第1课时 对数函数的概念与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.已知f(x)=log5x,则f(5)=( )
A.0 B.1
C.5 D.25
2.函数y=的定义域是( )
A.(0,1] B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.若函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),则函数g(x)=loga的大致图象是( )
4.已知点(m,n)在函数y=lg x的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是( )
A.(m2,2n) B.(10m,10n)
C.(m+10,n+1) D.(,n+1)
5.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
6.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的定义域是 .
7.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=.
8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
能力提升
1.若a,b均为不等于1的正数,且=loga,且|logba|=-logba,则a,b满足的关系式是( )
A.a>1,且b>1 B.a>1,且0
C.01 D.02.设03.若函数f(x)=lg(x2-2ax+a)的值域是R,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
4.设a,b,c均为正数,且ea=-ln a,e-b=-ln b,e-c=ln c,则( )
A.aC.c5.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2 023)=8,则f()+f()+…+f()= .
6.若函数f(x)=2+loga(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 .
7.已知f(x)=loga(a>0,且a≠1),
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f=1,求a的值.
8.设全集U=R,函数f(x)=+lg(a+3-x)的定义域为集合A,集合B=.命题p:若 ,则A∩B≠ .
从①a=-5;②a=-3;③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中,使命题p为真命题,说明理由,并求A∩( UB).
第1课时 对数函数的概念与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.已知f(x)=log5x,则f(5)=( )
A.0 B.1
C.5 D.25
答案B
解析f(5)=log55=1.
2.函数y=的定义域是( )
A.(0,1] B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案D
解析由
解得x≥1.
3.若函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),则函数g(x)=loga的大致图象是( )
答案D
解析依题意,f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),
所以4=a2-1,
故a=4,所以g(x)=log4.
当x=0时,g(0)=0,所以g(x)的图象过原点,排除A,B;
又函数y=在区间(-1,+∞)内单调递减,y=log4x在区间(0,+∞)内单调递增,根据复合函数的单调性可知,g(x)为减函数,排除C,故选D.
4.已知点(m,n)在函数y=lg x的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是( )
A.(m2,2n) B.(10m,10n)
C.(m+10,n+1) D.(,n+1)
答案A
解析∵点(m,n)在函数y=lgx的图象上,
∴lgm=n.
当x=m2时,lgx=lgm2=2lgm=2n,
∴点(m2,2n)也在该函数的图象上,故A符合题意;
当x=10m时,lgx=lg(10m)=1+lgm=n+1,故B不符合题意;
当x=m+10时,lgx=lg(m+10)≠n+1,故C不符合题意;
当x=时,lgx=lg=lgm-1=n-1,故D不符合题意.故选A.
5.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
答案(2,-4)
解析令2x-3=1,得x=2,而f(2)=-4,
所以函数f(x)的图象恒过定点(2,-4).
6.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的定义域是 .
答案{x|2解析由题意知,g(x)的定义域为f(x)>0时的解集,由题中图象可知f(x)>0的解集为{x|27.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=.
解(1)由
解得x>-1,且x≠999,
故函数的定义域为{x|x>-1,且x≠999}.
(2)由题意可知,
∴
∴解得1≤x<2.
故函数的定义域为{x|1≤x<2}.
8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
解(1)由题意,设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.
又a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
能力提升
1.若a,b均为不等于1的正数,且=loga,且|logba|=-logba,则a,b满足的关系式是( )
A.a>1,且b>1 B.a>1,且0C.01 D.0答案C
解析依题意有loga>0,logba<0,
∴01.
2.设0答案D
解析由于y=lo|x|在x=0处无意义,故A,B错误;
因为03.若函数f(x)=lg(x2-2ax+a)的值域是R,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
答案D
解析由题意得,二次函数y=x2-2ax+a有零点,因此Δ=4a2-4a≥0,解得a≤0或a≥1.故选D.
4.设a,b,c均为正数,且ea=-ln a,e-b=-ln b,e-c=ln c,则( )
A.aC.c答案A
解析函数y=ex,y=e-x,y=lnx,y=-lnx的图象如图所示,a是y=ex与y=-lnx的图象交点的横坐标,b是y=e-x与y=-lnx的图象交点的横坐标,c是y=e-x与y=lnx的图象交点的横坐标,由图可得a5.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2 023)=8,则f()+f()+…+f()= .
