第1课时 两角差的余弦公式
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列各式化简正确的是( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.coscos α+sin α
2.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α,β的值是( )
A.α=π,β=π B.α=,β=
C.α=,β= D.α=,β=
3.设角θ的终边经过点(-3,4),则cos(θ-)等于( )
A.- B. C. D.-
4.在△ABC中,A,B∈,设x=sin Asin B,y=cos(B+C)cos B,则x,y的大小关系是( )
A.x≥y B.x≤y C.x>y D.x
5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )
A. B.- C. D.-
6.若cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2= .
7.已知sin(α+)=-,α∈(),则cos α= .
8.已知cos α=,cos(α-β)=-<α<2π,<α-β<π,则cos β= .
9.已知cos+sin α=,求cos(α-)的值.
10.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β).
能力提升
1.在Rt△ABC中,C=,设x=cos(-A)cos(-B),y=sin(A-)sin(-B),则x+y=( )
A.0 B.- C.1 D.
2.(多选题)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ可能为 ( )
A.- B.- C. D.
3.若cos(α-β)=,cos 2α=,且0<α<β<,则α+β的值为( )
A. B. C. D.
4.已知角α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则β-α= .
5.化简= .
6.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在区间上的单调递增区间为 .
7.设cos=-,sin,其中α∈,β∈,求cos.
第1课时 两角差的余弦公式
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列各式化简正确的是( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.coscos α+sin α
答案ABC
解析根据两角差的余弦公式,可知A,B,C中式子化简都是正确的,而对于D,cos=cosαcos+sinαsincosα+sinα,故D中式子的化简是错误的.
2.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α,β的值是( )
A.α=π,β=π B.α=,β=
C.α=,β= D.α=,β=
答案B
解析由条件cosαcosβ=-sinαsinβ得cosαcosβ+sinαsinβ=,即cos(α-β)=,结合选项可知α=,β=满足条件.故选B.
3.设角θ的终边经过点(-3,4),则cos(θ-)等于( )
A.- B. C. D.-
答案B
解析由三角函数的定义知,sinθ=,cosθ=-,所以cos(θ-)=cosθcos+sinθsin
=-.故选B.
4.在△ABC中,A,B∈,设x=sin Asin B,y=cos(B+C)cos B,则x,y的大小关系是( )
A.x≥y B.x≤y C.x>y D.x答案C
解析由题意可知,A+B+C=π,则B+C=π-A,
所以x-y=sinAsinB-cos(B+C)cosB
=sinAsinB-cos(π-A)cosB
=sinAsinB+cosAcosB=cos(A-B).
因为0所以-所以cos(A-B)>0,所以x-y>0,即x>y.
5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )
A. B.- C. D.-
答案A
解析∵α,β为锐角,cosα=,cos(α+β)=-,
∴sinα=,sin(α+β)=,
∴cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.
故选A.
6.若cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2= .
答案
解析原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=.
7.已知sin(α+)=-,α∈(),则cos α= .
答案
解析因为α∈(),所以α+∈(,2π),
所以cos)α+)=.
所以cosα=cos[(α+)-]=cos(α+)·cos+sin(α+)sin+(-)×.
8.已知cos α=,cos(α-β)=-<α<2π,<α-β<π,则cos β= .
答案-1
解析由已知得sinα=-,sin(α-β)=,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-=-1.
9.已知cos+sin α=,求cos(α-)的值.
解因为cos+sinα=cosα+sinα=,
所以cosα+sinα=,
所以coscosα+sinα=.
10.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β).
解因为<α<,0<β<,所以<2α-β<π.
又cos(2α-β)=-,所以<2α-β<π,
所以sin(2α-β)=.
因为<α<,0<β<,
所以-<α-2β<.
又sin(α-2β)=,所以0<α-2β<,
所以cos(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
==0.
能力提升
1.在Rt△ABC中,C=,设x=cos(-A)cos(-B),y=sin(A-)sin(-B),则x+y=( )
A.0 B.- C.1 D.
答案D
解析x+y=coscos+sin(A-)·sin
=coscos+sin·sin=cos[]=cos.
在△ABC中,A+B=π-C=,
所以x+y=cos.
2.(多选题)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ可能为 ( )
A.- B.- C. D.
答案AC
解析sinx+cosx=coscosx+sinsinx=cos=cos(x+φ),∴φ=-+2kπ(k∈Z).
∴-均符合题意.
