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高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
新人教A版必修第一册高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质 课后训练(含解析4份打包)
文档属性
名称
新人教A版必修第一册高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质 课后训练(含解析4份打包)
格式
zip
文件大小
325.1KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-11-03 08:45:11
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文档简介
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后·训练提升
基础巩固
1.用“五点法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A.0,,π,,2π
B.0,,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
2.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
3.函数y=sin x·(0
4.对于正弦函数y=sin x的图象,下列说法错误的是 ( )
A.向左右无限伸展
B.与y=cos x的图象形状相同,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
5.在区间(-π,π)内,使cos α>sin α成立的α的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
6.下列各组函数中,图象相同的是( )
①y=cos x与y=cos(π+x);
②y=sin与y=sin;
③y=sin x与y=sin(-x);
④y=sin(2π+x)与y=sin x.
A.①③ B.①② C.③④ D.④
7.若sin x=2m+1,且x∈R,则m的取值范围是 .
8.已知y=sin x和y=cos x的图象的三个连续的交点A,B,C构成△ABC,则△ABC的面积等于 .
9.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是 .
10.用“五点法”作出函数y=2sin x,x∈[0,2π]的简图.
11.根据y=cos x的图象解不等式:-≤cos x≤,x∈[0,2π].
能力提升
1.函数y=-xcos x的部分图象是( )
2.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是 ( )
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t<2时,有1个交点
C.当0
D.当0
3.有下列结论:
①y=sin|x|的图象与y=sin x的图象关于y轴对称;
②y=cos(-x)的图象与y=cos|x|的图象相同;
③y=|sin x|的图象与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;
④y=cos x的图象与y=cos(-x)的图象相同.
其中正确的是 (填序号).
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
5.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的取值范围.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求实数a的取值范围.
6.若方程sin x=在区间上有两个实数根,求a的取值范围.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后·训练提升
基础巩固
1.用“五点法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A.0,,π,,2π
B.0,,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
答案A
解析由“五点法”可知选A.
2.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案A
解析在同一平面直角坐标系内作出y=和y=sinx的图象,如图所示.
根据图象可知,方程有7个根.
3.函数y=sin x·(0
答案B
解析当0
4.对于正弦函数y=sin x的图象,下列说法错误的是 ( )
A.向左右无限伸展
B.与y=cos x的图象形状相同,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
答案D
解析由正弦曲线(图略)知,A,B,C中说法均正确,D中说法不正确.
5.在区间(-π,π)内,使cos α>sin α成立的α的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
答案A
解析画出y=sinx,y=cosx的图象如图所示,由图象可知在区间(-π,π)内使cosα>sinα成立的α的取值范围是.
6.下列各组函数中,图象相同的是( )
①y=cos x与y=cos(π+x);
②y=sin与y=sin;
③y=sin x与y=sin(-x);
④y=sin(2π+x)与y=sin x.
A.①③ B.①② C.③④ D.④
答案D
解析由诱导公式知,只有④中,y=sin(2π+x)=sinx.
7.若sin x=2m+1,且x∈R,则m的取值范围是 .
答案[-1,0]
解析∵sinx∈[-1,1],∴-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.
8.已知y=sin x和y=cos x的图象的三个连续的交点A,B,C构成△ABC,则△ABC的面积等于 .
答案π
解析由正弦函数、余弦函数的图象(图略)可得y=sinx和y=cosx的图象的三个连续的交点A,B,C构成的△ABC是等腰三角形,且易知底边长等于2π,高为,故△ABC的面积为×2π×π.
9.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是 .
答案
解析在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象和直线y=(图略),由图易得-
10.用“五点法”作出函数y=2sin x,x∈[0,2π]的简图.
解列表:
x 0 π 2π
2sinx 0 2 0 -2 0
描点、连线,如图所示.
11.根据y=cos x的图象解不等式:-≤cos x≤,x∈[0,2π].
解函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象如图所示.
在区间[0,2π]上满足cosx=-的x有,满足cosx=的x有.
故根据图象可得,所求不等式的解集为.
能力提升
1.函数y=-xcos x的部分图象是( )
答案D
解析易知,函数的定义域为R.又-(-x)cos(-x)=xcosx,∴y=-xcosx是奇函数,其图象关于原点对称,∴排除A,C项;当x∈时,y=-xcosx<0,∴排除B项.故选D.
