2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测
一、选择题
1．（2017九上·芜湖期末）若非零实数a、b满足4a2+b2=4ab，则 =（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4a2+b2=4ab，
∴（2a﹣b）2=0，
∴2a﹣b=0，
∴b=2a，
∴ =2．
故选：A．
【分析】根据完全平方公式，将原式转化为平方的形式，求出a，b之间的关系式，再进一步计算．
2．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣6）2=37
C．（x﹣3）2=4 D．（x﹣3）2=1
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣6x=1，
∴x2﹣6x+9=1+9，即（x﹣3）2=10，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2，得到x2﹣6x=1变为（x﹣3）2=10.
3．（2015九上·宜昌期中）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（ ）
A．x=3 B．x1=0，x2=﹣3
C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：x2﹣3x=0
x（ x﹣3）=0
x1=0，x2=3．
故选D．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x（x﹣3）=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．90（1+x）2=144 B．90（1﹣x）2=144
C．90（1+2x）=144 D．90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每月营业额的增长率为x，
则第二个月的营业额为：90×（1+x），
第三个月的营业额为：90×（1+x）2，
则由题意列方程为：90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90．
故答案为：D．
【分析】根据题意得到第二个月的营业额为90×（1+x），第三个月的营业额为90×（1+x）2，由总营业额为144万元，列出方程即可.
5．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）
A．a＞0 B．a=0 C．c＜0 D．c=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项不符合题意；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；
C、若c＜0，当a=﹣1、c=﹣5时，ac=5＞4，此选项不符合题意；
D、若c=0，则ac=0≤4，此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由一元二次方程有实数根，得到△≥0，再由a≠0，求出ac≤4，得到正确结果.
6．（2016九上·武胜期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥
C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞ ；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
7．（2016·深圳模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，
∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，
∴a﹣3+1=﹣6，
解得：a=﹣4．
故选C
【分析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．
8．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由（a-c）2>a2+c2得出－2ａｃ＞0，因此△＝ｂ2－4ａｃ＞0，所以两根，故答案为：B项。
【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由（a-c）2>a2+c2得出－2ａｃ＞0，得到△＝ｂ2－4ａｃ＞0有两个不相等的两个实数根.
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）关于 的方程 的两个根互为相反数，则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x1+x2= =-(k2-4)=0，即k= ，当k=2时，方程无解，故舍去。故答案为：D
【分析】根据根与系数的关系x1+x2= ，由两个实数根互为相反数，得到x1+x2=0，即-(k2-4)=0，求出k的值.
二、填空题
10．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）若（m﹣2） ﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得：m=﹣2．
故答案是：﹣2．
【分析】一元二次方程的定义是含有一个未知数，且未知数的次数是2的方程（a≠0）；得到m2-2=2且m-2≠0，求出m的值.
11．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）一元二次方程y2=2y的解为 ．
【答案】y1=0，y2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：y2﹣2y=0，
y（y﹣2）=0，
y=0或y﹣2=0，
所以y1=0，y2=2．
故答案为y1=0，y2=2．
【分析】用因式分解法提取公因式y，求出方程的解.
12．（2016九上·滨州期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是
【答案】k＜﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0，
∴k的取值范围是k＜﹣1；
故答案为：k＜﹣1．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算即可．
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】2（1+x）+2（1+x）2=8
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，
今年的投资金额为：2（1+x）；
明年的投资金额为：2（1+x）2；
所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．
故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=8．
【分析】根据题意由去年投资2万元，得到今年的投资金额为2（1+x）；明年的投资金额为2（1+x）2；由投资总额为8万元，列出方程即可.
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）一个等腰三角形的两边长分别是方程（x﹣2）（x﹣5）=0的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由方程（x﹣2）（x﹣5）=0可得x﹣2=0或x﹣5=0，
解得：x=2或x=5，
当三角形的三边为2、2、5时，2+2＜5，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边为2、5、5时，2+5＞5，可以构成三角形，其周长为2+5+5=12，
故答案为：12．
【分析】根据因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的性质和根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出等腰三角形的周长.
