4.5.1 函数的零点与方程的解
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)
B.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1
C.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
3.函数f(x)=4x-x2的零点所在的大致区间是( )
A.(-1,) B.(-,0)
C.(0,) D.(,1)
4.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2)
5.已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a<2 C.a≥2 D.a>2
6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
7.若函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为1,则它的另一个零点为 .
9.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
10.求函数f(x)=的零点.
11.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
能力提升
1.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于( )
A.1 B.-1
C.0 D.不能确定
2.若函数f(x)=()x-log2x与函数g(x)=()x-lox的零点分别为x1,x2,则x1x2所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.[1,+∞)
3.(多选题)已知函数f(x)=若x1
A.x1+x2=-1 B.x3x4=1
C.14.函数f(x)=的零点是 .
5.函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是 .
6.已知函数f(x)=ax-a-1,g(x)=x2-ax+1(a为实数).若f(x)在区间(2,3)内有零点,则a的取值范围是 ;若关于x的方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,则a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则实数k的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求a的取值范围.
9.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-.
(1)求证:函数g(x)有两个零点;
(2)证明函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
4.5.1 函数的零点与方程的解
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)
B.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1
C.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案BD
解析根据函数零点的定义,可知f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.因此BD正确.
2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
答案A
解析B,C,D中图象均与x轴有公共点,故对应函数均有零点,A中图象与x轴没有公共点,故对应函数没有零点.
3.函数f(x)=4x-x2的零点所在的大致区间是( )
A.(-1,) B.(-,0)
C.(0,) D.(,1)
答案A
解析∵函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(-1)f=-<0,ff(0)=×1>0, f(0)f=1×>0,ff(1)=×3>0,
∴由零点存在定理可得函数f(x)在区间(-1,)内存在零点.
4.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2)
答案D
解析由题中表格内的数据可知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,∴f(1)f(2)<0,且f(x)的图象是连续不断的曲线,
∴由零点存在定理可得,f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).
5.已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a<2 C.a≥2 D.a>2
答案C
解析当x<1时,函数f(x)有一个零点x=;
当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=(x=0舍去),
若要使函数f(x)有两个不同的零点,
则只需≥1,解得a≥2.
6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
答案B
解析(方法一)由f(x)=0,得2x+=0,
∴2x=.
在同一平面直角坐标系中,作出函数y1=2x,y2=的图象(图略),观察图象可知,
当x1∈(1,x0)时,y1当x2∈(x0,+∞)时,y1>y2,
∴f(x1)<0,f(x2)>0.
(方法二)∵函数y=2x,y=在区间(1,+∞)内均单调递增,
∴函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
∴由x1∈(1,x0),f(x0)=0,得f(x1)由x2∈(x0,+∞),f(x0)=0,得f(x2)>f(x0)=0.
7.若函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是 .
答案(1,+∞)
解析f(0)=-1,要使函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,需f(1)=m-1>0,即m>1.
8.已知函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为1,则它的另一个零点为 .
答案-3
解析设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2,
则由f(x)=ax2+2ax+c=0(a≠0),
得x1+x2=-=-2.
又x1=1,所以x2=-3.
9.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
答案(1,+∞)
解析函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当01.
10.求函数f(x)=的零点.
解当x≤0时,令2-x-4=0,得x=-2,满足要求;当x>0时,令lgx=0,得x=1,满足要求.
所以函数f(x)的零点是-2,1.
11.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
解(1)函数零点的个数,等价于对应方程-3x2+2x-m+1=0实数解的个数.
由Δ=4+12(1-m)>0,可解得m<.
由Δ=0,可解得m=;
由Δ<0,可解得m>.
故当m<时,函数有两个零点;
当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
(2)由题意知0是对应方程的根,故有1-m=0,可解得m=1.
能力提升
1.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于( )
A.1 B.-1
C.0 D.不能确定
答案C
解析因为奇函数的图象关于原点对称,所以若f(x)有三个零点,则其和必为0.
2.若函数f(x)=()x-log2x与函数g(x)=()x-lox的零点分别为x1,x2,则x1x2所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.[1,+∞)
答案A
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=()x,y=log2x,y=lox的图象,
如图所示,可以发现,0又(=log2x1,(=lox2=-log2x2,则(-(=log2(x1x2)<0,即0因而x1x2∈(0,1).故选A.
3.(多选题)已知函数f(x)=若x1A.x1+x2=-1 B.x3x4=1
C.1答案BCD
解析画出函数f(x)的大致图象如图所示,得出x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则x3x4=1,故A中结论错误,B中结论正确;由图可知14.函数f(x)=的零点是 .