3.若cos(α-β)=,cos 2α=,且0<α<β<,则α+β的值为( )
A. B. C. D.
答案C
解析∵0<α<β<,
∴α-β∈(-,0),2α∈(0,π),
∴sin(α-β)=-,sin2α=,
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)==-.
∵α+β∈(0,π),∴α+β=.
4.已知角α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则β-α= .
答案
解析由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.
两式分别平方相加,得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1.
∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,
又α,β,γ∈,∴β-α=±.
∵sinγ=sinβ-sinα>0,
∴β>α,∴β-α=.
5.化简= .
答案
解析原式==.
6.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在区间上的单调递增区间为 .
答案
解析f(x)=sin2xsin-cos2xcos=sin2xsin+cos2xcos=cos.
当2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.
取k=0,得-≤x≤,
故函数f(x)在区间上的单调递增区间为.
7.设cos=-,sin,其中α∈,β∈,求cos.
解因为α∈,β∈,
所以α--β∈.
因为cos=-,sin,
所以sin,
cos.
所以cos=cos
=coscos+sinsin
=-.第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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基础巩固
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( )
A.- B. C.- D.
2.sin θ+sin+sin的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
3.已知cos(+α)=(-<α<),则sin(α+)=( )
A. B.
C. D.
4.已知tan(α+β)=,tan,则tan的值为( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,若A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.- C. D.-
6.已知cos(α-β)=,sin β=-,且α∈,β∈,则sin α等于( )
A. B.
C.- D.-
7.求值:sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)= .
8.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sinβ-=,则cos= .
9.已知tan=2,则的值为 .
10.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α的值.
11.在直角坐标系中,角α,β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.
(1)求tan β的值;
(2)求的值.
能力提升
1.函数f(x)=sin-sin是( )
A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数
2.已知A,B,C为△ABC的内角.若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
3.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
4.若tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两个根,则= .
5.已知8cos(2α+β)+5cos β=0,且cos(α+β)cos α≠0,则tan(α+β)tan α= .
6.已知sin(2α-β)=,cos(α-2β)=<α<,-<β<0,则α+β= .
7.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)= .
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f,求cos(α+)的值.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课后·训练提升
基础巩固
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( )
A.- B. C.- D.
答案D
解析原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.
2.sin θ+sin+sin的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
答案A
解析原式=sinθ+sinθcos+cosθsin+sinθcos+cosθsin
=sinθ-sinθ+cosθ-sinθ-cosθ=0.
3.已知cos(+α)=(-<α<),则sin(α+)=( )
A. B.
C. D.
答案A
解析∵cos(+α)=-sinα=,
∴sinα=-,∴-<α<0,∴cosα=,
∴sin(α+)=sinαcos+cosαsin=-.故选A.
4.已知tan(α+β)=,tan,则tan的值为( )
A. B. C. D.
答案A
解析因为α+=(α+β)-,
所以tan.
5.在△ABC中,若A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.- C. D.-
答案A
解析sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=(cosB+)
=.
6.已知cos(α-β)=,sin β=-,且α∈,β∈,则sin α等于( )
A. B.
C.- D.-
答案A
解析∵0<α<,-<β<0,∴0<α-β<π.
又cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=.
∵-<β<0,sinβ=-,∴cosβ=,
∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=.
7.求值:sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)= .
答案1
解析原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.
8.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sinβ-=,则cos= .
答案-
解析∵α,β∈,
∴α+β∈,β-.
又sin(α+β)=-,sin,
∴cos(α+β)=,
cos=-=-.
∴cos=cos
=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin
==-.
9.已知tan=2,则的值为 .
答案
解析∵tan=2,∴=2,解得tanα=.
∴.
10.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α的值.
解因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<,又cos(α-β)=,sin(α+β)=-,所以sin(α-β)=.
cos(α+β)=-=-=-.
所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)·cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
==-.
11.在直角坐标系中,角α,β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.
(1)求tan β的值;
(2)求的值.
解(1)因为在平面直角坐标系中,角α,β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为,
所以sinα=,cosα=,sinβ=,cosβ=-,
所以tanβ==-.
(2)由(1)知sinα=,cosα=,sinβ=,cosβ=-,
所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ==-=-,
所以.
能力提升
1.函数f(x)=sin-sin是( )
A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数
答案B
解析因为f(x)=sin-sin=sinxcos+cosxsin-sinxcos+cosxsincosx,
所以函数f(x)的最小正周期为=2π.
又f(x)的定义域为R,f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
2.已知A,B,C为△ABC的内角.若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案C
解析因为2cosBsinA=sinC,所以2cosBsinA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
所以cosBsinA-cosAsinB=0 sin(A-B)=0.