2.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是 ( )
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t<2时,有1个交点
C.当0
D.当0
答案AB
解析画出函数f(x)的图象如图所示.对于选项A,当t<0或t≥2时,有0个交点,故A中说法正确.对于选项B,当t=0或≤t<2时,有1个交点,故B中说法正确.对于选项C,当t=时,只有1个交点,故C中说法错误.对于选项D,当≤t<2时,只有1个交点,故D中说法错误.
3.有下列结论:
①y=sin|x|的图象与y=sin x的图象关于y轴对称;
②y=cos(-x)的图象与y=cos|x|的图象相同;
③y=|sin x|的图象与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;
④y=cos x的图象与y=cos(-x)的图象相同.
其中正确的是 (填序号).
答案②④
解析对于②,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同;
对于④,y=cos(-x)=cosx,故这两个函数的图象相同,作图(图略)可知①③均不正确.
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
答案
解析由得cosx=0,当x∈[0,2π]时,x=或x=.
∴交点为.
5.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的取值范围.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求实数a的取值范围.
解列表如下:
x -π - 0 π
sinx 0 -1 0 1 0
1-2sinx 1 3 1 -1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图:
(1)由图象可知,图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sinx,x∈[-π,π]的图象有两个交点时,1
6.若方程sin x=在区间上有两个实数根,求a的取值范围.
解在同一平面直角坐标系中作出y=sinx,x∈的图象,直线y=,如图所示.
由图象可知,当<1,即-1
课后·训练提升
基础巩固
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
2.函数f(x)=2|sin x|的最小正周期为( )
A.2π B. C.π D.
3.函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是( )
A.y=cos B.y=cos(x+π)
C.y=|cos| D.y=|cos 2x|
5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
6.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
7.若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为 .
8.已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.
10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sin x,求当x<0时,f(x)的解析式.
能力提升
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是( )
A. B.π C. D.-
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,点是函数f(x)图象的一个对称中心,则( )
A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)
3.若函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
5.已知函数f(x)=cos(),则f(x)的最小正周期是 ;f(x)图象的对称中心是 .
6.已知函数f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f图象的对称轴;
(3)当x∈时,方程f(x)=m有两个不同的实根,求m的取值范围.
7.已知函数f(n)=sin,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值.
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
课后·训练提升
基础巩固
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
答案B
解析所求最小正周期T==π,故B正确.
2.函数f(x)=2|sin x|的最小正周期为( )
A.2π B. C.π D.
答案C
解析∵sin(x+π)=-sinx,|sinx|=|-sinx|,
∴f(x+π)=f(x),∴函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为π.故选C.
3.函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
答案A
解析由x∈R,f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),可知f(x)是奇函数.
4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是( )
A.y=cos B.y=cos(x+π)
C.y=|cos| D.y=|cos 2x|
答案BC
解析y=cos的周期T==4π;
y=cos(x+π)的周期T=2π;
y=|cos|的周期T=2π;
y=|cos2x|的周期T=.故选BC.
5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
答案B
解析f=f=f=-f=-1.
6.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
答案A
解析由已知可得ω==2,所以f(x)=cos.
因为f=0,所以点是该函数图象的对称中心,所以A中说法正确,B中说法错误;
因为f≠0,所以点不是该函数图象的对称中心,所以C中说法错误;
因为f=-≠±1,所以直线x=不是该函数图象的对称轴,所以D中说法错误.故选A.
7.若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为 .
答案
解析要使g(x)=sin为偶函数,则须+α=kπ+,k∈Z.
所以α=kπ+,k∈Z.
因为0<α<,所以α=.
8.已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .
答案2
解析因为=π(ω>0),所以ω=2.
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.
解f(x)=cos(2π-x)-x3sinx=cosx-x3sin的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-)=cosx-x3sin=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sin x,求当x<0时,f(x)的解析式.
解当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x-sinx(x<0).
能力提升
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是( )
A. B.π C. D.-
答案ACD
解析因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,结合选项可知,A,C,D均符合,B不符合.故选ACD.
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,点是函数f(x)图象的一个对称中心,则( )
A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)
答案C
解析∵直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,
∴-ω+φ=k1π-(k1∈Z).①
又点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴ω+φ=k2π(k2∈Z).②
∴②-①得,ω=2(k2-k1)+1.
