第1课时 三角函数的诱导公式二~四
课后·训练提升
基础巩固
1.若sin(-110°)=a,则tan 70°等于( )
A. B.
C. D.
2.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.(多选题)下列化简正确的是( )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=1
4.已知sin,则sin的值为( )
A. B.- C. D.-
5.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 360°等于( )
A.0 B.2 C.-2 D.1
6.已知cos,则cos=( )
A. B.- C. D.-
7.若tan(5π+α)=m,则= .
8.若点P(-4,3)是角α终边上的一点,则的值为 .
9.的值是 .
10.计算下列各式的值:
(1)sincos;
(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).
11.已知sin(α+π)=,且sin αcos α<0,求的值.
能力提升
1.已知n为整数,化简所得的结果是( )
A.tan(nα) B.-tan(nα)
C.tan α D.-tan α
2.(多选题)给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α=
C.若角α是三角形的一个内角,cos(π+α)=,则tan(π-α)=
D.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα=1
3.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( )
A. B.-
C.± D.以上都不对
4.若cos(π+α)=-<α<2π,则sin(α-2π)= .
5.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是 .
6.已知f(x)=则f+f的值为 .
7.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
8.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
第1课时 三角函数的诱导公式二~四
课后·训练提升
基础巩固
1.若sin(-110°)=a,则tan 70°等于( )
A. B.
C. D.
答案B
解析∵sin(-110°)=-sin110°=-sin(180°-70°)=-sin70°=a,∴sin70°=-a.
∴cos70°=,
∴tan70°=.
2.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案B
解析由sin(θ+π)=-sinθ<0 sinθ>0,cos(θ-π)=-cosθ>0 cosθ<0,由可知θ是第二象限角,故选B.
3.(多选题)下列化简正确的是( )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=1
答案AB
解析由诱导公式可得tan(π+1)=tan1,故A中化简正确;
=cosα,故B中化简正确;
=-tanα.故C中化简不正确;
=-1,
故D中化简不正确,故选AB.
4.已知sin,则sin的值为( )
A. B.- C. D.-
答案C
解析sin=sin=sin(α-)=.
5.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 360°等于( )
A.0 B.2 C.-2 D.1
答案A
解析利用诱导公式:cos(180°+α)=-cosα,可得cos1°+cos2°+cos3°+…+cos360°
=(cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°)+(cos181°+cos182°+cos183°+…+cos360°)
=(cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°)-(cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°)=0.
6.已知cos,则cos=( )
A. B.- C. D.-
答案D
解析cos=cos=-cos+θ=-.
7.若tan(5π+α)=m,则= .
答案
解析由tan(5π+α)=m,得tanα=m.
于是原式=.
8.若点P(-4,3)是角α终边上的一点,则的值为 .
答案-
解析由题意知sinα=,原式==-=-=-.
9.的值是 .
答案-2
解析原式==
==-2.
10.计算下列各式的值:
(1)sincos;
(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).
解(1)原式=-sincos=sincos.
(2)原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)+cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=1.
11.已知sin(α+π)=,且sin αcos α<0,求的值.
解因为sin(α+π)=,所以sinα=-.
又sinαcosα<0,
所以cosα>0,cosα=,
所以tanα=-.
所以原式==-.
能力提升
1.已知n为整数,化简所得的结果是( )
A.tan(nα) B.-tan(nα)
C.tan α D.-tan α
答案C
解析当n为偶数时,原式==tanα;
当n为奇数时,原式==tanα.故选C.
