5.2.1 三角函数的概念
课后·训练提升
基础巩固
1.sin(-315°)的值是( )
A.- B.- C. D.
2.(多选题)若角α的终边过点(-3,-2),则下列结论正确的是( )
A.sin αtan α<0 B.cos αtan α>0
C.sin αcos α>0 D.sin αcos α<0
3.已知角α的终边与单位圆的交点P(,-),则sin α+cos α=( )
A. B.- C. D.-
4.当α为第二象限角时,的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
5.下列说法正确的个数是( )
①正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零角的三角函数值是0;
②角α的终边上有一点P(x,y),则sin α的值随y的增大而增大;
③对任意的角α,若α终边上一点的坐标为(x,y),则都有tan α=.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值等于( )
A.0 B.-2
C.2 D.-2或2
7.已知角α的终边经过点(-8m,-6cos 60°),且cos α=-,则m的值是( )
A. B.- C.- D.
8.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第 象限.
9.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(4,y)是角θ终边上的一点,且sin θ=-,则y= .
10.求值:cos+tan= .
11.sin 810°+tan 765°+tan 1 125°+cos 360°= .
12.已知点M是以原点O为圆心的单位圆上的一点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cos α和tan α的值.
13.计算下列各式的值:
(1)m2sin(-630°)-2mncos(-720°);
(2)sin-cos.
14.若sin 2α>0,且cos α<0,则角α是第几象限角
能力提升
1.在平面直角坐标系中,以原点O为顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点()和(-),那么sin αcos β=( )
A.- B.- C. D.
2.(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是( )
A.sin 156°<0 B.cos<0
C.tan(-)<0 D.tan 556°<0
3.已知角α的终边落在直线y=2x上,则sin α等于( )
A. B. C.± D.±
4.已知<1,且2cos θ<1,则角θ为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.若三角形的两内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都可能
6.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,则sin θ+cos θ= .
7.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.
8.sin+cos+cos(-5π)+tan= .
9.函数y=的值域是 .
10.若角α的终边在直线y=3x上,且sin α<0,又点P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=(O为坐标原点),则m-n= .
11.判断下列各式的符号:
(1)sin 340°cos 265°;
(2)sin 4tan;
(3)(θ为第二象限角).
12.已知P(-2,y)是角α终边上的一点,且sin α=-,求cos α与tan α的值.
13.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m的值及sin α的值.
5.2.1 三角函数的概念
课后·训练提升
基础巩固
1.sin(-315°)的值是( )
A.- B.- C. D.
答案C
解析sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=.
2.(多选题)若角α的终边过点(-3,-2),则下列结论正确的是( )
A.sin αtan α<0 B.cos αtan α>0
C.sin αcos α>0 D.sin αcos α<0
答案AC
解析∵角α的终边过点(-3,-2),
∴sinα<0,cosα<0,tanα>0,
∴sinαtanα<0,cosαtanα<0,sinαcosα>0.
故选AC.
3.已知角α的终边与单位圆的交点P(,-),则sin α+cos α=( )
A. B.- C. D.-
答案B
解析根据三角函数在单位圆中的定义可知,sinα=-,cosα=,
所以sinα+cosα=-=-.
4.当α为第二象限角时,的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
答案C
解析∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,
∴=1-(-1)=2.故选C.
5.下列说法正确的个数是( )
①正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零角的三角函数值是0;
②角α的终边上有一点P(x,y),则sin α的值随y的增大而增大;
③对任意的角α,若α终边上一点的坐标为(x,y),则都有tan α=.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案A
6.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值等于( )
A.0 B.-2
C.2 D.-2或2
答案A
解析若角α的终边落在直线x+y=0上,则
分别代入中可得其值为0.
7.已知角α的终边经过点(-8m,-6cos 60°),且cos α=-,则m的值是( )
A. B.- C.- D.
答案A
解析由题意可知,角α的终边经过点(-8m,-3),
根据三角函数的定义得cosα==-,
解得m=.
8.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第 象限.
答案二
解析因为点P(tanα,cosα)在第三象限,所以tanα<0,cosα<0,故角α的终边在第二象限.
9.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(4,y)是角θ终边上的一点,且sin θ=-,则y= .
答案-8
解析|OP|=.根据任意角的三角函数的定义,得sinθ==-,
解得y=-8.
10.求值:cos+tan= .
答案
解析原式=cos+tan=cos+tan.
11.sin 810°+tan 765°+tan 1 125°+cos 360°= .
答案4
解析原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4.
12.已知点M是以原点O为圆心的单位圆上的一点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cos α和tan α的值.
解设点M的坐标为(x,y).
由题意知,sinα=-,即y=-.
∵点M在单位圆上,且圆心与原点O重合,
∴x2+y2=1,即x2+=1,
解得x=或x=-.
当x=时,cosα=,tanα=-1;
当x=-时,cosα=-,tanα=1.