15．（2017九上·芜湖期末）已知一元二次方程x2+4x﹣12=0的两根的平方和= ．
【答案】40
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为α、β，
则α+β=﹣4，αβ=﹣12，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=16+24=40，
故答案为：40．
【分析】设方程的两根分别为α、β，根据韦达定理得α+β=﹣4，αβ=﹣12，再代入到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ求值可得．
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 ．
【答案】x（x﹣1）=2550
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程．
解：全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张；
全班应该送照片x（x﹣1），
则可列方程为：x（x﹣1）=2550．
故答案为x（x﹣1）=2550．
【分析】根据题意由每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，得到每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张和2550张，可列出方程.
17．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．
【答案】﹣2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得x2﹣2 （﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x1=x2=﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】根据新定义得到一元二次方程，整理一元二次方程，根据公式法求出方程的解.
18．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）对于实数a，b，定义运算“ ”： ，例如：5 3，因为5＞3，所以5 3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1 x2= ．
【答案】±4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：x2﹣6x+8=0，
解得：x=4或2，
当x1=2，x2=4时，x1 x2=22﹣2×4=﹣4；
当x1=4，x2=2时，x1 x2=4×2﹣22=4；
故答案为：±4．
【分析】根据题意用因式分解法求出方程的根，再根据新定义求出代数式的值.
三、计算题
19．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测） 解答题
（1）解方程（x﹣2）（x﹣3）=0；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求m的值取值范围．
【答案】（1）解：∵（x﹣2）（x﹣3）=0
∴x﹣2=0或x﹣3=0，
解得：x1=2，x2=3．
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
∴m的值取值范围为m＜1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】因式分解法得到方程的解；根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；根据方程有两个不相等的实数根，得到△=b2-4ac＞0，求出m的值取值范围．
20．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）已知关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0．
（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．
（2）若该方程一个根为﹣1，求方程的另一个根．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，∴ ，解得：a≥1且a≠5．
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
（2）解：∵方程一个根为﹣1，∴（a﹣5）×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣1=a﹣2=0，解得：a=2．当a=2时，原方程为3x2+4x+1=0，设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系得：﹣m= ，
解得：m=﹣ ．
∴方程的另一个根为﹣ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由该方程有实数根，得到△=( 4)2+4(a 5)≥0且a 5≠0，求出a的取值范围；把方程的根代入求出a的值，再根据根与系数的关系，求出方程的另一个根.
21．（2017九上·芜湖期末）小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．
答：金色纸边的宽度为5cm
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．
22．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的宽各为多少米，设与墙平行的一边长为x米．
（1）填空：（用含x的代数式表示）另一边长为 米；
（2）列出方程，并求出问题的解．
【答案】（1）
（2）解：设平行于墙的一边为x米，则另一边长为 米，根据题意得：
x =180，
整理得出：
x2﹣40x+360=0，
解得：x1=20+2 ，x2=20﹣2 ，
由于墙长25米，而20+2 ＞25，
∴x1=20+2 ，不合题意舍去，
∵0＜20﹣2 ＜25，
∴x2=20﹣2 ，符合题意，
此时 =10+ ，
答：此时鸡场靠墙的一边长（20﹣2 ）米，宽是（10+ ）米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设与墙平行的一边长为x米，另一边长为 米，
故答案是： ；
【分析】根据三边用竹篱笆围成，与墙平行的一边长为x米，得到另一边长是（40-x）÷2，；根据题意围成的养鸡场的面积为180平方米，由矩形的面积列出方程，求出鸡场靠墙的一边长和宽.
23．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
【答案】（1）解：设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1500（1+x）2=2160
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800
答：2006年该公司盈利1800万元．
（2）解：2160（1+0.2）=2592
答：预计2008年该公司盈利2592万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由年增长率相同，2007年的盈利是1500（1+x）2和2160万元，列出方程，求出增长率和公司2006年盈利；由增长率和2007年的盈利是2160万元，计算出2008年该公司的盈利.