∵k1,k2∈Z,ω>0,∴ω=2k+1(k∈N).故选C.
3.若函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
答案B
解析函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以最小正周期T=2×.
由,解得ω=6.
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
答案sin πx(答案不唯一)
解析由函数是奇函数,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asinωx(Aω≠0),满足f(-x)=-Asinωx=-f(x),即是奇函数;根据最小正周期T==2,可得|ω|=π.
故函数可以是f(x)=sinπx(答案不唯一).
5.已知函数f(x)=cos(),则f(x)的最小正周期是 ;f(x)图象的对称中心是 .
答案4π (2kπ+,0),k∈Z
解析由f(x)=cos(),得T==4π;
令=kπ+,k∈Z,求得x=2kπ+,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是(2kπ+,0),k∈Z.
6.已知函数f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f图象的对称轴;
(3)当x∈时,方程f(x)=m有两个不同的实根,求m的取值范围.
解(1)f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)是偶函数,则φ-+kπ(k∈Z),
解得φ=+kπ(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin=2cosωx.
由题意得=2×(ω>0),所以ω=2.
故f(x)=2cos2x,因此f=2cos.
(2)由f(x)=2cos2x,
得y=f=2cos(2x+),
令2x+=kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,
所以函数y=f图象的对称轴为直线x=,k∈Z.
(3)若方程f(x)=m有两个不同的实根,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.对函数y=f(x)=2cos2x,x∈(0,],令t=2x,t∈,则y=2cost,t∈的图象与直线y=m有两个不同的交点,由图象(图略)知-2
7.已知函数f(n)=sin,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值.
解由题意可知,函数f(n)的周期T==8,
又f(1)=sin,f(2)=sin=1,f(3)=sin,f(4)=sinπ=0,
f(5)=sin=-,f(6)=sin=-1,f(7)=sin=-,f(8)=sin2π=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
又2024=253×8,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=253×[f(1)+f(2)+…+f(8)]=0.第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.(,π) B.(π,2π)
C.(π,) D.(0,π)
2.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )
A. B.- C.- D.-2
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°
B.sin 168°
C.sin 11°
D.sin 168°
4.已知函数y=g(x)=2cos+5,则( )
A.函数y=g(x)的最小正周期T=
B.函数y=g(x)在区间上单调递增
C.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g(x)的图象关于点对称
5.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递减的是 ( )
A.y=sin B.y=cosx
C.y=sin 2x D.y=cos 2x
6.已知函数f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sin x.设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 ( )
A.a
C.c
7.将sin 1,sin 2,sin 3按从小到大的顺序排列: .
8.函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是 .
9.函数y=sin|x|+sin x的值域是 .
10.若函数f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,则实数m的取值范围为 .
11.已知函数f(x)=2cos(3x+).求:
(1)f(x)的单调递增区间;
(2)f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
能力提升
1.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin(x+)有( )
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
2.若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都单调递减,则x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω的值可以为( )
A. B.
C.2 D.3
4.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω= .
5.函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .
6.求下列函数的最大值和最小值.
(1)f(x)=sin,x∈;
(2)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈.
7.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,且|φ|<π.
(1)若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),求φ的值;
(2)在(1)的基础上,探究f(x)的单调递增区间;
(3)我们知道正弦函数是奇函数,f(x)=sin(2x+φ)是奇函数吗 若它是奇函数,探究φ满足的条件;存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数吗 若存在,写出φ满足的条件.(只写结论,不写推理过程)
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.(,π) B.(π,2π)
C.(π,) D.(0,π)
答案C
2.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )
A. B.- C.- D.-2
答案D
解析由题意可知,函数的最大值M=-1=-,最小值m=--1=-,所以M+m=-2.
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°
B.sin 168°
C.sin 11°
D.sin 168°
答案C
解析∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°,cos10°=sin80°,sin11°
∴sin11°
4.已知函数y=g(x)=2cos+5,则( )
A.函数y=g(x)的最小正周期T=
B.函数y=g(x)在区间上单调递增
C.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g(x)的图象关于点对称
答案D
解析对于A,由T==π,知A中说法错误;
对于B,由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,因为区间不是函数单调递增区间的子区间,故B中说法错误;
对于C,g=2cos(2×)+5=5,所以直线x=不是函数y=g(x)图象的对称轴,故C中说法错误;
对于D,g=2cos+5=5,所以y=g(x)的图象关于点对称,故D中说法正确.故选D.
