x)>0对任意a∈(-∞,2]恒成立,求x的取值范围.
8.某林区2021年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米 经过9年后,该林区的木材蓄积量约为多少万立方米(精确到0.1万立方米)
第2课时 指数函数的图象与性质
课后·训练提升
基础巩固
1.设x<0,且1A.0C.1答案B
解析∵1∴0当x=-1时,,
即b>a,∴02.若函数y=ax在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在区间[0,1]上的最大值是( )
A.6 B.1
C.3 D.
答案C
解析函数y=ax在区间[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在区间[0,1]上单调递增,当x=1时,ymax=3.
3.已知函数f(x)=ax在区间(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的大致图象是( )
答案A
解析根据指数函数的性质可知f(0)=1,f(2)=a2,所以由函数f(x)=ax在区间(0,2)内的值域为(a2,1),可得函数f(x)在定义域内单调递减,即04.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案D
解析40.9=21.8,80.48=21.44,=21.5,
根据函数y=2x在R上是增函数,
得21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2.故选D.
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案B
解析由f(1)=,得a2=,所以a=(a=-舍去),即f(x)=.
因为y=|2x-4|在区间(-∞,2]上单调递减,在区间[2,+∞)内单调递增,
所以f(x)在区间(-∞,2]上单调递增,在区间[2,+∞)内单调递减.故选B.
6.设函数f(x)的定义域为R,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则f,f,f之间的大小关系是 .
答案f解析由题意可知,f=f,f=f,f(x)在区间[1,+∞)内单调递增.
∵1<,
∴f即f7.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在区间[m,+∞)内单调递增,则实数m的最小值等于 .
答案1
解析因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),
所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以a=1,即f(x)=2|x-1|,
所以f(x)=
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是[1,+∞),m∈[1,+∞).故mmin=1.
8.比较(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2)的大小.
解∵a>1,且a≠2,
∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
(a-1)1.3<(a-1)2.4;
若0∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
9.已知函数f(x)=.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)有最大值3,求实数a的值.
解(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,
因为g(x)在区间[-2,+∞)内单调递减,y=在R上是减函数,
所以f(x)在区间[-2,+∞)内单调递增,即f(x)的单调递增区间是[-2,+∞).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=.
因为f(x)有最大值3,
所以h(x)应有最小值-1.
因此必有
解得a=1,即当f(x)有最大值3时,实数a的值为1.
能力提升
1.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值比最小值大,则实数a等于( )
A. B.
C. D.
答案C
解析当a>1时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,此时f(x)的最大值为f(1)=a2,最小值为f(0)=a,
则a2-a=,解得a=0(舍去)或a=;
当0此时f(x)的最大值为f(0)=a,最小值为f(1)=a2,则a-a2=,
解得a=0(舍去)或a=.
综上,a=或a=.故选C.
2.如果<1,那么( )
A.aaC.ab答案C
解析根据函数f(x)=在R上是减函数,且<1,可得1>b>a>0,所以ab3.已知函数f(x)=x2·(a+)是R上的奇函数,则实数a等于( )
A.- B. C.-1 D.1
答案A
解析根据题意,函数f(x)=x2·(a+)是R上的奇函数,则有f(-x)=-f(x),即(-x)2(a+)=-x2·(a+),整理可得a+=-(a+),则有2a=-1,即a=-.故选A.
4.若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则实数m的取值范围是 .
答案[1,+∞)
解析4x+2x+1+m>1等价于(2x)2+2·2x+1>2-m,
即(2x+1)2>2-m.
∵2x∈(0,+∞),
∴2x+1∈(1,+∞),
∴2-m≤1,解得m≥1.
5.某人喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的规律近似满足解析式f(x)=规定人在驾驶汽车时,血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL,据此可知,此人至少要过 h后才能开车(精确到1 h).
答案4
解析当0≤x≤1时,≤5x-2≤,此时不宜开车;
由≤0.02,可得x≥4.
故至少要过4h后才能开车.
6.已知f(x)=x2,g(x)=-m.若对任意x1∈[-1,3],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是 .
答案
解析由f(x)的单调性可知f(x)=x2在区间[-1,3]上的最小值为f(0)=0.
又g(x)在区间[0,2]上单调递减,故g(x)的最小值为g(2)=-m.
由题意得0≥-m,即m≥.
7.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性并说明理由;
(3)若f(ax-1)+f(2-x)>0对任意a∈(-∞,2]恒成立,求x的取值范围.
解(1)f(x)为奇函数.
证明如下:易知函数的定义域为R,f(-x)=,
所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=在R上是增函数.
理由如下:因为y=3x在R上是增函数,y=3-x在R上是减函数,
所以f(x)=在R上是增函数.
(3)由(1)(2)知f(x)为奇函数且在R上是增函数.
因为f(ax-1)+f(2-x)>0,
所以f(ax-1)>-f(2-x)=f(x-2),
所以ax-1>x-2对任意a∈(-∞,2]恒成立.
令g(a)=ax+(1-x),a∈(-∞,2],
则只需
解得
所以-1所以x的取值范围为(-1,0].
8.某林区2021年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米 经过9年后,该林区的木材蓄积量约为多少万立方米(精确到0.1万立方米)
解列表如下:
经过的年数 木材蓄积量/万立方米
0 200
1 200(1+5%)
2 200(1+5%)2
3 200(1+5%)3
… …
x 200(1+5%)x
由上表得,经过x年后,该林区的木材蓄积量为f(x)=200×(1+5%)x=200×1.05x(万立方米).
当x=9时,f(9)=200×1.059≈310.3.
故经过9年后,该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.