5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后·训练提升
基础巩固
1.用“五点法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A.0,,π,,2π
B.0,,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
2.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
3.函数y=sin x·(0
4.对于正弦函数y=sin x的图象,下列说法错误的是 ( )
A.向左右无限伸展
B.与y=cos x的图象形状相同,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
5.在区间(-π,π)内,使cos α>sin α成立的α的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
6.下列各组函数中,图象相同的是( )
①y=cos x与y=cos(π+x);
②y=sin与y=sin;
③y=sin x与y=sin(-x);
④y=sin(2π+x)与y=sin x.
A.①③ B.①② C.③④ D.④
7.若sin x=2m+1,且x∈R,则m的取值范围是 .
8.已知y=sin x和y=cos x的图象的三个连续的交点A,B,C构成△ABC,则△ABC的面积等于 .
9.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是 .
10.用“五点法”作出函数y=2sin x,x∈[0,2π]的简图.
11.根据y=cos x的图象解不等式:-≤cos x≤,x∈[0,2π].
能力提升
1.函数y=-xcos x的部分图象是( )
2.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是 ( )
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t<2时,有1个交点
C.当0D.当03.有下列结论:
①y=sin|x|的图象与y=sin x的图象关于y轴对称;
②y=cos(-x)的图象与y=cos|x|的图象相同;
③y=|sin x|的图象与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;
④y=cos x的图象与y=cos(-x)的图象相同.
其中正确的是 (填序号).
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
5.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的取值范围.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求实数a的取值范围.
6.若方程sin x=在区间上有两个实数根,求a的取值范围.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后·训练提升
基础巩固
1.用“五点法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A.0,,π,,2π
B.0,,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
答案A
解析由“五点法”可知选A.
2.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案A
解析在同一平面直角坐标系内作出y=和y=sinx的图象,如图所示.
根据图象可知,方程有7个根.
3.函数y=sin x·(0答案B
解析当04.对于正弦函数y=sin x的图象,下列说法错误的是 ( )
A.向左右无限伸展
B.与y=cos x的图象形状相同,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
答案D
解析由正弦曲线(图略)知,A,B,C中说法均正确,D中说法不正确.
5.在区间(-π,π)内,使cos α>sin α成立的α的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
答案A
解析画出y=sinx,y=cosx的图象如图所示,由图象可知在区间(-π,π)内使cosα>sinα成立的α的取值范围是.
6.下列各组函数中,图象相同的是( )
①y=cos x与y=cos(π+x);
②y=sin与y=sin;
③y=sin x与y=sin(-x);
④y=sin(2π+x)与y=sin x.
A.①③ B.①② C.③④ D.④
答案D
解析由诱导公式知,只有④中,y=sin(2π+x)=sinx.
7.若sin x=2m+1,且x∈R,则m的取值范围是 .
答案[-1,0]
解析∵sinx∈[-1,1],∴-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.
8.已知y=sin x和y=cos x的图象的三个连续的交点A,B,C构成△ABC,则△ABC的面积等于 .
答案π
解析由正弦函数、余弦函数的图象(图略)可得y=sinx和y=cosx的图象的三个连续的交点A,B,C构成的△ABC是等腰三角形,且易知底边长等于2π,高为,故△ABC的面积为×2π×π.
9.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是 .
答案
解析在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象和直线y=(图略),由图易得-10.用“五点法”作出函数y=2sin x,x∈[0,2π]的简图.
解列表:
x 0 π 2π
2sinx 0 2 0 -2 0
描点、连线,如图所示.
11.根据y=cos x的图象解不等式:-≤cos x≤,x∈[0,2π].
解函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象如图所示.
在区间[0,2π]上满足cosx=-的x有,满足cosx=的x有.
故根据图象可得,所求不等式的解集为.
能力提升
1.函数y=-xcos x的部分图象是( )
答案D
解析易知,函数的定义域为R.又-(-x)cos(-x)=xcosx,∴y=-xcosx是奇函数,其图象关于原点对称,∴排除A,C项;当x∈时,y=-xcosx<0,∴排除B项.故选D.