答案16
解析f()+f()+…+f()
=loga+loga+…+loga
=loga(x1x2…x2023)2=2loga(x1x2…x2023)
=2f(x1x2…x2023),
又f(x1x2…x2023)=8,
∴原式=2×8=16.
6.若函数f(x)=2+loga(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 .
答案(-5,2)
解析当=1时,即x=-5时,loga=0,此时函数f(x)的图象过定点(-5,2).
所以点P的坐标为(-5,2).
7.已知f(x)=loga(a>0,且a≠1),
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f=1,求a的值.
解(1)∵f(x)=loga,∴>0,
∴-1∴函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)∵f=loga=loga3,
∴loga3=1,∴a=3.
8.设全集U=R,函数f(x)=+lg(a+3-x)的定义域为集合A,集合B=.命题p:若 ,则A∩B≠ .
从①a=-5;②a=-3;③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中,使命题p为真命题,说明理由,并求A∩( UB).
解要使函数f(x)有意义,只需解得a≤x由≤2x≤32,得-2≤x≤5,即B=[-2,5].
选择第①个条件:当a=-5时,A=[-5,-2),
∴A∩B= ,不满足条件.
选择第②个条件:
当a=-3时,A=[-3,0),
∴A∩B=[-2,0),满足条件.
∵ UB=(-∞,-2)∪(5,+∞),
∴A∩( UB)=[-3,-2).
选择第③个条件:
当a=2时,A=[2,5),
∴A∩B=[2,5),满足条件.
∵ UB=(-∞,-2)∪(5,+∞),
∴A∩( UB)= .第2课时 对数函数的图象与性质
课后·训练提升
基础巩固
1.如果loxA.yC.12.设a=log36,b=log510,c=log714,则( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
3.已知函数f(x)=lg(-x2+3x-2),则函数f(2x-1)的定义域为( )
A.(-∞,1)∪(,+∞) B.(1,3)
C.(1,2) D.(1,)
4.如果函数f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内单调递减,那么f(x)在区间(0,2)内( )
A.单调递增且无最大值
B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值
D.单调递减且有最小值
5.已知a为非零常数,函数f(x)=alg(-1A.0 B.1 C.2 D.3
6.不等式lo(x+1)>lo(3-x)的解集是 .
7.已知f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是 .
8.判断函数f(x)=log2(+x)的奇偶性.
9.讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)(a>0,且a≠1)的单调性.
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是( )
A.[1,2] B.
C. D.(0,2]
3.已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),下列说法正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 .
6.已知函数y=log2(ax-1)在区间(-2,-1)内单调递减,则实数a的取值范围是 .
7.已知loga>1(a>0,且a≠1),求a的取值范围.
8.已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)解不等式f(x)≤log2.
第2课时 对数函数的图象与性质
课后·训练提升
基础巩固
1.如果loxA.yC.1答案D
解析因为函数y=lot在区间(0,+∞)内是减函数,所以x>y>1.
2.设a=log36,b=log510,c=log714,则( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
答案D
解析a=log36=log32+1,b=log510=log52+1,c=log714=log72+1,在同一平面直角坐标系内分别画出y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象,当x=2时,由图易知log32>log52>log72,∴a>b>c.
3.已知函数f(x)=lg(-x2+3x-2),则函数f(2x-1)的定义域为( )
A.(-∞,1)∪(,+∞) B.(1,3)
C.(1,2) D.(1,)
答案D
解析由题可知-x2+3x-2>0,即x2-3x+2<0,解得14.如果函数f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内单调递减,那么f(x)在区间(0,2)内( )
A.单调递增且无最大值
B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值
D.单调递减且有最小值
答案A
解析因为函数f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内单调递减,并且y=|x-2|在区间(2,+∞)内单调递增,所以05.已知a为非零常数,函数f(x)=alg(-1A.0 B.1 C.2 D.3
答案B
解析由f(-x)=alg=-alg=-f(x),
且-1∴f(lg2)=f(-lg0.5)=-f(lg0.5)=-(-1)=1.
6.不等式lo(x+1)>lo(3-x)的解集是 .
答案{x|-1解析原不等式等价于
解得-17.已知f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是 .