因为角A,B,C为△ABC的内角,所以A=B.
故选C.
3.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
答案A
解析
①2+②2,得9+16+24sin(A+B)=37.
∴sin(A+B)=.
∴在△ABC中,sinC=,∴C=或C=.
若C=,得到A+B=,则cosA>,
∴3cosA>>1.
∴3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾,
∴C≠,∴角C的大小为.
4.若tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两个根,则= .
答案-
解析由已知得,tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,
则=-.
5.已知8cos(2α+β)+5cos β=0,且cos(α+β)cos α≠0,则tan(α+β)tan α= .
答案
解析∵8cos(2α+β)+5cosβ=8[cos(α+β)cosα-sin(α+β)sinα]+5[cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα]=13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0,
∴3sin(α+β)sinα=13cos(α+β)cosα.
又cos(α+β)cosα≠0,∴tan(α+β)tanα=.
6.已知sin(2α-β)=,cos(α-2β)=<α<,-<β<0,则α+β= .
答案
解析因为<α<,-<β<0,
所以2α-β∈(),α-2β∈(,π).
又sin(2α-β)=,cos(α-2β)=,
所以cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-.
因为<α<,-<β<0,
所以α+β∈(0,),所以α+β=.
7.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)= .
答案1
解析∵tanβ=,
∴tanβ+tanαtanβ=1-tanα.
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ.
又α,β均为锐角,∴tanα>0,tanβ>0,
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ>0.
∴=1,即tan(α+β)=1.
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f,求cos(α+)的值.
解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,
所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2×+φ=kπ+,k∈Z,
得φ=kπ-,k∈Z.
又-≤φ<,所以φ=-.
(2)由(1)得fsin,
所以sin.
由<α<,得0<α-,所以cos.
因此cos=sinα=sin
=sincos+cossin
=.第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列计算正确的是( )
A.=1
B.1-2sin275°=
C.cos4-sin4
D.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=
2.已知sin(α+)=,则sin 2α的值为( )
A.- B. C.- D.
3.已知角α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α等于 ( )
A.- B. C.- D.
4.函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
5.已知角α为锐角,且满足cos 2α=sin α,则角α等于 ( )
A.30°或60° B.45°
C.60° D.30°
6.若2±是方程x2-5xsin θ+1=0的两个根,则cos 2θ等于 .
7.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°= .
8.若=2 023,则+tan 2α= .
9.已知角α是第一象限角,且cos α=,求的值.
10.化简下列各式:
(1);
(2).
能力提升
1.已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的正弦值是 ( )
A. B. C.- D.-
2.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.(多选题)已知函数f(x)=cos xsin(x+),则下列结论错误的是( )
A.f(x)既是奇函数又是周期函数
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的最大值为1
D.f(x)在区间上单调递减
4.已知tan=3,则= .
5.已知tan x=2,则tan的值为 .
6.函数f(x)=cos x-sin2x-cos 2x+的最大值是 .
7.化简:(π<α<2π).
8.在△ABC中,sin Acos A=sin Bcos B,且A≠B.
(1)求证:A+B=;
(2)求sin A+sin B的取值范围;
(3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列计算正确的是( )
A.=1
B.1-2sin275°=
C.cos4-sin4
D.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=
答案ACD
解析A中,=tan45°=1;
B中,1-2sin275°=cos150°=-;
C中,cos4-sin4(cos2-sin2)=cos;
D中,cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=1+.故ACD正确.
2.已知sin(α+)=,则sin 2α的值为( )
A.- B. C.- D.
答案C
解析因为cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=,所以cos(2α+)=-sin2α=,所以sin2α=-.故选C.
3.已知角α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α等于 ( )
A.- B. C.- D.
答案D
解析由角α是第三象限角,且cosα=-,得sinα=-,
所以sin2α=2sinαcosα=2×.故选D.
4.函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
答案B
解析∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+sin,
∴f(x)的最小正周期是π.
5.已知角α为锐角,且满足cos 2α=sin α,则角α等于 ( )
A.30°或60° B.45°
C.60° D.30°
答案D
解析因为cos2α=1-2sin2α,
所以由题意,知2sin2α+sinα-1=0,
即(sinα+1)(2sinα-1)=0.
又角α为锐角,所以sinα=,所以α=30°.故选D.
6.若2±是方程x2-5xsin θ+1=0的两个根,则cos 2θ等于 .