2.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是 ( )
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t<2时,有1个交点
C.当0D.当0答案AB
解析画出函数f(x)的图象如图所示.对于选项A,当t<0或t≥2时,有0个交点,故A中说法正确.对于选项B,当t=0或≤t<2时,有1个交点,故B中说法正确.对于选项C,当t=时,只有1个交点,故C中说法错误.对于选项D,当≤t<2时,只有1个交点,故D中说法错误.
3.有下列结论:
①y=sin|x|的图象与y=sin x的图象关于y轴对称;
②y=cos(-x)的图象与y=cos|x|的图象相同;
③y=|sin x|的图象与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;
④y=cos x的图象与y=cos(-x)的图象相同.
其中正确的是 (填序号).
答案②④
解析对于②,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同;
对于④,y=cos(-x)=cosx,故这两个函数的图象相同,作图(图略)可知①③均不正确.
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
答案
解析由得cosx=0,当x∈[0,2π]时,x=或x=.
∴交点为.
5.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的取值范围.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求实数a的取值范围.
解列表如下:
x -π - 0 π
sinx 0 -1 0 1 0
1-2sinx 1 3 1 -1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图:
(1)由图象可知,图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sinx,x∈[-π,π]的图象有两个交点时,16.若方程sin x=在区间上有两个实数根,求a的取值范围.
解在同一平面直角坐标系中作出y=sinx,x∈的图象,直线y=,如图所示.
由图象可知,当<1,即-1课后·训练提升
基础巩固
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
2.函数f(x)=2|sin x|的最小正周期为( )
A.2π B. C.π D.
3.函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是( )
A.y=cos B.y=cos(x+π)
C.y=|cos| D.y=|cos 2x|
5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
6.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
7.若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为 .
8.已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.
10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sin x,求当x<0时,f(x)的解析式.
能力提升
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是( )
A. B.π C. D.-
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,点是函数f(x)图象的一个对称中心,则( )
A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)
3.若函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
5.已知函数f(x)=cos(),则f(x)的最小正周期是 ;f(x)图象的对称中心是 .
6.已知函数f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f图象的对称轴;
(3)当x∈时,方程f(x)=m有两个不同的实根,求m的取值范围.
7.已知函数f(n)=sin,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值.
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
课后·训练提升
基础巩固
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
答案B
解析所求最小正周期T==π,故B正确.
2.函数f(x)=2|sin x|的最小正周期为( )
A.2π B. C.π D.
答案C
解析∵sin(x+π)=-sinx,|sinx|=|-sinx|,
∴f(x+π)=f(x),∴函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为π.故选C.
3.函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
答案A
解析由x∈R,f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),可知f(x)是奇函数.
4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是( )
A.y=cos B.y=cos(x+π)
C.y=|cos| D.y=|cos 2x|
答案BC
解析y=cos的周期T==4π;
y=cos(x+π)的周期T=2π;
y=|cos|的周期T=2π;
y=|cos2x|的周期T=.故选BC.
5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
答案B
解析f=f=f=-f=-1.
6.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
答案A
解析由已知可得ω==2,所以f(x)=cos.
因为f=0,所以点是该函数图象的对称中心,所以A中说法正确,B中说法错误;
因为f≠0,所以点不是该函数图象的对称中心,所以C中说法错误;
因为f=-≠±1,所以直线x=不是该函数图象的对称轴,所以D中说法错误.故选A.
7.若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为 .
答案
解析要使g(x)=sin为偶函数,则须+α=kπ+,k∈Z.
所以α=kπ+,k∈Z.
因为0<α<,所以α=.
8.已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .
答案2
解析因为=π(ω>0),所以ω=2.
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.
解f(x)=cos(2π-x)-x3sinx=cosx-x3sin的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-)=cosx-x3sin=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sin x,求当x<0时,f(x)的解析式.
解当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x-sinx(x<0).
能力提升
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是( )
A. B.π C. D.-
答案ACD
解析因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,结合选项可知,A,C,D均符合,B不符合.故选ACD.
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,点是函数f(x)图象的一个对称中心,则( )
A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)
答案C
解析∵直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,
∴-ω+φ=k1π-(k1∈Z).①
又点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴ω+φ=k2π(k2∈Z).②
∴②-①得,ω=2(k2-k1)+1.
