2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.3 线段的垂直平分线 课时1
一、填空题
1．线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离相等.理解这条性质要注意两点:①点一定在 上; ②距离指的是点到线段的两个 的距离.
2．与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上;用此判定可证线段的 关系和 关系
二、选择题
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=AD B．CA平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是（ ）
A．AM>CM B．AM=CM C．AM7．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）
A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm
8．（2016八上·兖州期中）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
9．（2016八上·安陆期中）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
10．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC=BD+AD，则点D在线段（ ）的垂直平分线上.
A．AB B．AC C．BC D．不确定
11．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，给出下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；
③∠1=∠2；④AB+BD=DE，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题
12．如图,已知AB-AC=2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长为14 cm,求AB,AC的长
13．如图,AB=AD,BC=DC,点E是AC上的一点.求证:
（1）BE=DE;
（2）∠ABE=∠ADE.
14．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
（1）求证:CF=AD.
（2）若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上 为什么
答案解析部分
1．【答案】两个端点；线段的垂直平分线；端点
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解 ：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.理解这条性质要注意两点:①点一定在线段的垂直平分线上; ②距离指的是点到线段的两个端点的距离 。
故答案为 ：两个端点 ； 线段的垂直平分线 ；端点 。
【分析】此题是一道记忆理解题，既要记住线段垂直平分线的性质定理得内容，还有对性质进行正确的理解，使用过程中要注意①点一定在线段的垂直平分线上; ②距离指的是点到线段的两个端点的距离 ，同时满足。
2．【答案】垂直平分线；垂直；相等
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解 ：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;用此判定可证线段的垂直关系和相等关系。
故答案为 ：垂直平分线 ；垂直 ；相等 。
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理及垂线的定义，即可得出结论。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵P在线段AB的垂直平分线CD上，
∴PB=PA=5 。
故应选 ：5 。
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的端点距离相等得出PB=PA=5 。
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，EB=DE
∴AC平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
BE=ED
BC=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故应选：C 。
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AD，BC=CD，EB=DE ；根据等腰三角形的三线合一得出∠BCE=∠DCE ，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△DCE ；从而得出答案。
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故应选：C
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据三角形的周长计算方法、等量代换及线段的和差得出 ：△BDC的周长=DB+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC，从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BM，
∵线段AB、BC的中垂线l1，l2交于点M，
∴AM=BM，BM=CM，
∴AM=CM。
故应选：C 。
【分析】连接BM，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得出AM=BM，BM=CM，根据等式的传递性得出AM=CM，
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB 垂直平分 CD ，
∴AC = AD ，BC = BD ，
∴四边形 ACBD 的周长是 AC+BC+BD+AD = 2(AC+BC) = 2(1.6+2.3) = 2×3.9 = 7.8 cm 。
故应选 ： B .
【分析】根据垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出AC = AD ，BC = BD ，根据四边形的周长计算方法及等量代换得出四边形 ACBD 的周长是 AC+BC+BD+AD = 2(AC+BC) ，从而得出答案。
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，
∴AD=DC，
∴D在AC的垂直平分线上，
故应选：B
【分析】根据已知得出BC=BD+AD，BC=BD+CD，根据等式的性质从而得出AD=DC，到A，C线段点距离相等的点在以AC为端点的线段的垂直平分线上，从而得出结论。
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，①符合题意；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE，
∴无法证明CF⊥AE，②不符合题意；
③无法证明∠1=∠2，③不符合题意；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，④符合题意．
故其中正确的结论有①④．
故应选 ：B 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得性质可以得出AD⊥BC ，①符合题意；F在AE上，不一定是AE的中点，故即使AC=CE，是不能使用三角形的三线合一的性质得；②不符合题意；③无法证明∠1=∠2，③不符合题意；根据中点的定义及等式的性质得出AB+BD=CE+DC=DE ，④符合题意．
12．【答案】解:∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∵AC+AD+DC=14 cm,∴AC+AD+BD=14 cm,即AC+AB=14 cm ①.又AB-AC=2 cm, ②解①和②组成的方程组得AB=8, AC=6.∴AB的长为8 cm,AC的长为6 cm
【知识点】解二元一次方程组；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出DB=DC，根据三角形的周长计算及等量代换得出AC+AD+BD=14 cm,即AC+AB=14 cm① ， 又因.AB-AC=2 cm ②,解①和②组成的方程组得出答案。
13．【答案】（1）证明：连接BD,如图所示.∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上.