2.(多选题)给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α=
C.若角α是三角形的一个内角,cos(π+α)=,则tan(π-α)=
D.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα=1
答案CD
解析对于A,由诱导公式二,知α∈R时,sin(π+α)=-sinα,所以A中结论错误;对于B,当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cosα,此时cosα=,当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cosα,此时cosα=-,所以B中结论错误;对于C,因为cos(π+α)=,所以cosα=-,又角α是三角形的一个内角,所以sinα=,所以tan(π-α)=-tanα=-,所以C中结论正确;对于D,将等式sinα+cosα=1两边平方,得sinαcosα=0,所以sinα=0或cosα=0,若sinα=0,则cosα=1,此时sinnα+cosnα=1,若cosα=0,则sinα=1,此时sinnα+cosnα=1,故sinnα+cosnα=1,所以D中结论正确.故选CD.
3.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( )
A. B.-
C.± D.以上都不对
答案B
解析∵sin(π-α)=sinα=log8=lo2-2=-,α∈,
∴cos(π+α)=-cosα=-=-=-.
4.若cos(π+α)=-<α<2π,则sin(α-2π)= .
答案-
解析由cos(π+α)=-,得cosα=.
又<α<2π,故sin(α-2π)=sinα=-=-=-.
5.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是 .
答案b>a>c
解析a=-tan=-tan=-,
b=cos=cos,
c=-sin=-sin=-,
故b>a>c.
6.已知f(x)=则f+f的值为 .
答案-2
解析因为f=sin=sin-2π+=sin,
f=f-1=f-2=sin-2=--2=-,
所以f+f=-2.
7.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
解由条件得sinA=sinB,①
cosA=cosB,②
①2+②2,得2cos2A=1,则cosA=±.
又A∈(0,π),所以A=.
当A=时,cosB=-<0,所以B∈,
此时A,B均为钝角,不符合题意,舍去.
故A=,cosB=,所以B=,
所以C=.
综上所述,A=,B=,C=.
8.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
解(1)f(α)==-cosα.
(2)∵sin(α-π)=-sinα=,
∴sinα=-.
又α是第三象限角,
∴cosα=-.
∴f(α)=.
(3)∵-=-6×2π+,
∴f(-)=-cos(-6×2π+)=-cos=-cos=-.第2课时 三角函数的诱导公式五~六
课后·训练提升
基础巩固
1.已知sin θ=,则cos(450°+θ)的值是( )
A. B.- C.- D.
2.(多选题)下列与cos的值相等的是( )
A.sin(π-θ) B.sin(π+θ)
C.cos D.cos
3.已知cos,则sin的值为( )
A. B.- C. D.-
4.若f(x)=3-sincos,则f= ( )
A. B. C. D.
5.化简sincostan的结果是( )
A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1
6.已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(15°-α)= .
7.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则α等于 .
8.化简:= .
9.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且角α为第三象限角,求
的值.
10.已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)·f=-,且≤α≤,求f(α)+f的值;
(3)若f=2f(α),求f(α)·fα+的值.
能力提升
1.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是( )
A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C
C.cos=sin B D.sin=cos
2.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(2π-α)的值为( )
A.- B. C.- D.
3.若f(sin x)=3-cos 2x,则f(cos x)=( )
A.3-cos 2x B.3-sin 2x
C.3+cos 2x D.3+sin 2x
4.(多选题)定义:角θ与角φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β= B.cos(π+β)=
C.tan β= D.tan β=
5.已知tan(3π+α)=2,则= .
6.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
7.已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
8.是否存在角α,β,且α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出角α,β的值;若不存在,请说明理由.
第2课时 三角函数的诱导公式五~六
课后·训练提升
基础巩固
1.已知sin θ=,则cos(450°+θ)的值是( )
A. B.- C.- D.
答案B
解析cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sinθ=-.
2.(多选题)下列与cos的值相等的是( )
A.sin(π-θ) B.sin(π+θ)
C.cos D.cos
答案BD
解析cos=cos=-cos(-θ)=-sinθ,而sin(π-θ)=sinθ,sin(π+θ)=-sinθ,
cos=sinθ,cos=-sinθ,
故选BD.
3.已知cos,则sin的值为( )
A. B.- C. D.-
答案C
解析sin=sin=cos(-α)=cos.