答案(-4,4]
解析二次函数y=x2-ax+3a的图象的对称轴为直线x=,由题意,可得≤2,且满足当x≥2时y=x2-ax+3a>0,即解得-48.判断函数f(x)=log2(+x)的奇偶性.
解易知f(x)的定义域为(-∞,+∞),
又f(-x)+f(x)=log2(-x)+log2(+x)=log2(x2+1-x2)=log21=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
9.讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)(a>0,且a≠1)的单调性.
解由3x2-2x-1>0,得函数的定义域为xx>1,或x<-.
当a>1时,
若x>1,则u=3x2-2x-1单调递增,
∴f(x)=loga(3x2-2x-1)单调递增;
若x<-,则u=3x2-2x-1单调递减,
∴f(x)=loga(3x2-2x-1)单调递减.
当0若x>1,则f(x)=loga(3x2-2x-1)单调递减;
若x<-,则f(x)=loga(3x2-2x-1)单调递增.
综上所述,当a>1时,f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间-∞,-内单调递减;当0能力提升
1.如图,若曲线C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 ( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
答案B
解析作直线y=1,则直线与曲线C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知02.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是( )
A.[1,2] B.
C. D.(0,2]
答案C
解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(loa)=f(-log2a)=f(log2a),
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
∴|log2a|≤1,解得≤a≤2,
则a的取值范围是[,2].
3.已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案D
解析易知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2=ln1+2=2,所以f(lg2)+f=f(lg2)+f(-lg2)=2.
4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),下列说法正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
答案AC
解析对A,a=0时,由x2+ax-a-1=x2-1>0,得x<-1或x>1,所以定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;
对B,当y=x2+ax-a-1的图象与x轴有交点时,f(x)没有最小值,故B不正确;
对C,当a=0时,y=x2-1的图象与x轴有交点,此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故C正确;
对D,若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,则解得a>-3.
故D不正确.故选AC.
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 .
答案
解析当a>1时,y=ax与y=loga(x+1)在区间[0,1]上单调递增,
∴f(x)max=a+loga2,f(x)min=a0+loga1=1,
∴a+loga2+1=a,
∴loga2=-1,a=(舍去).
当0y=ax与y=loga(x+1)在区间[0,1]上单调递减,
∴f(x)max=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=a+loga2,
∴a+loga2+1=a,∴a=.
综上所述,a=.
6.已知函数y=log2(ax-1)在区间(-2,-1)内单调递减,则实数a的取值范围是 .
答案(-∞,-1]
解析若函数y=log2(ax-1)在区间(-2,-1)内单调递减,则a<0,且ax-1>0在区间(-2,-1)内恒成立,即a<在区间(-2,-1)内恒成立,所以a≤-1,故a的取值范围是(-∞,-1].
7.已知loga>1(a>0,且a≠1),求a的取值范围.
解由loga>1得loga>logaa.
当a>1时,有a<,此时无解.
当0∴a的取值范围是.
8.已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)解不等式f(x)≤log2.
解(1)由题意可知f(-x)=f(x),
则log2(+1)-kx=log2(4x+1)+kx,
化简得到log2=2kx,
即-2x=2kx恒成立,所以k=-1.
(2)由(1)知f(x)≤log2即为log2(4x+1)-x≤log2,即log2(4x+1)≤x+log2=log2(2x·),得到4x+1≤·2x,即(2x)2-·2x+1≤0,解得≤2x≤2,则-1≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.第3课时 不同函数的增长差异
课后·训练提升
基础巩固
1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.下列函数中,y随x的增大而增大且增长速度最快的是 ( )
A.y=2 023ln x B.y=x2 023
C.y= D.y=2 023·2x
3.若x∈(1,2),则下列结论正确的是( )
A.2x>>lg x B.2x>lg x>
C.>2x>lg x D.>lg x>2x
4.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……这样,一个细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系是( )
A.y=x2(x∈N*) B.y=log2x(x∈N*)
C.y=2x(x∈N*) D.y=(x∈N*)
5.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是 ( )
6.已知某湖湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2022年的湖水量为m,从2022年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是 .
7.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.
现给出下列说法:①前5 min温度增加的速度越来越快;②前5 min温度增加的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速增加;④5 min以后温度保持不变.
