新人教A版必修第一册高中数学第5章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ 课后训练（含解析）

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)
课后·训练提升
基础巩固
1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
2.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为(　　)
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
3.函数y=sin(ωx+φ)(|φ|<)的图象的一部分如图所示,那么(　　)
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
4.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)
5.把函数f(x)=sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
6.若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再向上平移1个单位长度得到函数y=2sin(4x-)的图象,则f(x)=　　　　　　　　.
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=　　　　　.
8.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数为　　　　　.
9.若函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,则φ的最小值为　　　　　.
10.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,求它的解析式.
能力提升
1.给出几种变换:①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;②横坐标缩小到原来的,纵坐标不变;③向左平移个单位长度;④向右平移个单位长度;⑤向左平移个单位长度;⑥向右平移个单位长度.则由函数y=sin x的图象得到y=sin的图象,可以实施的方案是(　　)
A.①→③ B.②→③
C.②→④ D.②→⑤
2.(多选题)已知函数f(x)=3sin(2x-)+1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法错误的是(　　)
A.最大值为3 B.最小正周期为2π
C.为奇函数 D.图象关于y轴对称
3.已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(x)在区间(π,2π]内没有零点,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,)∪[)
C.(0,)∪[] D.(0,)
4.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
5.关于函数y=f(x)=4sin(x∈R),有下列说法:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的解析式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
其中正确的是　　　　　(填序号).
6.已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象
7.已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)图象的对称中心的坐标.
5.6　函数y=Asin(ωx+φ)
课后·训练提升
基础巩固
1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案A
解析令4x-,得x=,故该点坐标为.
2.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为(　　)
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
答案D
解析函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-)]=sin,故选D.
3.函数y=sin(ωx+φ)(|φ|<)的图象的一部分如图所示,那么(　　)
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
答案A
解析∵点(0,)在函数图象上,∴sinφ=.
又|φ|<,∴φ=,∴y=sin(ωx+).
又点(π,0)在函数y=sin(ωx+)的图象上,且该点是“五点”中的第五个点,
∴sin(πω+)=0,∴πω+=2π,∴ω=.
4.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)
答案A
解析由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数解析式为y=cosx+1;再向左平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=cos(x+1)+1;最后向下平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=cos(x+1),显然点在此函数图象上,且函数周期为2π.故选A.
5.把函数f(x)=sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案D
解析由题意,得g(x)=sin=sin(2x+2φ-).
∵g(x)的图象关于y轴对称,
∴2φ-=kπ+(k∈Z),∴φ=(k∈Z).
又0<φ<π,当k=0时,φ=;
当k=1时,φ=,均符合.故选D.
6.若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再向上平移1个单位长度得到函数y=2sin(4x-)的图象,则f(x)=　　　　　　　　.
答案2sin-1
解析将y=2sin的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin[4(x+)-]=2sin(4x+)的图象,再向下平移1个单位长度,得到函数y=2sin-1的图象,即f(x)=2sin-1.
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=　　　　　.
答案
解析由题中图象可得函数f(x)的最小正周期为,又ω>0,∴,ω=.
8.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数为　　　　　.
答案7
解析作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π]上的图象,如图所示.由图可知,二者有7个交点.
9.若函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,则φ的最小值为　　　　　.
答案
解析图象平移后对应函数的解析式为y=sin(2x-2φ).
∵图象关于直线x=对称,
∴2×-2φ=kπ+(k∈Z),
∴φ=-(k∈Z).
又φ>0,∴当k=-1时,φ取得最小值为.
10.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,求它的解析式.
解设函数的最小正周期为T,由题中图象可知A=2,,∴T=,ω=.
将点N的坐标代入y=2sin(x+φ)中,得2sin=-2,
∴+φ=2kπ-(k∈Z),φ=2kπ-(k∈Z).
∵|φ|<π,∴φ=-.
∴所求函数的解析式为y=2sin.
能力提升
1.给出几种变换:①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;②横坐标缩小到原来的,纵坐标不变;③向左平移个单位长度;④向右平移个单位长度;⑤向左平移个单位长度;⑥向右平移个单位长度.则由函数y=sin x的图象得到y=sin的图象,可以实施的方案是(　　)
A.①→③ B.②→③
C.②→④ D.②→⑤
答案D
解析y=sinx的图象y=sin2x的图象y=sin的图象.经检验选项A,B,C均不符合.
2.(多选题)已知函数f(x)=3sin(2x-)+1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法错误的是(　　)
A.最大值为3 B.最小正周期为2π
C.为奇函数 D.图象关于y轴对称
答案ABC
解析将函数f(x)=3sin+1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则g(x)=3sin+1=3sin+1=1-3cos2x,且定义域为R,可得g(x)的最大值为4,故A中说法错误;
g(x)的最小正周期T=π,故B中说法错误;
g(-x)=1-3cos(-2x)=1-3cos2x=g(x),为偶函数,故C中说法错误,D中说法正确.故选ABC.
3.已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(x)在区间(π,2π]内没有零点,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,)∪[)
C.(0,)∪[] D.(0,)
答案B
解析因为π0,
所以ωπ-<ωx-≤2ωπ-.
因为f(x)在区间(π,2π]内没有零点,
所以
所以k+≤ω<,k∈Z,
所以
所以-所以k=-1或k=0.
当k=-1时,0<ω<;
当k=0时,≤ω<.故选B.
4.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案B
解析逆向考虑:y=sin的图象y=sin的图象y=sin的图象.
5.关于函数y=f(x)=4sin(x∈R),有下列说法:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的解析式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
其中正确的是　　　　　(填序号).
答案②③
解析对于①,由于函数f(x)的最小正周期T==π,则|x1-x2|的最小值是,故①中说法不正确;
对于②,由于y=4cos=4cos[(2x+)-]=4sin,故②中说法正确;
令2x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),故当k=0时,对称中心为,所以③中说法正确;
令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),不论k取何整数,对称轴方程都不为x=-,所以④中说法不正确.
6.已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象
解(1)列表:
x- 0 π 2π
x
3sin 0 3 0 -3 0
描点并用光滑的曲线连接起来,得到一个周期的简图.
(2)先把y=sinx的图象向右平移个单位长度,然后把所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)的图象.
7.已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)图象的对称中心的坐标.
解(1)f(x)=sin+cosωx=sinωx-cosωx+cosωx=sinωx+cosωx=sin(ωx+)(ω>0).
∵函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为,
∴最小正周期T=×2=π,ω=2,
∴f(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为.
(2)∵将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,
∴y=g(x)=sin=cos2x.
令2x=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,
∴函数y=g(x)图象的对称中心的坐标为(,0)(k∈Z).