答案1
解析令f(x)=0,即=0,则x-1=0或lnx=0,解得x=1,故函数f(x)的零点为1.
5.函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是 .
答案2
解析函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图所示.
由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2.
6.已知函数f(x)=ax-a-1,g(x)=x2-ax+1(a为实数).若f(x)在区间(2,3)内有零点,则a的取值范围是 ;若关于x的方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,则a的取值范围是 .
答案(,1) (2,3)
解析f(x)在区间(2,3)内有零点,则a=0不满足,当a≠0时,f(x)在R上为单调函数.
f(x)在区间(2,3)内有零点,由零点存在定理有f(2)f(3)<0;
即(2a-a-1)(3a-a-1)<0,解得方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,即方程x2-2ax+a+2=0有两个大于1的相异实根.
设h(x)=x2-2ax+a+2.
则函数h(x)图象的对称轴为直线x=a,且a>1,Δ=4a2-4(a+2)>0,且h(1)=1-2a+a+2>0,解得2故a的取值范围为(2,3).
7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则实数k的取值范围是 .
答案
解析画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,由图可知8.已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求a的取值范围.
解(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,则方程f(x)=0的根的判别式Δ<0,即16-4(a+3)<0,解得a>1.
故a的取值范围为a>1.
(2)因为函数f(x)=x2-4x+a+3的图象的对称轴是直线x=2,所以y=f(x)在区间[-1,1]上单调递减.
又函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,所以解得-8≤a≤0.
故a的取值范围为-8≤a≤0.
9.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-.
(1)求证:函数g(x)有两个零点;
(2)证明函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
证明(1)∵g(1)=a+b+c=-,
∴3a+2b+2c=0,∴c=-a-b.
∴g(x)=ax2+bx-a-b,
∴Δ=b2-4a=(2a+b)2+2a2.
∵a>0,∴Δ>0恒成立,故函数g(x)有两个零点.
(2)由题意得g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,
又由(1)知3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c.
当c>0时,有g(0)>0,又a>0,
∴g(1)=-<0,则函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
当c≤0时,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有一个零点.
综上,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.4.5.2 用二分法求方程的近似解
课后·训练提升
基础巩固
1.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε的说法正确的是 ( )
A.ε越大,零点的精确度越高
B.ε越大,零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
2.已知函数f(x)的图象如图所示,用二分法求函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
3.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算工具算得部分函数值如下表所示:
f(2)≈-1.306 9 f(3)≈1.098 6 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为 ( )
A.2.52 B.2.625 C.2.66 D.2.75
4.已知函数f(x)是R上的单调函数,且f(x)的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(1,)内,则与f(0)符号相同的是( )
A.f(1) B.f(2) C.f() D.f(4)
5.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(x)在区间(a,b)内有唯一零点,当a=1.2,b=1.4,精确度ε=0.1时,应将区间(a,b)等分的次数至少为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6
7.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]上的零点时,需要的条件是 (填序号).
①f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断;②f(a)f(b)<0;③f(a)f(b)>0;④f(a)f(b)≥0.
8.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解时,现在已经将一个实数解锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该实数解所在的区间为 .
9.求的近似值(精确度为0.1,参考数据:1.3753≈2.599 6,1.437 53≈2.970 5).
10.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
能力提升
1.设a是函数f(x)=2x-lox的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.以上都有可能
2.已知函数f(x)=log3x-在区间[1,3]上有零点,则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B. C. D.
3.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.(多选题)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98
则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点
B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点
D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点
5.利用计算工具,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y=x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)内(a在表格第一行的数据中取值),则a的值为 .
6.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)将区间[0,2]作为零点的初始区间,使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0的实数解x0在哪个较小的区间内.
7.在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m,要查多少次
4.5.2 用二分法求方程的近似解
课后·训练提升
基础巩固
1.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε的说法正确的是 ( )
A.ε越大,零点的精确度越高
B.ε越大,零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
答案B
2.已知函数f(x)的图象如图所示,用二分法求函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
答案C
解析观察题图可知,零点x3两侧附近的函数值均为负,故选C.
3.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算工具算得部分函数值如下表所示:
f(2)≈-1.306 9 f(3)≈1.098 6 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为 ( )
A.2.52 B.2.625 C.2.66 D.2.75
答案A
解析由题中表格可知方程lnx+2x-6=0的近似解在区间(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.5625)内,据此分析选项A中2.52符合.