∵k1,k2∈Z,ω>0,∴ω=2k+1(k∈N).故选C.
3.若函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
答案B
解析函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以最小正周期T=2×.
由,解得ω=6.
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
答案sin πx(答案不唯一)
解析由函数是奇函数,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asinωx(Aω≠0),满足f(-x)=-Asinωx=-f(x),即是奇函数;根据最小正周期T==2,可得|ω|=π.
故函数可以是f(x)=sinπx(答案不唯一).
5.已知函数f(x)=cos(),则f(x)的最小正周期是 ;f(x)图象的对称中心是 .
答案4π (2kπ+,0),k∈Z
解析由f(x)=cos(),得T==4π;
令=kπ+,k∈Z,求得x=2kπ+,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是(2kπ+,0),k∈Z.
6.已知函数f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f图象的对称轴;
(3)当x∈时,方程f(x)=m有两个不同的实根,求m的取值范围.
解(1)f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)是偶函数,则φ-+kπ(k∈Z),
解得φ=+kπ(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin=2cosωx.
由题意得=2×(ω>0),所以ω=2.
故f(x)=2cos2x,因此f=2cos.
(2)由f(x)=2cos2x,
得y=f=2cos(2x+),
令2x+=kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,
所以函数y=f图象的对称轴为直线x=,k∈Z.
(3)若方程f(x)=m有两个不同的实根,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.对函数y=f(x)=2cos2x,x∈(0,],令t=2x,t∈,则y=2cost,t∈的图象与直线y=m有两个不同的交点,由图象(图略)知-27.已知函数f(n)=sin,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值.
解由题意可知,函数f(n)的周期T==8,
又f(1)=sin,f(2)=sin=1,f(3)=sin,f(4)=sinπ=0,
f(5)=sin=-,f(6)=sin=-1,f(7)=sin=-,f(8)=sin2π=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
又2024=253×8,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=253×[f(1)+f(2)+…+f(8)]=0.第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.(,π) B.(π,2π)
C.(π,) D.(0,π)
2.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )
A. B.- C.- D.-2
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°4.已知函数y=g(x)=2cos+5,则( )
A.函数y=g(x)的最小正周期T=
B.函数y=g(x)在区间上单调递增
C.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g(x)的图象关于点对称
5.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递减的是 ( )
A.y=sin B.y=cosx
C.y=sin 2x D.y=cos 2x
6.已知函数f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sin x.设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 ( )
A.aC.c7.将sin 1,sin 2,sin 3按从小到大的顺序排列: .
8.函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是 .
9.函数y=sin|x|+sin x的值域是 .
10.若函数f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,则实数m的取值范围为 .
11.已知函数f(x)=2cos(3x+).求:
(1)f(x)的单调递增区间;
(2)f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
能力提升
1.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin(x+)有( )
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
2.若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都单调递减,则x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω的值可以为( )
A. B.
C.2 D.3
4.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω= .
5.函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .
6.求下列函数的最大值和最小值.
(1)f(x)=sin,x∈;
(2)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈.
7.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,且|φ|<π.
(1)若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),求φ的值;
(2)在(1)的基础上,探究f(x)的单调递增区间;
(3)我们知道正弦函数是奇函数,f(x)=sin(2x+φ)是奇函数吗 若它是奇函数,探究φ满足的条件;存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数吗 若存在,写出φ满足的条件.(只写结论,不写推理过程)
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.(,π) B.(π,2π)
C.(π,) D.(0,π)
答案C
2.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )
A. B.- C.- D.-2
答案D
解析由题意可知,函数的最大值M=-1=-,最小值m=--1=-,所以M+m=-2.
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°答案C
解析∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°,cos10°=sin80°,sin11°∴sin11°4.已知函数y=g(x)=2cos+5,则( )
A.函数y=g(x)的最小正周期T=
B.函数y=g(x)在区间上单调递增
C.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g(x)的图象关于点对称
答案D
解析对于A,由T==π,知A中说法错误;
对于B,由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,因为区间不是函数单调递增区间的子区间,故B中说法错误;
对于C,g=2cos(2×)+5=5,所以直线x=不是函数y=g(x)图象的对称轴,故C中说法错误;
对于D,g=2cos+5=5,所以y=g(x)的图象关于点对称,故D中说法正确.故选D.