其中正确的是 (填序号).
8.三个变量y1,y2,y3随变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是 ,呈指数型函数变化的变量是 ,呈幂型函数变化的变量是 .
9.为了研究某种微生物的生长规律,研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前三天观测得到该种微生物的群落数量分别为8,14,26.用y表示第x(x∈N*)天的群落数量,某研究员提出了两种函数模型:①y=ax2+bx+c(a,b,c∈R);②y=p·qx+r(q>0,且q≠1,p∈R).
(1)根据观测数据,分别求出这两种函数模型的解析式;
(2)若第4天和第5天观测得到的群落数量分别为50和98,请从两个函数模型中选出较合适的一个,并预计从第几天开始该种微生物的群落数量超过500.
能力提升
1.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知当年9月份两食堂的营业额又相等,则当年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定哪个食堂的营业额较高
2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(2,+∞)时,下列结论正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.当x∈(2,4)时,g(x)>f(x)>h(x),当x∈(4,+∞)时,f(x)>g(x)>h(x)
D.当x∈(2,4)时,f(x)>g(x)>h(x),当x∈(4,+∞)时,g(x)>f(x)>h(x)
3.如图,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C,若直线AC平行于y轴,则点A的坐标是 .
4.某受污染的湖泊在自然净化过程中发现某种有害物质,且该种有害物质的残留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1)的图象如图所示.
有以下叙述:
①第4个月时,残留量就会低于;
②每月减少的有害物质量都相等;
③若残留量为时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确叙述的序号是 .
5.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断:
①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.
则正确的论断是 (填序号).
6.某学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,且每天能用于锻炼的课余时间有90 min.现制订一个课余锻炼考核评分细则,需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:min)的函数关系,要求:A.每天运动时间为0 min时,当天得分为0;B.每天运动时间为30 min时,当天得分为3分;C.每天得分最多不超过6分.现有以下三个函数模型供选择.①y=kx+n(k>0,n∈R);②y=k·1.2x+n(k>0,n∈R);③y=klog2(+2)+n(k>0,n∈R).
(1)请选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;
(2)求每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼的时间.(结果保留整数,参考数据:≈1.414)
第3课时 不同函数的增长差异
课后·训练提升
基础巩固
1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
答案D
解析对数型函数的增长速度是先快后慢,故D符合题意.
2.下列函数中,y随x的增大而增大且增长速度最快的是 ( )
A.y=2 023ln x B.y=x2 023
C.y= D.y=2 023·2x
答案D
解析由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=2023·2x的增长速度最快.故选D.
3.若x∈(1,2),则下列结论正确的是( )
A.2x>>lg x B.2x>lg x>
C.>2x>lg x D.>lg x>2x
答案A
解析∵x∈(1,2),
∴2x>2,∈(1,),lgx∈(0,1).
∴2x>>lgx.
4.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……这样,一个细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系是( )
A.y=x2(x∈N*) B.y=log2x(x∈N*)
C.y=2x(x∈N*) D.y=(x∈N*)
答案C
解析y与x的函数关系是y=2x(x∈N*).
5.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是 ( )
答案B
解析水深h为自变量,随着h的增大,A项中V的增长速度越来越快,C项中先慢后快,D项中增长速度不变,只有B项中V的增长速度越来越慢.
6.已知某湖湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2022年的湖水量为m,从2022年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是 .
答案y=0.·m
7.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.
现给出下列说法:①前5 min温度增加的速度越来越快;②前5 min温度增加的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速增加;④5 min以后温度保持不变.
其中正确的是 (填序号).
答案②④
解析由题中图象可知前5min温度增加,但是增加的速度越来越慢,所以②中说法正确,①中说法错误.
5min以后图象是一条水平线,所以温度保持不变,故④中说法正确,③中说法错误.
8.三个变量y1,y2,y3随变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是 ,呈指数型函数变化的变量是 ,呈幂型函数变化的变量是 .
答案y3 y2 y1
解析根据三种模型的变化特点,观察题中表内数据可知,y2随着x的增大而迅速增加,呈指数型函数变化,y3随着x的增大而增大,但变化缓慢,呈对数型函数变化,y1相对于y2的变化要慢一些,呈幂型函数变化.