24．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得 ，即 ，
解得 （不合题意，舍去）。
∴ 。
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月。
（2）解：设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为 个月，
根据题意，得 ，
解得 。
答：甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元。
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，得到甲队、乙队的关系量，再由两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍，列出方程，求出甲、乙队单独完成这项工程的月数；根据题意和甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，再由工程款不超过1500万元，列出不等式，求出甲队最多施的月数.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测
一、选择题
1．（2017九上·芜湖期末）若非零实数a、b满足4a2+b2=4ab，则 =（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣6）2=37
C．（x﹣3）2=4 D．（x﹣3）2=1
3．（2015九上·宜昌期中）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（ ）
A．x=3 B．x1=0，x2=﹣3
C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=3
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．90（1+x）2=144 B．90（1﹣x）2=144
C．90（1+2x）=144 D．90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90
5．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）
A．a＞0 B．a=0 C．c＜0 D．c=0
6．（2016九上·武胜期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥
C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
7．（2016·深圳模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
8．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）关于 的方程 的两个根互为相反数，则 值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）若（m﹣2） ﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为 ．
11．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）一元二次方程y2=2y的解为 ．
12．（2016九上·滨州期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）一个等腰三角形的两边长分别是方程（x﹣2）（x﹣5）=0的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
15．（2017九上·芜湖期末）已知一元二次方程x2+4x﹣12=0的两根的平方和= ．
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 ．
17．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．
18．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）对于实数a，b，定义运算“ ”： ，例如：5 3，因为5＞3，所以5 3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1 x2= ．
三、计算题
19．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测） 解答题
（1）解方程（x﹣2）（x﹣3）=0；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求m的值取值范围．
20．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）已知关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0．
（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．
（2）若该方程一个根为﹣1，求方程的另一个根．
21．（2017九上·芜湖期末）小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
22．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的宽各为多少米，设与墙平行的一边长为x米．
（1）填空：（用含x的代数式表示）另一边长为 米；
（2）列出方程，并求出问题的解．
23．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
24．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元检测）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4a2+b2=4ab，
∴（2a﹣b）2=0，
∴2a﹣b=0，
∴b=2a，
∴ =2．
故选：A．
【分析】根据完全平方公式，将原式转化为平方的形式，求出a，b之间的关系式，再进一步计算．
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣6x=1，
∴x2﹣6x+9=1+9，即（x﹣3）2=10，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2，得到x2﹣6x=1变为（x﹣3）2=10.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：x2﹣3x=0
x（ x﹣3）=0
x1=0，x2=3．
故选D．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x（x﹣3）=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每月营业额的增长率为x，
则第二个月的营业额为：90×（1+x），
第三个月的营业额为：90×（1+x）2，
则由题意列方程为：90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90．
故答案为：D．
【分析】根据题意得到第二个月的营业额为90×（1+x），第三个月的营业额为90×（1+x）2，由总营业额为144万元，列出方程即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项不符合题意；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；
C、若c＜0，当a=﹣1、c=﹣5时，ac=5＞4，此选项不符合题意；
D、若c=0，则ac=0≤4，此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由一元二次方程有实数根，得到△≥0，再由a≠0，求出ac≤4，得到正确结果.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞ ；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，
∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，
∴a﹣3+1=﹣6，
解得：a=﹣4．
故选C
【分析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由（a-c）2>a2+c2得出－2ａｃ＞0，因此△＝ｂ2－4ａｃ＞0，所以两根，故答案为：B项。
【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由（a-c）2>a2+c2得出－2ａｃ＞0，得到△＝ｂ2－4ａｃ＞0有两个不相等的两个实数根.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x1+x2= =-(k2-4)=0，即k= ，当k=2时，方程无解，故舍去。故答案为：D
【分析】根据根与系数的关系x1+x2= ，由两个实数根互为相反数，得到x1+x2=0，即-(k2-4)=0，求出k的值.
10．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得：m=﹣2．
故答案是：﹣2．
【分析】一元二次方程的定义是含有一个未知数，且未知数的次数是2的方程（a≠0）；得到m2-2=2且m-2≠0，求出m的值.
11．【答案】y1=0，y2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：y2﹣2y=0，
y（y﹣2）=0，
y=0或y﹣2=0，
所以y1=0，y2=2．
故答案为y1=0，y2=2．
【分析】用因式分解法提取公因式y，求出方程的解.
12．【答案】k＜﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0，
∴k的取值范围是k＜﹣1；
故答案为：k＜﹣1．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算即可．
13．【答案】2（1+x）+2（1+x）2=8
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，
今年的投资金额为：2（1+x）；
明年的投资金额为：2（1+x）2；
所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．
故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=8．
【分析】根据题意由去年投资2万元，得到今年的投资金额为2（1+x）；明年的投资金额为2（1+x）2；由投资总额为8万元，列出方程即可.