13.计算下列各式的值:
(1)m2sin(-630°)-2mncos(-720°);
(2)sin-cos.
解(1)原式=m2sin(-720°+90°)-2mncos0°=m2sin90°-2mncos0°=m2-2mn.
(2)原式=sin-cos=sin-cos=0.
14.若sin 2α>0,且cos α<0,则角α是第几象限角
解∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).
∴kπ<α当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则有2mπ<α<2mπ+(m∈Z);
当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),则有2mπ+π<α<2mπ+(m∈Z).
∴α为第一或第三象限角.
又cosα<0,故α是第三象限角.
能力提升
1.在平面直角坐标系中,以原点O为顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点()和(-),那么sin αcos β=( )
A.- B.- C. D.
答案B
解析∵角α,β的终边与单位圆分别交于点()和(-),
故由三角函数的定义知sinα=,cosβ=-,∴sinαcosβ=×(-)=-.
2.(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是( )
A.sin 156°<0 B.cos<0
C.tan(-)<0 D.tan 556°<0
答案BC
解析因为156°在第二象限,所以sin156°>0,所以A错误;
因为cos=cos(2π+)=cos在第三象限,所以cos<0,所以B正确;
因为tan(-)=tan(-4π+)=tan在第四象限,所以tan(-)<0,所以C正确;
因为tan556°=tan(360°+196°)=tan196°,且196°在第三象限,所以tan556°>0,
所以D错误.故选BC.
3.已知角α的终边落在直线y=2x上,则sin α等于( )
A. B. C.± D.±
答案D
解析因为角α的终边落在直线y=2x上,直线y=2x过第一和第三象限,所以可取终边上的点P1(1,2)和P2(-1,-2),则|OP1|=|OP2|=(其中O为坐标原点),所以sinα=±.
4.已知<1,且2cos θ<1,则角θ为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案B
解析∵<1=,∴sinθ>0.又2cosθ<1=20,∴cosθ<0.∴角θ为第二象限角.
5.若三角形的两内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都可能
答案B
解析因为α,β为三角形的内角,所以α,β∈(0,π),
所以sinα>0,
又sinαcosβ<0,所以cosβ<0,所以β∈(,π),
所以β为钝角.
故此三角形为钝角三角形.
6.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,则sin θ+cos θ= .
答案0或-
解析∵角θ的终边过点P(x,-1)(x≠0),
∴tanθ=-.
又tanθ=-x,∴x2=1,即x=±1.
当x=1时,sinθ=-,cosθ=,
则sinθ+cosθ=0.
当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-,
则sinθ+cosθ=-.
故sinθ+cosθ的值为0或-.
7.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.
答案一或第二
解析要使原式有意义,则cosαtanα>0,即cosα,tanα同号,所以α是第一或第二象限角.
8.sin+cos+cos(-5π)+tan= .
答案-1
解析原式=sin+cos+cosπ+1=-1+0-1+1=-1.
9.函数y=的值域是 .
答案{-4,0,2}
解析由sinx≠0,cosx≠0知,x的终边不能落在坐标轴上,
当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,sinxcosx>0,此时y=0;
当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,sinxcosx<0,此时y=2;
当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,sinxcosx>0,此时y=-4;
当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,sinxcosx<0,此时y=2.
故函数y=的值域为{-4,0,2}.
10.若角α的终边在直线y=3x上,且sin α<0,又点P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=(O为坐标原点),则m-n= .
答案2
解析∵角α终边上的点P(m,n)在直线y=3x上,且sinα<0,
∴点P位于第三象限,
∴m<0,n<0,n=3m.
又|OP|=,
∴m=-1,n=-3,
∴m-n=2.
11.判断下列各式的符号:
(1)sin 340°cos 265°;
(2)sin 4tan;
(3)(θ为第二象限角).
解(1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,
∴sin340°<0,cos265°<0,
∴sin340°cos265°>0.
(2)∵π<4<,
∴4是第三象限角.
∵-=-6π+,
∴-是第一象限角.
∴sin4<0,tan>0,
∴sin4tan<0.
(3)∵θ为第二象限角,
∴0∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0,
∴<0.
12.已知P(-2,y)是角α终边上的一点,且sin α=-,求cos α与tan α的值.
解因为点P到原点的距离r=,
所以sinα==-,
所以y2+4=5y2,
所以y2=1.
又易知y<0,所以y=-1,
所以r=,
所以cosα==-,tanα=.
13.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m的值及sin α的值.
解(1)∵=-,
∴sinα<0,
∵lg(cosα)有意义,
∴cosα>0.
故角α的终边在第四象限.
(2)∵点M在单位圆上,
∴+m2=1,解得m=±.
又角α是第四象限角,
∴m<0,∴m=-.