5.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递减的是 ( )
A.y=sin B.y=cosx
C.y=sin 2x D.y=cos 2x
答案D
解析在选项A中,函数y=sin的周期为2π,不符合条件;
在选项B中,函数y=cosx的周期为4π,不符合条件;
在选项C中,函数y=sin2x的周期为π,但是在区间上不单调,不符合条件;
在选项D中,函数y=cos2x的周期为π,且在区间上单调递减,符合条件.故选D.
6.已知函数f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sin x.设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 ( )
A.aC.c答案D
解析由f(x)=f(π-x)知,函数f(x)的图象关于直线x=对称,又当x∈时,f(x)=x+sinx单调递增,所以当x∈时,f(x)单调递减.
因为f(1)=f(π-1),<2<π-1<3,所以f(2)>f(π-1)>f(3),即b>a>c.故选D.
7.将sin 1,sin 2,sin 3按从小到大的顺序排列: .
答案sin 3解析∵1<<2<3<π,
∴0<π-3<1<π-2<,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.
又函数y=sinx在区间上单调递增,
∴sin(π-3)即sin38.函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是 .
答案
解析当+2kπ,k∈Z,即x=+4kπ,k∈Z时,函数取最大值.
9.函数y=sin|x|+sin x的值域是 .
答案[-2,2]
解析∵y=sin|x|+sinx=
∴-2≤y≤2.
10.若函数f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,则实数m的取值范围为 .
答案[]
解析由f(x)=2sin(2x+)知,当x∈[0,π]时,f(x)在区间[0,]和[,π]上单调递增,
∵f(x)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,
∴
∴≤m≤,
∴m的取值范围为[].
11.已知函数f(x)=2cos(3x+).求:
(1)f(x)的单调递增区间;
(2)f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
解(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[](k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
即x=(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
能力提升
1.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin(x+)有( )
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
答案D
解析因为-≤x≤,所以-≤x+,
所以-≤sin(x+)≤1,所以-1≤f(x)≤2.
2.若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都单调递减,则x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析y=sin(π+x)=-sinx,y=cos(2π-x)=cosx,y=-sinx在区间(k∈Z)上单调递减.
y=cosx在区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减.
取两集合的交集,故选A.
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω的值可以为( )
A. B.
C.2 D.3
答案A
解析由题意知当x=时,函数f(x)取得最大值,
则sin=1,
所以=2kπ+(k∈Z),
所以ω=6k+,k∈Z,
又ω>0,
所以ωmin=.
结合选项知,选项A符合题意.
4.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω= .
答案
解析∵x∈,且0<ω<1,
∴0≤ωx≤.
易知y=sinωx在区间上单调递增,
∴2sin,
∴sin,
∴ω=.
5.函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .
答案[2,10]
解析令t=cosx,由于x∈R,故-1≤t≤1,
则y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
当t=-1,即cosx=-1时,函数有最大值10;
当t=1,即cosx=1时,函数有最小值2.
所以函数的值域是[2,10].
6.求下列函数的最大值和最小值.
(1)f(x)=sin,x∈;
(2)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈.
解(1)当x∈时,2x-,
所以-≤sin≤1.
所以函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为1,-.
(2)f(x)=-2cos2x+2sinx+3=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2(sinx+)2+.
因为x∈,
所以≤sinx≤1.
当sinx=1时,f(x)max=5;
当sinx=时,f(x)min=.
所以函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为5,.
7.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,且|φ|<π.
(1)若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),求φ的值;
(2)在(1)的基础上,探究f(x)的单调递增区间;
(3)我们知道正弦函数是奇函数,f(x)=sin(2x+φ)是奇函数吗 若它是奇函数,探究φ满足的条件;存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数吗 若存在,写出φ满足的条件.(只写结论,不写推理过程)
解(1)由f(x)≤|f()|对x∈R恒成立知2·+φ=2kπ±(k∈Z),
∴φ=2kπ+或φ=2kπ-(k∈Z).
∵|φ|<π,
∴φ=或φ=-.