4.若f(x)=3-sincos,则f= ( )
A. B. C. D.
答案B
解析∵f(x)=3-sincos=3+cosxsinx,
∴f=3+cossin=3+.
5.化简sincostan的结果是( )
A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1
答案C
解析因为sin=cosα,cos=cos[π+(-α)]=-sinα,
tan,
所以原式=cosα(-sinα)·=-cos2α.
故选C.
6.已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(15°-α)= .
答案-
解析因为cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,所以sin(75°+α)=-,故cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-.
7.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则α等于 .
答案2-
解析cosα==sin2,
∵α为锐角,且cosα=sin,
∴α=2-.
8.化简:= .
答案-1
解析原式==-1.
9.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且角α为第三象限角,求
的值.
解因为5x2-7x-6=0的两根分别为x1=2,x2=-,
所以sinα=-.
又角α为第三象限角,
所以cosα=-=-.
所以tanα=.
故原式==tanα=.
10.已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)·f=-,且≤α≤,求f(α)+f的值;
(3)若f=2f(α),求f(α)·fα+的值.
解(1)f(α)==-cosα.
(2)f=-cos=sinα,因为f(α)f=-,所以cosαsinα=,可得(sinα-cosα)2=,由≤α≤,得cosα≥sinα,所以f(α)+f=sinα-cosα=-.
(3)由(2)得f=sinα,又f=2f(α),即为sinα=-2cosα,联立sin2α+cos2α=1,解得cos2α=,所以f(α)·f=-sinαcosα=2cos2α=.
能力提升
1.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是( )
A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C
C.cos=sin B D.sin=cos
答案D
解析∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,故A,B项中等式不成立;∵A+C=π-B,∴,∴cos=cos=sin,故C项中等式不成立;∵B+C=π-A,∴sin=sin=cos,故D项中等式成立.
2.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(2π-α)的值为( )
A.- B. C.- D.
答案C
解析∵sin(π+α)+cos=-sinα-sinα=-m,∴sinα=.∴cos+2sin(2π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-.
3.若f(sin x)=3-cos 2x,则f(cos x)=( )
A.3-cos 2x B.3-sin 2x
C.3+cos 2x D.3+sin 2x
答案C
解析f(cosx)=f[sin(-x)]=3-cos(π-2x)=3+cos2x.
4.(多选题)定义:角θ与角φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β= B.cos(π+β)=
C.tan β= D.tan β=
答案AC
解析因为sin(π+α)=-sinα=-,所以sinα=.
若角β与角α“广义互余”,则β+α=,
所以β=-α.
所以sinβ=sin=cosα=±=±,
cosβ=cos=sinα=,
cos(π+β)=-cosβ=-,
tanβ==±,
所以选项AC符合条件.故选AC.
5.已知tan(3π+α)=2,则= .
答案2
解析∵tan(3π+α)=2,∴tanα=2,
∴原式==2.
6.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
答案
解析原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+.
7.已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
证明(1)∵在△ABC中,A+B=π-C,
∴,
∴cos=cos()=sin,
∴cos2+cos2=sin2+cos2=1.
(2)∵cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,
∴-sinA·(-cosB)·tanC<0,
即sinAcosBtanC<0.
又A,B,C∈(0,π),∴sinA>0,∴cosBtanC<0,
即cosB<0,tanC>0或tanC<0,cosB>0,
∴B为钝角或C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.
8.是否存在角α,β,且α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出角α,β的值;若不存在,请说明理由.
解存在α=,β=满足条件,理由如下:
由条件,得
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2, ③
又sin2α+cos2α=1, ④
由③④得sin2α=,即sinα=±,
因为α∈,所以α=或α=-.
当α=时,代入②得cosβ=,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合.
当α=-时,代入②得cosβ=,
又β∈(0,π),得β=,代入①可知,不符合.
综上可知,α=,β=满足条件.