14．【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由方程（x﹣2）（x﹣5）=0可得x﹣2=0或x﹣5=0，
解得：x=2或x=5，
当三角形的三边为2、2、5时，2+2＜5，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边为2、5、5时，2+5＞5，可以构成三角形，其周长为2+5+5=12，
故答案为：12．
【分析】根据因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的性质和根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出等腰三角形的周长.
15．【答案】40
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为α、β，
则α+β=﹣4，αβ=﹣12，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=16+24=40，
故答案为：40．
【分析】设方程的两根分别为α、β，根据韦达定理得α+β=﹣4，αβ=﹣12，再代入到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ求值可得．
16．【答案】x（x﹣1）=2550
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程．
解：全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张；
全班应该送照片x（x﹣1），
则可列方程为：x（x﹣1）=2550．
故答案为x（x﹣1）=2550．
【分析】根据题意由每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，得到每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张和2550张，可列出方程.
17．【答案】﹣2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得x2﹣2 （﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x1=x2=﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】根据新定义得到一元二次方程，整理一元二次方程，根据公式法求出方程的解.
18．【答案】±4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：x2﹣6x+8=0，
解得：x=4或2，
当x1=2，x2=4时，x1 x2=22﹣2×4=﹣4；
当x1=4，x2=2时，x1 x2=4×2﹣22=4；
故答案为：±4．
【分析】根据题意用因式分解法求出方程的根，再根据新定义求出代数式的值.
19．【答案】（1）解：∵（x﹣2）（x﹣3）=0
∴x﹣2=0或x﹣3=0，
解得：x1=2，x2=3．
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
∴m的值取值范围为m＜1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】因式分解法得到方程的解；根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；根据方程有两个不相等的实数根，得到△=b2-4ac＞0，求出m的值取值范围．
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，∴ ，解得：a≥1且a≠5．
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
（2）解：∵方程一个根为﹣1，∴（a﹣5）×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣1=a﹣2=0，解得：a=2．当a=2时，原方程为3x2+4x+1=0，设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系得：﹣m= ，
解得：m=﹣ ．
∴方程的另一个根为﹣ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由该方程有实数根，得到△=( 4)2+4(a 5)≥0且a 5≠0，求出a的取值范围；把方程的根代入求出a的值，再根据根与系数的关系，求出方程的另一个根.
21．【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．
答：金色纸边的宽度为5cm
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．
22．【答案】（1）
（2）解：设平行于墙的一边为x米，则另一边长为 米，根据题意得：
x =180，
整理得出：
x2﹣40x+360=0，
解得：x1=20+2 ，x2=20﹣2 ，
由于墙长25米，而20+2 ＞25，
∴x1=20+2 ，不合题意舍去，
∵0＜20﹣2 ＜25，
∴x2=20﹣2 ，符合题意，
此时 =10+ ，
答：此时鸡场靠墙的一边长（20﹣2 ）米，宽是（10+ ）米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设与墙平行的一边长为x米，另一边长为 米，
故答案是： ；
【分析】根据三边用竹篱笆围成，与墙平行的一边长为x米，得到另一边长是（40-x）÷2，；根据题意围成的养鸡场的面积为180平方米，由矩形的面积列出方程，求出鸡场靠墙的一边长和宽.
23．【答案】（1）解：设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1500（1+x）2=2160
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800
答：2006年该公司盈利1800万元．
（2）解：2160（1+0.2）=2592
答：预计2008年该公司盈利2592万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由年增长率相同，2007年的盈利是1500（1+x）2和2160万元，列出方程，求出增长率和公司2006年盈利；由增长率和2007年的盈利是2160万元，计算出2008年该公司的盈利.
24．【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得 ，即 ，
解得 （不合题意，舍去）。
∴ 。
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月。
（2）解：设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为 个月，
根据题意，得 ，
解得 。
答：甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元。
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，得到甲队、乙队的关系量，再由两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍，列出方程，求出甲、乙队单独完成这项工程的月数；根据题意和甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，再由工程款不超过1500万元，列出不等式，求出甲队最多施的月数.
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