4.3.1 对数的概念
课后·训练提升
基础巩固
1.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( )
A.a>且a≠1 B.0
C.a>0且a≠1 D.a<
2.方程的解是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=9
3.下列4种说法:
①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=10,则x=10;④若ln x=e,则x=e2.
其中正确的是( )
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
4.已知lo81=x,则x等于( )
A.-8 B.8 C.4 D.-4
5.已知4a=2,logax=2a,则正实数x= .
6.已知log7[log3(log2x)]=0,则= .
7.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)2-5=;(2)lo81=-4;
(3)24=16;(4)log5125=3.
8.求下列各式中x的取值范围:
(1)log0.5(x-3);(2)log(x-1)(2-x).
取值范围为(1,2).
能力提升
1.若loga3=m,loga5=n,则a2m+n的值是( )
A.15 B.75 C.45 D.225
2.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为( )
A.1 B.-1 C.5 D.
3.若a=log43,则2a+2-a= .
4.方程的解是 .
5.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则= .
6.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x的值.
①log2x=-;②logx3=-.
(2)已知6a=8,试用a表示下列各式.
①log68;②log62;③log26.
7.(1)若f(10x)=x,求f(3)的值;
(2)计算:.
4.3.1 对数的概念
课后·训练提升
基础巩固
1.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( )
A.a>且a≠1 B.0C.a>0且a≠1 D.a<
答案B
解析因为所以02.方程的解是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=9
答案A
解析∵=2-2,∴log3x=-2,
∴x=3-2=.
3.下列4种说法:
①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=10,则x=10;④若ln x=e,则x=e2.
其中正确的是( )
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
答案C
解析①lg(lg10)=lg1=0;②lg(lne)=lg1=0;
③若lgx=10,则x=1010;④若lnx=e,则x=ee.
4.已知lo81=x,则x等于( )
A.-8 B.8 C.4 D.-4
答案B
解析因为lo81=x,所以()x=81,即=34,所以x=8.故选B.
5.已知4a=2,logax=2a,则正实数x= .
答案
解析∵4a=2=,
∴a=,则lox=1,∴x=.
6.已知log7[log3(log2x)]=0,则= .
答案
解析∵log7[log3(log2x)]=0,
∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴23=x,
∴=(23.
7.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)2-5=;(2)lo81=-4;
(3)24=16;(4)log5125=3.
解(1)log2=-5.(2)=81.
(3)log216=4.(4)53=125.
8.求下列各式中x的取值范围:
(1)log0.5(x-3);(2)log(x-1)(2-x).
解(1)要使原式有意义,则x-3>0,故x的取值范围为(3,+∞).
(2)要使原式有意义,则故x的取值范围为(1,2).
能力提升
1.若loga3=m,loga5=n,则a2m+n的值是( )
A.15 B.75 C.45 D.225
答案C
解析由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
2.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为( )
A.1 B.-1 C.5 D.
答案A
解析因为log3(log5a)=0,log4(log5b)=0,所以log5a=1,log5b=1,所以a=5,b=5,故=1.
3.若a=log43,则2a+2-a= .
答案
解析a=log43 4a=3,即2a=,因而2a+2-a=.
4.方程的解是 .
答案
解析∵=3-3,∴log2x=-3,x=2-3=.
5.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则= .
答案108
解析设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,
则a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k,即4a=2k,27b=3k,
∴108ab=6k,∴108ab=a+b,∴108=.
6.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x的值.
①log2x=-;②logx3=-.
(2)已知6a=8,试用a表示下列各式.
①log68;②log62;③log26.
解(1)①因为log2x=-,所以x=.
②因为logx3=-,所以=3,
所以x=3-3=.
(2)①log68=a.
②由6a=8得6a=23,即=2,所以log62=.
③由=2得=6,所以log26=.
7.(1)若f(10x)=x,求f(3)的值;
(2)计算:.
解(1)令t=10x,则x=lgt,
∴f(t)=lgt,即f(x)=lgx,∴f(3)=lg3.
(2)=23×=23×3+=24+27=51.4.3.2 对数的运算
课后·训练提升
基础巩固
1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①loga(MN)=logaM+logaN;②loga(M-N)=;③;④(am)n=;⑤lob=-nlogab.
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(多选题)下列运算正确的是( )
A.2lo10+lo0.25=2
B.log427·log258·log95=
C.lg 2+lg 50=10
D.lo(2-)-(log2)2=-
3.已知lg 2=a,lg 3=b,则用a,b表示lg 15为( )
A.b-a+1 B.b(a-1)
C.b-a-1 D.b(1-a)
4.若log5·log36·log6x=2,则x等于( )
A.9 B. C.25 D.
5.+lo(3+2)= .