∵BC=DC,∴点C在线段BD的垂直平分线上.∵两点确定一条直线,∴AC是线段BD的垂直平分线.又∵点E在AC上,∴BE=DE 。
（2）证明：在△ABE和△ADE中 ,
∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上得出 ：点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上；再根据过两点有且只有一条直线得出AC是线段BD的垂直平分线；根据中垂线的性质定理得出BE=DE ；
（2）根据三边对应相等的三角形全等得出△ABE≌△ADE ，再根据全等三角形对应角相等得出∠ABE=∠ADE 。
14．【答案】（1）证明:证明:∵AD∥BC,∴∠ECF=∠ADE.∵E为CD的中点,∴CE=DE ，在△FEC与△AED中,
∴△FEC≌△AED(ASA).
∴CF=AD.
（2）解:当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.理由如下:∵BC=6,AD=2,AB=8,∴AB=BC+AD.
又∵CF=AD,BC+CF=BF,∴AB=BF.
∴点B在AF的垂直平分线上 。
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据二直线平行内错角相等得出∠ECF=∠ADE，根据中点的定义得出CE=DE ，然后根据ASA判断出△FEC≌△AED ，根据全等三角形对应边相等得出CF=AD；
（2）当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.当BC=6,AD=2,AB=8,时 ，根据线段的长度得出AB=BC+AD，根据线段的和差及等量代换得出AB=BF，然后根据到线段两端点距离相等得点在线段的垂直平分线上得出结论。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.3 线段的垂直平分线 课时1
一、填空题
1．线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离相等.理解这条性质要注意两点:①点一定在 上; ②距离指的是点到线段的两个 的距离.
【答案】两个端点；线段的垂直平分线；端点
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解 ：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.理解这条性质要注意两点:①点一定在线段的垂直平分线上; ②距离指的是点到线段的两个端点的距离 。
故答案为 ：两个端点 ； 线段的垂直平分线 ；端点 。
【分析】此题是一道记忆理解题，既要记住线段垂直平分线的性质定理得内容，还有对性质进行正确的理解，使用过程中要注意①点一定在线段的垂直平分线上; ②距离指的是点到线段的两个端点的距离 ，同时满足。
2．与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上;用此判定可证线段的 关系和 关系
【答案】垂直平分线；垂直；相等
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解 ：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;用此判定可证线段的垂直关系和相等关系。
故答案为 ：垂直平分线 ；垂直 ；相等 。
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理及垂线的定义，即可得出结论。
二、选择题
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵P在线段AB的垂直平分线CD上，
∴PB=PA=5 。
故应选 ：5 。
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的端点距离相等得出PB=PA=5 。
4．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=AD B．CA平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，EB=DE
∴AC平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
BE=ED
BC=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故应选：C 。
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AD，BC=CD，EB=DE ；根据等腰三角形的三线合一得出∠BCE=∠DCE ，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△DCE ；从而得出答案。
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故应选：C
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据三角形的周长计算方法、等量代换及线段的和差得出 ：△BDC的周长=DB+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC，从而得出答案。
6．如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是（ ）
A．AM>CM B．AM=CM C．AM【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BM，
∵线段AB、BC的中垂线l1，l2交于点M，
∴AM=BM，BM=CM，
∴AM=CM。
故应选：C 。
【分析】连接BM，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得出AM=BM，BM=CM，根据等式的传递性得出AM=CM，
7．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）
A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB 垂直平分 CD ，
∴AC = AD ，BC = BD ，
∴四边形 ACBD 的周长是 AC+BC+BD+AD = 2(AC+BC) = 2(1.6+2.3) = 2×3.9 = 7.8 cm 。
故应选 ： B .