又x=时,不满足f()>f(π),
∴φ=-.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-).
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).
(3)f(x)=sin(2x+φ)不一定是奇函数,
若f(x)=sin(2x+φ)是奇函数,则φ=kπ(k∈Z).
存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,此时φ=kπ+(k∈Z).5.4.3 正切函数的性质与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=的定义域为( )
A.( kπ,kπ+],k∈Z
B.(kπ,kπ+],k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z
D.(kπ-,kπ],k∈Z
2.函数y=tan在一个周期内的图象是( )
3.函数y=lg tan x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(kπ,kπ+π)(k∈Z)
4.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
5.函数y=3tan的图象的对称中心的坐标为 .
6.已知函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则f= .
7.比较大小:tan tan.
8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-]的值域.
能力提升
1.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减,则 ( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的大致图象是( )
3.下列关于函数y=tan的说法正确的是( )
A.在区间内单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
4.若tan≤1,则x的取值范围是 .
5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-)(x1≠x2),给出下列结论:
①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);
③f(0)=1;④>0;
⑤f.
当f(x)=tan x时,正确的结论为 (填序号).
6.已知函数f(x)=3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
7.已知函数f(x)=asin(ω>0),g(x)=btan(ω>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.
5.4.3 正切函数的性质与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=的定义域为( )
A.( kπ,kπ+],k∈Z
B.(kπ,kπ+],k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z
D.(kπ-,kπ],k∈Z
答案C
解析由题意知tan(x-)≤1,即-+kπ2.函数y=tan在一个周期内的图象是( )
答案A
解析当x=时,y=0,排除C,D;当x=0时,y=tan=-,排除B.故选A.
3.函数y=lg tan x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(kπ,kπ+π)(k∈Z)
答案B
解析由tanx>0,得kπ4.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
答案A
解析由题意,得周期T=,∴ω=4.
∴f(x)=tan4x,f=tanπ=0.
5.函数y=3tan的图象的对称中心的坐标为 .
答案(k∈Z)
解析由x+(k∈Z),
得x=(k∈Z).
∴对称中心坐标为(k∈Z).
6.已知函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则f= .
答案1
解析由已知得=2π,所以ω=,
所以f(x)=tan,
所以f=tan=tan=1.
7.比较大小:tan tan.
答案<
解析tan=tan,tan=tan,
因为y=tanx在区间内单调递增,
所以tan8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-]的值域.
解∵-≤x≤,∴-1≤tanx≤1.
令tanx=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].
能力提升
1.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减,则 ( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
答案B
解析∵y=tanωx在区间内单调递减,
∴ω<0且T=≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的大致图象是( )
答案D
解析当当x=π时,y=0;当πsinx,y=2sinx.故选D.
3.下列关于函数y=tan的说法正确的是( )
A.在区间内单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
答案B
解析令kπ-4.若tan≤1,则x的取值范围是 .
答案
解析由题意可得-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-)(x1≠x2),给出下列结论:
①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);
③f(0)=1;④>0;
⑤f.
当f(x)=tan x时,正确的结论为 (填序号).
答案①④
解析f(x)=tanx的周期为π,故①中结论正确;函数f(x)=tanx为奇函数,故②中结论不正确;f(0)=tan0=0,故③中结论不正确;f(x)=tanx在区间内单调递增,故④中结论正确;当x1=-x2时,f=0,=0,此时f,故⑤中结论不正确.
6.已知函数f(x)=3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
解(1)因为f(x)=3tan=-3tan(),
所以最小正周期T==4π.
由kπ-因为y=3tan在区间(4kπ-,4kπ+)(k∈Z)内单调递增,
所以f(x)=3tan在区间(4kπ-,4kπ+)(k∈Z)内单调递减.
故函数f(x)的最小正周期为4π,单调递减区间为(4kπ-,4kπ+)(k∈Z).
(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan,
因为0<,且y=tanx在区间内单调递增,
所以tan所以f(π)>f.
7.已知函数f(x)=asin(ω>0),g(x)=btan(ω>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.
解根据题意,可得
解得
故f(x)=sin,g(x)=tan.
当kπ-<2x-所以g(x)的单调递增区间为
(k∈Z).