9.为了研究某种微生物的生长规律,研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前三天观测得到该种微生物的群落数量分别为8,14,26.用y表示第x(x∈N*)天的群落数量,某研究员提出了两种函数模型:①y=ax2+bx+c(a,b,c∈R);②y=p·qx+r(q>0,且q≠1,p∈R).
(1)根据观测数据,分别求出这两种函数模型的解析式;
(2)若第4天和第5天观测得到的群落数量分别为50和98,请从两个函数模型中选出较合适的一个,并预计从第几天开始该种微生物的群落数量超过500.
解(1)对于函数模型①:把x=1,2,3及相应的y值代入,得解得
所以y=3x2-3x+8.
对于函数模型②:把x=1,2,3及相应的y值代入,得解得所以y=3·2x+2.
(2)对于模型①,当x=4时,y=44<50,当x=5时,y=68<98,故模型①不符合观测数据.
对于模型②,当x=4时,y=50,当x=5时,y=98,符合观测数据.
所以函数模型②较合适.
由3·2x+2>500,得x>log2166.
又7能力提升
1.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知当年9月份两食堂的营业额又相等,则当年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定哪个食堂的营业额较高
答案A
解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可知,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故当年5月份甲食堂的营业额较高.
2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(2,+∞)时,下列结论正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.当x∈(2,4)时,g(x)>f(x)>h(x),当x∈(4,+∞)时,f(x)>g(x)>h(x)
D.当x∈(2,4)时,f(x)>g(x)>h(x),当x∈(4,+∞)时,g(x)>f(x)>h(x)
答案D
解析在同一直角坐标系中分别画出函数f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示.由图可知,当x∈(2,4)时,函数f(x)的图象位于函数g(x)的图象上方,函数g(x)的图象位于函数h(x)的图象上方,故f(x)>g(x)>h(x).
当x∈(4,+∞)时,函数g(x)的图象位于函数f(x)的图象的上方,函数f(x)的图象位于函数h(x)的图象的上方,故g(x)>f(x)>h(x).
3.如图,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C,若直线AC平行于y轴,则点A的坐标是 .
答案(log32,2)
解析由题意设A(n,3n),B(m,3m),由9n=32n=3m得m=2n,解得n=,
则C(,3m),A().
又因为A,B,O三点共线,设直线AB对应函数的解析式为y=kx(k>0),则
解得m=2log32,所以n=log32.
所以点A的坐标为(log32,2).
4.某受污染的湖泊在自然净化过程中发现某种有害物质,且该种有害物质的残留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1)的图象如图所示.
有以下叙述:
①第4个月时,残留量就会低于;
②每月减少的有害物质量都相等;
③若残留量为时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确叙述的序号是 .
答案①③
解析根据题图可知,函数的图象经过点,将点(2,)的坐标代入y=at中,得=a2,即a=,故函数为y=.易知①③正确.
5.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断:
①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.
则正确的论断是 (填序号).
答案①
解析由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,所以①中论断正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②中论断错误;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③中论断错误.
6.某学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,且每天能用于锻炼的课余时间有90 min.现制订一个课余锻炼考核评分细则,需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:min)的函数关系,要求:A.每天运动时间为0 min时,当天得分为0;B.每天运动时间为30 min时,当天得分为3分;C.每天得分最多不超过6分.现有以下三个函数模型供选择.①y=kx+n(k>0,n∈R);②y=k·1.2x+n(k>0,n∈R);③y=klog2(+2)+n(k>0,n∈R).
(1)请选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;
(2)求每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼的时间.(结果保留整数,参考数据:≈1.414)
解(1)由题意知函数的增长速度比较慢,而模型②呈爆炸式增长,所以②不合适.若模型①合适,则由要求A和B可得n=0,k=,即y=x,则当x=80时,y=8>6,不符合要求C,故模型①不合适.故选模型③:y=klog2(+2)+n(k>0,n∈R).
将x=0,30以及相应的y值分别代入解析式,得所以y=3log2(+2)-3(0≤x≤90).
当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以符合要求的函数模型的解析式为y=3log2(+2)-3(0≤x≤90).
(2)由y=3log2(+2)-3≥4.5,得log2(+2)≥,即+2≥=4≈5.656,
所以x≥54.84≈55.
所以每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼55min.