沪科版八年级数学上册 13.1三角形中的边角关系 同步练习（二）
一、选择题
1．ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
2．如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
3．△ABC中，BF、CF是角平分线，∠A=70°，则∠BFC=（ ）
A．125° B．110° C．100° D．150°
4．（2018·广东）如图，AB∥CD，且∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2018八上·青山期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（2016八上·柘城期中）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
7．（2018·莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
二、填空题
8．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ．
9．（2018·滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
10．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，若∠A=60°，则∠BIC= ．
11．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，则∠BFD= °．
12．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC= 度．
13．（2018·巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．
三、解答题
14．（2016八上·兖州期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
15．如图，已知∠A=∠1，∠C=∠F，请问BC与EF平行吗？请说明理由．
16．在△ABC中，∠B=∠C，且∠A与∠B的比例为1：a，用代数式表示A，B，C的度数．
17．在△ABC中，BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，求证：∠COB= ∠CAB+90°．
18．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
19．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5
设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠ACB=5x°
3x+4x+5x=180，
解得x=15，
所以∠C=75°.
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的三个内角的比设未知数可得∠A=3x°，则∠B=4x°，∠ACB=5x°，利用三角形的内角和可得关于x的方程，解方程即可求角的度数.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三个内角的和等于180°，代入已知的两个角计算即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∵BF、CF是△ABC的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BFC=180°﹣55°=125°．
故选：A．
【分析】根据三角形的内角和定理和∠A的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可．
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DEC=100°，∠C=40°，
∴∠D=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠D=40°，
故答案为：B．
【分析】首先根据三角形的内角和得出∠D的度数，再根据二直线平行，内错角相等得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°．
故答案为：B．
【分析】BE平分∠ABC，可得∠ABC＝2∠ABE；直角三角形两锐角互余所以∠BAD=90°-∠ABC；根据∠DAC＝∠BAC ∠BAD解答即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，
∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，
∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，
∴∠1+∠2=150°﹣∠3，
∵∠3=50°，
∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．
故选：B．
【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故答案为：B．
【分析】如图，过点E作EG∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥GE，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，故∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；又∠BED=61°，故∠ABE+∠CDE=299°，根据角平分线的定义得出∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，再由四边形的内角和即可算出答案。
8．【答案】15°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，
故答案为：15°
【分析】根据图形确定60°的外角等于∠α+45°，然后计算即可.
9．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【分析】根据三角形的内角和即可得出答案。
10．【答案】120°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=120°．
故答案为：120°.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出两个内角的和的度数，然后根据三角形的角的平分线定义可得∠IBC+∠ICB的和，然后根据三角形的内角和求∠BIC即可.
11．【答案】65
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD是高线，
∴∠ADB=90°
∵∠BAD=40°，
∴∠ABC=50°，
∵BE是角平分线，
∴∠FBD=25°，
在△FBD中，∠FBD=180°﹣90°﹣25°=65°．
故答案为：65.
【分析】先根据高线定义可得∠ADB的度数，利用∠BAD的度数可得∠ABC的度数，然后根据角平分线定义可得∠FBD的度数，最后在△FBD中根据三角形的内角和可得∠BFD的度数.
12．【答案】18
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x．
根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A=180°，
即2x+2x+x=180°，
所以x=36°，∠C=2x=72°．
在直角三角形BDC中，∠DBC=90°﹣∠C=90°﹣72°=18°．
故答案为：18．
【分析】先根据已知角的关系设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，利用三角形的内角和可得x的值，在△BDC中根据直角三角形的两个锐角互余可得结果.
13．【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+ ∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理求出∠BOC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），再在△ABC中利用三角形内角和定理，可得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，代入可得出∠BOC=90°+ ∠A，将∠BOC=110°，代入求出∠A的度数。
14．【答案】解：∵∠A=70°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB= ×60°=30°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，求出∠ACB的度数后易求解．
15．【答案】解：BC∥EF．
∵△ACB和△DFE中，∠A=∠1，∠C=∠F，
∴∠B=∠E．
∴BC∥EF．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B=∠E，然后根据平行线的判定可得BC与EF的关系.