答案-
解析由题意得5sinθ=4,即sinθ=,
所以cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.
7.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°= .
答案
解析原式=sin6°cos48°cos24°cos12°
==.
8.若=2 023,则+tan 2α= .
答案2 023
解析+tan2α==2023.
9.已知角α是第一象限角,且cos α=,求的值.
解∵cosα=,且角α是第一象限角,
∴sinα=.
∴cos2α=cos2α-sin2α=-,
sin2α=2sinαcosα=,
∴原式=.
10.化简下列各式:
(1);
(2).
解(1)原式==tan2θ.
(2)原式=====1.
能力提升
1.已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的正弦值是 ( )
A. B. C.- D.-
答案A
解析设底角为θ,则θ∈,顶角为π-2θ.
∵sinθ=,∴cosθ=.
∴sin(π-2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×.
2.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案B
解析由题意可知f(x)=1-2sin2x+6sinx=,又sinx∈[-1,1],所以当sinx=1时,f(x)取得最大值,且最大值为5.
3.(多选题)已知函数f(x)=cos xsin(x+),则下列结论错误的是( )
A.f(x)既是奇函数又是周期函数
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的最大值为1
D.f(x)在区间上单调递减
答案ACD
解析f(x)=cosxsinsinxcosx+cos2x=sin2x+(1+cos2x)=sin(2x+)+,所以f(x)不是奇函数,f(x)的最大值不为1,f(x)在区间上不是单调函数,所以选项A,C,D中结论错误;令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z,当k=0时,x=,故f(x)的图象关于直线x=对称.故选ACD.
4.已知tan=3,则= .
答案3
解析原式===tan=3.
5.已知tan x=2,则tan的值为 .
答案
解析tan=tan=-=-.
6.函数f(x)=cos x-sin2x-cos 2x+的最大值是 .
答案2
解析由题意可知,f(x)=cosx-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+2.
当cosx=时,f(x)取得最大值,且最大值为2.
7.化简:(π<α<2π).
解原式====.
因为π<α<2π,所以<π,
所以cos<0,所以原式=cosα.
8.在△ABC中,sin Acos A=sin Bcos B,且A≠B.
(1)求证:A+B=;
(2)求sin A+sin B的取值范围;
(3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围.
(1)证明因为sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,
化简可得A=B或A+B=,
因为A≠B,所以A+B=.
(2)解由(1)可知A+B=,故sinA+sinB=sinA+sin=sinA+cosA=sin,
因为0所以1故sinA+sinB的取值范围是(1,].
(3)解由题意可知x=,
设sinA+cosA=t∈(1,],
则t2=1+2sinAcosA,
故sinAcosA=,
于是x==2.
故实数x的取值范围为[2,+∞).5.5.2 简单的三角恒等变换
课后·训练提升
基础巩固
1.已知cos α=,α∈,则sin等于( )
A. B.- C. D.
2.已知180°<α<360°,则cos的值等于( )
A.- B.
C.- D.
3.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有( )
A.cC.a4.若α∈,tan 2α=,则tan α=( )
A. B. C. D.
5.已知定义在区间[a,b](b>a)上的函数f(x)=sin x-cos x的值域是,则b-a的最大值与最小值之和为( )
A. B.π C. D.2π
6.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
7.化简的结果是 .
8.已知25sin2x+sin x-24=0,x是第二象限角,则cos的值为 .
9.函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .
10.求证:tan-tan.
11.已知0<α<,sin α=.
(1)求tan α的值;
(2)求cos的值;
(3)若0<β<,且cos(α+β)=-,求sin β的值.
能力提升
1.若tan θ=-2,则=( )
A.- B.- C. D.
2.已知sin θ=,cos θ=<θ<π,则tan等于( )
A.- B.5
C.-5或 D.-或5
3.函数f(x)=cos2x的单调递减区间为( )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
4.已知α∈(0,),sin 2α=,则sin(α+)= .
5.已知sin+sin α=-,-<α<0,则cos α= .
6.sin220°+sin 80°sin 40°的值为 .
7.已知函数f(x)=sincos-sin2+1.求:
(1)函数f(x)图象的对称轴;
(2)函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值和最小值以及相应的x的值.
8.已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)使函数f(x)取得最大值的x的集合.
5.5.2 简单的三角恒等变换
课后·训练提升
基础巩固
1.已知cos α=,α∈,则sin等于( )
A. B.- C. D.
答案A
解析∵α∈,∴,
∴sin.
2.已知180°<α<360°,则cos的值等于( )
A.- B.