6.计算10-log98·log4= .
7.已知3a=2,3b=,则2a-b= .
8.求下列各式的值:
(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18;
(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.
能力提升
1.计算(log32+log23)2-的值是( )
A.log26 B.log36 C.2 D.1
2.化简:+log2=( )
A.2 B.2-2log23
C.-2 D.2log23-2
3.已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为( )
A.3 B.8 C.4 D.log48
4.已知a>0,b>0,且a+b=20,则lg a+lg b的最大值为 .
5.已知函数f(x)=x+1,g(x)=-,则f(log23)+g(log62)= .
6.已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且f()=4,则f(2 023)= .
7.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:.
8.2022年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%,那么经过多少年,国民生产总值是2022年的2倍(lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)
4.3.2 对数的运算
课后·训练提升
基础巩固
1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①loga(MN)=logaM+logaN;②loga(M-N)=;③;④(am)n=;⑤lob=-nlogab.
A.2 B.3 C.4 D.5
答案B
解析①正确,②不正确,③正确,④不正确,⑤不正确.
2.(多选题)下列运算正确的是( )
A.2lo10+lo0.25=2
B.log427·log258·log95=
C.lg 2+lg 50=10
D.lo(2-)-(log2)2=-
答案BD
解析对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2,A错误;对于B,log427·log258·log95=,B正确;对于C,lg2+lg50=lg100=2,C错误;对于D,lo(2-)-(log2)2=-1-()2=-,D正确.故选BD.
3.已知lg 2=a,lg 3=b,则用a,b表示lg 15为( )
A.b-a+1 B.b(a-1)
C.b-a-1 D.b(1-a)
答案A
解析lg15=lg(3×5)=lg3+lg5=lg3+lg=lg3+1-lg2=b-a+1.
4.若log5·log36·log6x=2,则x等于( )
A.9 B. C.25 D.
答案D
解析由换底公式,得=2,
lgx=-2lg5,即x=5-2=.
5.+lo(3+2)= .
答案98
解析=()2=102=100,lo(3+2)=lo+1)2=lo-1)-2=-2.
所以原式=98.
6.计算10-log98·log4= .
答案2
解析10-log98·log4=2.
7.已知3a=2,3b=,则2a-b= .
答案log320
解析∵3a=2,3b=,
∴a=log32,b=log3=-log35,
∴2a-b=2log32+log35=log320.
8.求下列各式的值:
(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18;
(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.
解(1)(方法一)原式=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.
(方法二)原式=lg14-lg+lg7-lg18=lg=lg1=0.
(2)原式==3.
能力提升
1.计算(log32+log23)2-的值是( )
A.log26 B.log36 C.2 D.1
答案C
解析原式=(log32)2+2log32×log23+(log23)2-(log32)2-(log23)2=2.
2.化简:+log2=( )
A.2 B.2-2log23
C.-2 D.2log23-2
答案B
解析=|log23-2|=2-log23.∴原式=2-log23+log2=2-log23-log23=2-2log23.
3.已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为( )
A.3 B.8 C.4 D.log48
答案A
解析x=log23,y=log4log2,所以x+2y=log23+log2=log28=3.故选A.
4.已知a>0,b>0,且a+b=20,则lg a+lg b的最大值为 .
答案2
解析∵a>0,b>0,a+b=20,∴20=a+b≥2,当且仅当a=b=10时,等号成立,即ab≤100,而lga+lgb=lgab≤lg100=2,当且仅当a=b=10时,等号成立,故lga+lgb的最大值为2.
5.已知函数f(x)=x+1,g(x)=-,则f(log23)+g(log62)= .
答案0
解析f(log23)+g(log62)=log23+1-=log23-log26+1=log2+1=log2+1=log22-1+1=-1+1=0.
6.已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且f()=4,则f(2 023)= .
答案0
解析因为f()=alog2+blog3+2=-alog22023-blog32023+2=4,所以alog22023+blog32023=-2,
所以f(2023)=-2+2=0.
7.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:.
解设3x=4y=6z=t,则t>0,且t≠1.
∴x=log3t,y=log4t,z=log6t.
(1)∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·.
∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32.
(2)证明:=logt6-logt3=logt2.
又·logt4=×2logt2=logt2,
∴.
8.2022年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%,那么经过多少年,国民生产总值是2022年的2倍(lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)
解设经过x年国民生产总值为2022年的2倍.
经过1年,国民生产总值为a(1+8%),
经过2年,国民生产总值为a(1+8%)2,
……
经过x年,国民生产总值为a(1+8%)x=2a,
∴1.08x=2,两边取常用对数,得x·lg1.08=lg2.
∴x=≈9.
故约经过9年,国民生产总值是2022年的2倍.