4.已知函数f(x)是R上的单调函数,且f(x)的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(1,)内,则与f(0)符号相同的是( )
A.f(1) B.f(2) C.f() D.f(4)
答案A
5.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(x)在区间(a,b)内有唯一零点,当a=1.2,b=1.4,精确度ε=0.1时,应将区间(a,b)等分的次数至少为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案B
6.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6
答案C
解析已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又0.68=×(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72]上,且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此,0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
7.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]上的零点时,需要的条件是 (填序号).
①f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断;②f(a)f(b)<0;③f(a)f(b)>0;④f(a)f(b)≥0.
答案①②
8.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解时,现在已经将一个实数解锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该实数解所在的区间为 .
答案
解析令f(x)=x3-x2-1,则f(1)=-1<0,f(2)=3>0,f>0,所以ff(1)<0,
故可断定该实数解所在的区间为.
9.求的近似值(精确度为0.1,参考数据:1.3753≈2.599 6,1.437 53≈2.970 5).
解令=x,则x3=3.
令f(x)=x3-3,则就是函数f(x)=x3-3的零点.
因为f(1)=-2<0,f(2)=5>0,所以可取初始区间(1,2),用二分法计算,列表如下:
端点(中点) (端点)中点函数值或近似值 区间
1,2 f(1)=-2,f(2)=5 (1,2)
x1==1.5 f(x1)=0.375 (1,1.5)
x2==1.25 f(x2)≈-1.047 (1.25,1.5)
x3==1.375 f(x3)≈-0.4 (1.375,1.5)
x4==1.4375 f(x4)≈-0.03 (1.4375,1.5)
由于|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,
因此的近似值可取为1.4375.
10.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
解作出函数y=lgx和y=-1的大致图象如图所示.
由图象可知,方程lgx=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内,设f(x)=lgx-+1,f(1)=>0,用计算工具计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.0081 1
(0.5,1) 0.75 0.2805 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.1475 0.25
(0.5,0.625) 0.5625 0.0730 0.125
(0.5,0.5625) 0.53125 0.0333 0.0625
由于区间(0.5,0.5625)的长度为0.0625<0.1,所以区间(0.5,0.5625)内任意一点都可以作为零点的近似值,也可以将x=0.5625作为函数零点的近似值,也即原方程的近似解.
能力提升
1.设a是函数f(x)=2x-lox的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.以上都有可能
答案B
解析画出y=2x与y=lox的图象(图略),可知当x0>a时,>lox0,故f(x0)>0.
2.已知函数f(x)=log3x-在区间[1,3]上有零点,则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B. C. D.
答案C
解析f(1)=-<0,f(3)=>0,f(2)=log32-=log32-log3=log3=log3<0,f=log3=log3-log3=log3>log3=log3>0,f()=log3-1=log3<0,因此,函数f(x)的零点在区间上.故选C.
3.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案A
解析由题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,解得c=9.
4.(多选题)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98
则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点
B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点
D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点
答案ABC
解析f(-1)f(0)<0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所以函数f(x)在区间(-1,0),(2,3),(5,6)内均有零点,但不能断定有几个零点,故ABC正确,D不正确.
5.利用计算工具,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y=x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)内(a在表格第一行的数据中取值),则a的值为 .
答案-1或-0.8
解析令f(x)=2x-x2,由题中表格内的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0,f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,
∴方程2x=x2的一个根在区间(-0.8,-0.6)内,
∴a=-1或a=-0.8.
6.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)将区间[0,2]作为零点的初始区间,使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)证明因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)f(2)<0,又函数f(x)的图象在R上是连续不断的曲线,由函数零点存在定理可得函数f(x)在区间(0,2)内有零点,即方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).
再取x2=×(1+2)=,得f=-<0,
所以f(1)f<0,下一个有解区间为(1,).
再取x3=×(1+)=,得f>0,
所以f<0,下一个有解区间为().
综上所述,所求的实数解x0在区间()内.
7.在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m,要查多少次
解(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查,依次类推……
(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此只要7次就够了.4.5.3 函数模型的应用
课后·训练提升
基础巩固
1.已知某林场计划第一年造林10 000平方米,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )
A.14 400平方米 B.172 800平方米
C.20 736平方米 D.17 280平方米
2.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )
A.60 B.63 C.66 D.69
3.已知某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( )
A.y=log2(x+1) B.y=2x-1
C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1
4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
5.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)20 mg/100 mL的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0 mg/100 mL,经过x小时,酒精含量降为p mg/100 mL,且满足关系式p=p0·erx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89 mg/100 mL,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61 mg/100 mL,则此人饮酒后至少经过 小时方可驾车[精确到1小时,参考数据:≈0.470,≈0.322,≈0.221,≈0.151].
6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:
明文密文密文明文
已知加密函数为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,那么接受方通过解密得到明文“3”.若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 .
7.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.
8.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.