由三角函数的定义知,sinα=-.5.2.2 同角三角函数的基本关系
课后·训练提升
基础巩固
1.若α∈(0,),且sin 3α=,则cos 3α=( )
A.- B. C.- D.
2.若cos x=-,且A.- B.- C. D.
3.已知=-5,那么tan α的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
4.若△ABC的内角A满足sin Acos A=-,则cos A-sin A的值为( )
A.- B.± C.- D.±
5.(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈(,π) B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
6.化简:= .
7.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan α= .
8.求证:.
能力提升
1.若β∈[0,2π),且=sin β-cos β,则β的取值范围是( )
A.[0,) B.[,π]
C.[π,] D.[,2π)
2.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于( )
A.- B.
C.- D.
3.已知=-,则的值是( )
A. B.- C.2 D.-2
4.(多选题)下列说法正确的是( )
A.=2
B.若sin θ·cos θ=,则tan θ+=2
C.若tan x=,则=1
D.若α为第一象限角,则=2
5.若tan α+=3,则sin αcos α= ,tan2α+= .
6.已知sin α-cos α=-,则tan α+= .
7.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,π).求:
(1)m的值;
(2)的值.
8.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根 若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
课后·训练提升
基础巩固
1.若α∈(0,),且sin 3α=,则cos 3α=( )
A.- B. C.- D.
答案B
解析∵α∈(0,),∴3α∈(0,).又sin3α=,
∴cos3α=.
2.若cos x=-,且A.- B.- C. D.
答案B
解析∵cosx=-,且∴sinx=,则tanx==-,
∴tanx+sinx=-=-.
3.已知=-5,那么tan α的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
答案D
解析由=-5,分子、分母同除以cosα得=-5,解得tanα=-.
4.若△ABC的内角A满足sin Acos A=-,则cos A-sin A的值为( )
A.- B.± C.- D.±
答案C
解析∵sinAcosA=-<0,A∈(0,π),
∴cosA<0,sinA>0,即cosA-sinA<0,
∴(cosA-sinA)2=cos2A-2sinAcosA+sin2A=1-2×,则cosA-sinA=-.
5.(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈(,π) B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
答案ABD
解析∵sinθ+cosθ=,
∴(sinθ+cosθ)2=()2,即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,∴2sinθcosθ=-<0,
又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴θ∈(,π),
∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,
∴sinθ-cosθ=,
∴sinθ=,cosθ=-,
∴tanθ==-.故选ABD.
6.化简:= .
答案cos 40°-sin 40°
解析原式=
=
=|cos40°-sin40°|
=cos40°-sin40°.
7.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan α= .
答案3或-
解析由
解得
当sinα=-,cosα=时,tanα=-;
当sinα=,cosα=时,tanα=3.
综上,tanα=-或tanα=3.
8.求证:.
证明∵右边===
===左边,
∴原等式成立.
能力提升
1.若β∈[0,2π),且=sin β-cos β,则β的取值范围是( )
A.[0,) B.[,π]
C.[π,] D.[,2π)
答案B
解析∵=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,∴sinβ≥0且cosβ≤0.
又β∈[0,2π),∴β∈[,π].故选B.
2.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于( )
A.- B.
C.- D.
答案D
解析sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=,故选D.
3.已知=-,则的值是( )
A. B.- C.2 D.-2
答案A
解析因为=-1,
又=-,所以=2,
所以.
4.(多选题)下列说法正确的是( )
A.=2
B.若sin θ·cos θ=,则tan θ+=2
C.若tan x=,则=1
D.若α为第一象限角,则=2
答案ABD
解析A正确,=2;
B正确,tanθ+=2;
C错误,=2;
D正确,∵α为第一象限角,
∴原式==2.故选ABD.
5.若tan α+=3,则sin αcos α= ,tan2α+= .
答案 7
解析∵tanα+=3,∴=3,
即=3,∴sinαcosα=.
tan2α+-2tanα·=9-2=7.
6.已知sin α-cos α=-,则tan α+= .
答案-8
解析tanα+.
∵sinα-cosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,
∴sinαcosα=-,
∴=-8,∴tanα+=-8.
7.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,π).求:
(1)m的值;
(2)的值.
解(1)∵sinθ,cosθ是方程2x2-(+1)x+m=0的两个根,∴sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,
则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+m=,
∴m=.
(2)=sinθ+cosθ=.
8.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根 若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.
解假设存在实数m满足条件,由题设得,Δ=36m2-32(2m+1)≥0, ①
∵α是第三象限角,∴sinα<0,cosα<0,
∴sinα+cosα=-m<0, ②
sinαcosα=>0. ③
又sin2α+cos2α=1,
∴(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1,
即(-m)2-2×=1,即9m2-8m-20=0,
解得m1=2,m2=-.
∵m1=2不满足条件①,舍去;
m2=-不满足条件③,舍去,
故满足题意的实数m不存在.