【分析】根据垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出AC = AD ，BC = BD ，根据四边形的周长计算方法及等量代换得出四边形 ACBD 的周长是 AC+BC+BD+AD = 2(AC+BC) ，从而得出答案。
8．（2016八上·兖州期中）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
9．（2016八上·安陆期中）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
10．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC=BD+AD，则点D在线段（ ）的垂直平分线上.
A．AB B．AC C．BC D．不确定
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，
∴AD=DC，
∴D在AC的垂直平分线上，
故应选：B
【分析】根据已知得出BC=BD+AD，BC=BD+CD，根据等式的性质从而得出AD=DC，到A，C线段点距离相等的点在以AC为端点的线段的垂直平分线上，从而得出结论。
11．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，给出下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；
③∠1=∠2；④AB+BD=DE，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，①符合题意；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE，
∴无法证明CF⊥AE，②不符合题意；
③无法证明∠1=∠2，③不符合题意；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，④符合题意．
故其中正确的结论有①④．
故应选 ：B 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得性质可以得出AD⊥BC ，①符合题意；F在AE上，不一定是AE的中点，故即使AC=CE，是不能使用三角形的三线合一的性质得；②不符合题意；③无法证明∠1=∠2，③不符合题意；根据中点的定义及等式的性质得出AB+BD=CE+DC=DE ，④符合题意．
三、解答题
12．如图,已知AB-AC=2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长为14 cm,求AB,AC的长
【答案】解:∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∵AC+AD+DC=14 cm,∴AC+AD+BD=14 cm,即AC+AB=14 cm ①.又AB-AC=2 cm, ②解①和②组成的方程组得AB=8, AC=6.∴AB的长为8 cm,AC的长为6 cm
【知识点】解二元一次方程组；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出DB=DC，根据三角形的周长计算及等量代换得出AC+AD+BD=14 cm,即AC+AB=14 cm① ， 又因.AB-AC=2 cm ②,解①和②组成的方程组得出答案。
13．如图,AB=AD,BC=DC,点E是AC上的一点.求证:
（1）BE=DE;
（2）∠ABE=∠ADE.
【答案】（1）证明：连接BD,如图所示.∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上.
∵BC=DC,∴点C在线段BD的垂直平分线上.∵两点确定一条直线,∴AC是线段BD的垂直平分线.又∵点E在AC上,∴BE=DE 。
（2）证明：在△ABE和△ADE中 ,
∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上得出 ：点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上；再根据过两点有且只有一条直线得出AC是线段BD的垂直平分线；根据中垂线的性质定理得出BE=DE ；
（2）根据三边对应相等的三角形全等得出△ABE≌△ADE ，再根据全等三角形对应角相等得出∠ABE=∠ADE 。
14．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
（1）求证:CF=AD.
（2）若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上 为什么
【答案】（1）证明:证明:∵AD∥BC,∴∠ECF=∠ADE.∵E为CD的中点,∴CE=DE ，在△FEC与△AED中,
∴△FEC≌△AED(ASA).
∴CF=AD.
（2）解:当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.理由如下:∵BC=6,AD=2,AB=8,∴AB=BC+AD.
又∵CF=AD,BC+CF=BF,∴AB=BF.
∴点B在AF的垂直平分线上 。
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据二直线平行内错角相等得出∠ECF=∠ADE，根据中点的定义得出CE=DE ，然后根据ASA判断出△FEC≌△AED ，根据全等三角形对应边相等得出CF=AD；
（2）当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.当BC=6,AD=2,AB=8,时 ，根据线段的长度得出AB=BC+AD，根据线段的和差及等量代换得出AB=BF，然后根据到线段两端点距离相等得点在线段的垂直平分线上得出结论。
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