(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的解析式;
(2)当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元 (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂的单价-一件服装的成本)
能力提升
1.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=ae-kt,新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
2.某商场出售一种商品,每天可卖1 000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件售价应降低( )
A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元
3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万千克)与年份x(记2019年为第1年)之间的关系统计如下:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合的函数模型的序号是 .
4.某工厂生产产品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,决定提出产品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将产品A的年产销量减少了10p万件.
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围;
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.
5.如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大 并求出最大面积.
6.某科研团队对某一生物的生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积达到27 m2.该生物覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式.
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1 000倍 (参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
4.5.3 函数模型的应用
课后·训练提升
基础巩固
1.已知某林场计划第一年造林10 000平方米,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )
A.14 400平方米 B.172 800平方米
C.20 736平方米 D.17 280平方米
答案D
解析设第x年造林y平方米,则y=10000×(1+20%)x-1,当x=4时,y=17280平方米.故选D.
2.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )
A.60 B.63 C.66 D.69
答案C
解析由=0.95K,得,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.
3.已知某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( )
A.y=log2(x+1) B.y=2x-1
C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1
答案D
解析代入数值检验,把x=2代入可排除A,B,C,把x=1,2,3代入D选项,符合题意.
4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
答案B
解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2024年,选B.
5.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)20 mg/100 mL的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0 mg/100 mL,经过x小时,酒精含量降为p mg/100 mL,且满足关系式p=p0·erx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89 mg/100 mL,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61 mg/100 mL,则此人饮酒后至少经过 小时方可驾车[精确到1小时,参考数据:≈0.470,≈0.322,≈0.221,≈0.151].
答案8
解析由题意,61=89·e2r,则er=.
令89·exr<20,得x≥8,故答案为8.
6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:
明文密文密文明文
已知加密函数为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,那么接受方通过解密得到明文“3”.若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 .
答案4
解析依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,
故6=a3-2,解得a=2,
所以加密函数为y=2x-2,
因此当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.
7.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.
答案35
解析由Q=0.0025v2-0.175v+4.27
=0.0025(v2-70v)+4.27
=0.0025[(v-35)2-352]+4.27
=0.0025(v-35)2+1.2075.
故当v=35时,耗油量最少.
8.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.
(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的解析式;
(2)当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元 (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂的单价-一件服装的成本)
解(1)当0≤x≤100,x∈N时,P=60;
当100所以P=f(x)=
(2)设销售商一次订购量为x件时,工厂获得的利润为L元,
则L=(P-40)x=
当x=450时,L=5850,
因此,当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是5850元.
能力提升
1.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=ae-kt,新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
答案A
解析由题意,得a=ae-50k,解得e-25k=.
令ae-kt=a,即e-kt=()3=(e-25k)3=e-75k,则t=75,即经过的天数为75.
2.某商场出售一种商品,每天可卖1 000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件售价应降低( )
A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元
答案D
解析设每件降价0.1x元,则每件获利(4-0.1x)元,每天卖出商品件数为(1000+100x),利润y=(4-0.1x)·(1000+100x)=-10x2+300x+4000=-10(x2-30x+225-225)+4000=-10(x-15)2+6250.
故当x=15时,ymax=6250.故每件售价降低1.5元时,可获得最好的经济效益.
3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万千克)与年份x(记2019年为第1年)之间的关系统计如下:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合的函数模型的序号是 .
答案①
解析若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,此时f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据题中表格内数据得解得经检验是最适合的函数模型.
4.某工厂生产产品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,决定提出产品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将产品A的年产销量减少了10p万件.
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围;
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.
解由题意知,当开发费是产品A的销售金额的p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为80×(80-10p)万元,
新产品开发费f(p)=80×(80-10p)×p%(万元).
(1)由题设知
解得2≤p≤6.
故当新产品开发费不少于96万元时,p的取值范围为[2,6].
(2)当0则当p=4时,f(p)max=128.
故当p=4时,开发费最多,可达到128万元.
5.如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大 并求出最大面积.
解设四边形EFGH的面积为S,则
S=ab-2=-2x2+(a+b)x=-2,x∈(0,b].
因为0若≤b,即a≤3b,则当x=时,S有最大值;
若>b,即a>3b,则当x=b时,S有最大值ab-b2.
综上可得:当a≤3b,x=时,S有最大值;当a>3b,x=b时,S有最大值ab-b2.
6.某科研团队对某一生物的生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积达到27 m2.该生物覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式.
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1 000倍 (参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
解(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=kax(k>0,a>1),
则有解得所以y=8·.
(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则8·=8×1000,解得x=lo1000=≈16.67.
故约经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.