5.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递减的是 ( )
A.y=sin B.y=cosx
C.y=sin 2x D.y=cos 2x
答案D
解析在选项A中,函数y=sin的周期为2π,不符合条件;
在选项B中,函数y=cosx的周期为4π,不符合条件;
在选项C中,函数y=sin2x的周期为π,但是在区间上不单调,不符合条件;
在选项D中,函数y=cos2x的周期为π,且在区间上单调递减,符合条件.故选D.
6.已知函数f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sin x.设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 ( )
A.a
C.c
答案D
解析由f(x)=f(π-x)知,函数f(x)的图象关于直线x=对称,又当x∈时,f(x)=x+sinx单调递增,所以当x∈时,f(x)单调递减.
因为f(1)=f(π-1),<2<π-1<3,所以f(2)>f(π-1)>f(3),即b>a>c.故选D.
7.将sin 1,sin 2,sin 3按从小到大的顺序排列: .
答案sin 3
解析∵1<<2<3<π,
∴0<π-3<1<π-2<,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.
又函数y=sinx在区间上单调递增,
∴sin(π-3)
即sin3
8.函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是 .
答案
解析当+2kπ,k∈Z,即x=+4kπ,k∈Z时,函数取最大值.
9.函数y=sin|x|+sin x的值域是 .
答案[-2,2]
解析∵y=sin|x|+sinx=
∴-2≤y≤2.
10.若函数f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,则实数m的取值范围为 .
答案[]
解析由f(x)=2sin(2x+)知,当x∈[0,π]时,f(x)在区间[0,]和[,π]上单调递增,
∵f(x)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,
∴
∴≤m≤,
∴m的取值范围为[].
11.已知函数f(x)=2cos(3x+).求:
(1)f(x)的单调递增区间;
(2)f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
解(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[](k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
即x=(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
能力提升
1.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin(x+)有( )
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
答案D
解析因为-≤x≤,所以-≤x+,
所以-≤sin(x+)≤1,所以-1≤f(x)≤2.
2.若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都单调递减,则x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析y=sin(π+x)=-sinx,y=cos(2π-x)=cosx,y=-sinx在区间(k∈Z)上单调递减.
y=cosx在区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减.
取两集合的交集,故选A.
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω的值可以为( )
A. B.
C.2 D.3
答案A
解析由题意知当x=时,函数f(x)取得最大值,
则sin=1,
所以=2kπ+(k∈Z),
所以ω=6k+,k∈Z,
又ω>0,
所以ωmin=.
结合选项知,选项A符合题意.
4.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω= .
答案
解析∵x∈,且0<ω<1,
∴0≤ωx≤.
易知y=sinωx在区间上单调递增,
∴2sin,
∴sin,
∴ω=.
5.函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .
答案[2,10]
解析令t=cosx,由于x∈R,故-1≤t≤1,
则y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
当t=-1,即cosx=-1时,函数有最大值10;
当t=1,即cosx=1时,函数有最小值2.
所以函数的值域是[2,10].
6.求下列函数的最大值和最小值.
(1)f(x)=sin,x∈;
(2)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈.
解(1)当x∈时,2x-,
所以-≤sin≤1.
所以函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为1,-.
(2)f(x)=-2cos2x+2sinx+3=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2(sinx+)2+.
因为x∈,
所以≤sinx≤1.
当sinx=1时,f(x)max=5;
当sinx=时,f(x)min=.
所以函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为5,.
7.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,且|φ|<π.
(1)若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),求φ的值;
(2)在(1)的基础上,探究f(x)的单调递增区间;
(3)我们知道正弦函数是奇函数,f(x)=sin(2x+φ)是奇函数吗 若它是奇函数,探究φ满足的条件;存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数吗 若存在,写出φ满足的条件.(只写结论,不写推理过程)
解(1)由f(x)≤|f()|对x∈R恒成立知2·+φ=2kπ±(k∈Z),
∴φ=2kπ+或φ=2kπ-(k∈Z).