C.- D.
答案C
3.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有( )
A.cC.a答案C
解析a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°,b=2sin13°cos13°=sin26°,c=sin25°,
∵当0°∴a4.若α∈,tan 2α=,则tan α=( )
A. B. C. D.
答案A
解析由题意,因为α∈,所以cosα>0,所以,解得sinα=,则cosα=,所以tanα=.
5.已知定义在区间[a,b](b>a)上的函数f(x)=sin x-cos x的值域是,则b-a的最大值与最小值之和为( )
A. B.π C. D.2π
答案D
解析f(x)=sinx-cosx=sin,因为x∈[a,b](b>a),所以x-,根据题意,不妨令a-=-,则b-,所以b-a的最大值M=,最小值m=,所以M+m=2π.
6.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
答案B
解析sinAsinB=(1+cosC),即2sinAsinB=1+cosC,∴2sinAsinB=1-cosAcosB+sinAsinB,
故cos(A-B)=1,又A-B∈(-π,π),
∴A-B=0,即A=B,则△ABC是等腰三角形.
7.化简的结果是 .
答案sin 1+cos 1
解析=|sin1+cos1|,
因为1∈,所以sin1>0,cos1>0,
所以=sin1+cos1.
8.已知25sin2x+sin x-24=0,x是第二象限角,则cos的值为 .
答案或-
解析由题意,知(25sinx-24)(sinx+1)=0,又因为x是第二象限角,
所以sinx=,cosx=-是第一或第三象限角,故cos=±=±.
9.函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .
答案
解析f(x)=2cosx+sinx=cosx+sinx),
设sinα=,cosα=,则f(x)=sin(x+α),
故函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.
10.求证:tan-tan.
证明∵左边=tan-tan
=右边,
∴原等式成立.
11.已知0<α<,sin α=.
(1)求tan α的值;
(2)求cos的值;
(3)若0<β<,且cos(α+β)=-,求sin β的值.
解(1)∵0<α<,sinα=,
∴cosα=,∴tanα=.
(2)∵sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=-,∴cos
(cos2α-sin2α)==-.
(3)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
∵cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=,
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=.
能力提升
1.若tan θ=-2,则=( )
A.- B.- C. D.
答案C
解析=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=.故选C.
2.已知sin θ=,cos θ=<θ<π,则tan等于( )
A.- B.5
C.-5或 D.-或5
答案B
解析由sin2θ+cos2θ=1,得=1,解得m=0或m=8,当m=0时,sinθ<0,与<θ<π矛盾.∴舍去m=0.∴m=8,sinθ=,cosθ=-,
∴tan=5.
3.函数f(x)=cos2x的单调递减区间为( )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
答案B
解析f(x)=cos2x=cos2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)=cos2x的单调递减区间为[kπ,kπ+](k∈Z).
4.已知α∈(0,),sin 2α=,则sin(α+)= .
答案
解析因为1-2sin2=cos=-sin2α=-,所以sin2.
因为α∈,所以α+.
所以sin.
5.已知sin+sin α=-,-<α<0,则cos α= .
答案
解析由已知得sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=sin=-,
∴sin=-.
又-<α<0,∴-<α+,
∴cos,
∴cosα=cos.
6.sin220°+sin 80°sin 40°的值为 .
答案
解析原式=sin220°+sin(60°+20°)sin(60°-20°)
=sin220°+(sin60°cos20°+cos60°sin20°)·(sin60°cos20°-cos60°sin20°)
=sin220°+sin260°cos220°-cos260°sin220°
=sin220°+cos220°-sin220°
=sin220°+cos220°=.
7.已知函数f(x)=sincos-sin2+1.求:
(1)函数f(x)图象的对称轴;
(2)函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值和最小值以及相应的x的值.
解(1)由题意,函数f(x)=sincos-sin2+1=sinx-+1=sin,令x+=kπ+(k∈Z),整理得x=kπ+(k∈Z),所以函数图象的对称轴为直线x=kπ+(k∈Z).
(2)由(1)得f(x)=sin,因为x∈[-π,0],所以-≤x+,则-1≤sin,所以-≤f(x)≤1,当x=-时,函数f(x)取得最小值,最小值为-;当x=0时,函数f(x)取得最大值,最大值为1.
8.已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解(1)∵f(x)=sin+2sin2(x-)
=sin+1-cos
=2+1
=2sin+1
=2sin+1,
∴f(x)的最小正周期T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,则有2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),故所求x的集合为.