∵|φ|<π,
∴φ=或φ=-.
又x=时,不满足f()>f(π),
∴φ=-.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-).
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).
(3)f(x)=sin(2x+φ)不一定是奇函数,
若f(x)=sin(2x+φ)是奇函数,则φ=kπ(k∈Z).
存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,此时φ=kπ+(k∈Z).5.4.3 正切函数的性质与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=的定义域为( )
A.( kπ,kπ+],k∈Z
B.(kπ,kπ+],k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z
D.(kπ-,kπ],k∈Z
2.函数y=tan在一个周期内的图象是( )
3.函数y=lg tan x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(kπ,kπ+π)(k∈Z)
4.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
5.函数y=3tan的图象的对称中心的坐标为 .
6.已知函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则f= .
7.比较大小:tan tan.
8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-]的值域.
能力提升
1.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减,则 ( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的大致图象是( )
3.下列关于函数y=tan的说法正确的是( )
A.在区间内单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
4.若tan≤1,则x的取值范围是 .
5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-)(x1≠x2),给出下列结论:
①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);
③f(0)=1;④>0;
⑤f.
当f(x)=tan x时,正确的结论为 (填序号).
6.已知函数f(x)=3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
7.已知函数f(x)=asin(ω>0),g(x)=btan(ω>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.
5.4.3 正切函数的性质与图象
课后·训练提升
基础巩固
1.函数y=的定义域为( )
A.( kπ,kπ+],k∈Z
B.(kπ,kπ+],k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z
D.(kπ-,kπ],k∈Z
答案C
解析由题意知tan(x-)≤1,即-+kπ
2.函数y=tan在一个周期内的图象是( )
答案A
解析当x=时,y=0,排除C,D;当x=0时,y=tan=-,排除B.故选A.
3.函数y=lg tan x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(kπ,kπ+π)(k∈Z)
答案B
解析由tanx>0,得kπ
4.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
答案A
解析由题意,得周期T=,∴ω=4.
∴f(x)=tan4x,f=tanπ=0.
5.函数y=3tan的图象的对称中心的坐标为 .
答案(k∈Z)
解析由x+(k∈Z),
得x=(k∈Z).
∴对称中心坐标为(k∈Z).
6.已知函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则f= .
答案1
解析由已知得=2π,所以ω=,
所以f(x)=tan,
所以f=tan=tan=1.
7.比较大小:tan tan.
答案<
解析tan=tan,tan=tan,
因为y=tanx在区间内单调递增,
所以tan
8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-]的值域.
解∵-≤x≤,∴-1≤tanx≤1.
令tanx=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].
能力提升
1.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减,则 ( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
答案B
解析∵y=tanωx在区间内单调递减,
∴ω<0且T=≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的大致图象是( )
答案D
解析当
当x=π时,y=0;当π
sinx,y=2sinx.故选D.
3.下列关于函数y=tan的说法正确的是( )
A.在区间内单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
答案B
解析令kπ-
4.若tan≤1,则x的取值范围是 .
答案
解析由题意可得-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-
5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-)(x1≠x2),给出下列结论:
①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);
③f(0)=1;④>0;
⑤f.
当f(x)=tan x时,正确的结论为 (填序号).
答案①④
解析f(x)=tanx的周期为π,故①中结论正确;函数f(x)=tanx为奇函数,故②中结论不正确;f(0)=tan0=0,故③中结论不正确;f(x)=tanx在区间内单调递增,故④中结论正确;当x1=-x2时,f=0,=0,此时f,故⑤中结论不正确.
6.已知函数f(x)=3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
解(1)因为f(x)=3tan=-3tan(),
所以最小正周期T==4π.
由kπ-
因为y=3tan在区间(4kπ-,4kπ+)(k∈Z)内单调递增,
所以f(x)=3tan在区间(4kπ-,4kπ+)(k∈Z)内单调递减.
故函数f(x)的最小正周期为4π,单调递减区间为(4kπ-,4kπ+)(k∈Z).
(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan,
因为0<,且y=tanx在区间内单调递增,
所以tan
所以f(π)>f.
7.已知函数f(x)=asin(ω>0),g(x)=btan(ω>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.
解根据题意,可得
解得
故f(x)=sin,g(x)=tan.
当kπ-<2x-
所以g(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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