16．【答案】解：∵∠B=∠C，∠A与∠B的比例为1：a，
∴∠C=∠B=a×∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+a×∠A+a×∠A=180°，
解得：∠A= ，
∴∠B=∠C=a×∠A= ．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据∠A与∠B的比例关系可得∠C、∠B与a的关系，然后根据三角形的内角和定理可得代数式.
17．【答案】证明：∵BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，
∴∠ABO=∠CBO= ∠ABC，∠BCO=∠ACO= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ，
∴在△BOC中，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ = ∠CAB+90°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据角平分线定义得出角之间的关系，然后根据三角形的内角和定理即可证明结论.
18．【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
19．【答案】（1）解：不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D.
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD
∴∠B=∠BED
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D。
（2）解：结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
（3）解：连接EG并延长，
根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，
又∵∠AGB=∠CGF，
在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得出角相等，然后根据三角形的外角的性质即可推导；
（2）根据三角形的外角性质即可得出结论；
（3）先添加辅助线，利用四边形的内角和与三角形的外角性质可得度数.
1 / 1沪科版八年级数学上册 13.1三角形中的边角关系 同步练习（二）
一、选择题
1．ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5
设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠ACB=5x°
3x+4x+5x=180，
解得x=15，
所以∠C=75°.
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的三个内角的比设未知数可得∠A=3x°，则∠B=4x°，∠ACB=5x°，利用三角形的内角和可得关于x的方程，解方程即可求角的度数.
2．如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三个内角的和等于180°，代入已知的两个角计算即可.
3．△ABC中，BF、CF是角平分线，∠A=70°，则∠BFC=（ ）
A．125° B．110° C．100° D．150°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∵BF、CF是△ABC的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BFC=180°﹣55°=125°．
故选：A．
【分析】根据三角形的内角和定理和∠A的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可．
4．（2018·广东）如图，AB∥CD，且∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DEC=100°，∠C=40°，
∴∠D=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠D=40°，
故答案为：B．
【分析】首先根据三角形的内角和得出∠D的度数，再根据二直线平行，内错角相等得出答案。
5．（2018八上·青山期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°．
故答案为：B．
【分析】BE平分∠ABC，可得∠ABC＝2∠ABE；直角三角形两锐角互余所以∠BAD=90°-∠ABC；根据∠DAC＝∠BAC ∠BAD解答即可．
6．（2016八上·柘城期中）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，
∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，
∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，
∴∠1+∠2=150°﹣∠3，
∵∠3=50°，
∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．
故选：B．
【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
7．（2018·莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故答案为：B．
【分析】如图，过点E作EG∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥GE，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，故∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；又∠BED=61°，故∠ABE+∠CDE=299°，根据角平分线的定义得出∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，再由四边形的内角和即可算出答案。
二、填空题
8．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，
故答案为：15°
【分析】根据图形确定60°的外角等于∠α+45°，然后计算即可.
9．（2018·滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【分析】根据三角形的内角和即可得出答案。
10．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，若∠A=60°，则∠BIC= ．
【答案】120°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=120°．
故答案为：120°.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出两个内角的和的度数，然后根据三角形的角的平分线定义可得∠IBC+∠ICB的和，然后根据三角形的内角和求∠BIC即可.
11．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，则∠BFD= °．
【答案】65
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD是高线，
∴∠ADB=90°
∵∠BAD=40°，
∴∠ABC=50°，
∵BE是角平分线，
∴∠FBD=25°，
在△FBD中，∠FBD=180°﹣90°﹣25°=65°．
故答案为：65.
【分析】先根据高线定义可得∠ADB的度数，利用∠BAD的度数可得∠ABC的度数，然后根据角平分线定义可得∠FBD的度数，最后在△FBD中根据三角形的内角和可得∠BFD的度数.
12．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC= 度．
【答案】18
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x．
根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A=180°，
即2x+2x+x=180°，
所以x=36°，∠C=2x=72°．
在直角三角形BDC中，∠DBC=90°﹣∠C=90°﹣72°=18°．
故答案为：18．
【分析】先根据已知角的关系设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，利用三角形的内角和可得x的值，在△BDC中根据直角三角形的两个锐角互余可得结果.
13．（2018·巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．
【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+ ∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理求出∠BOC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），再在△ABC中利用三角形内角和定理，可得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，代入可得出∠BOC=90°+ ∠A，将∠BOC=110°，代入求出∠A的度数。
三、解答题
14．（2016八上·兖州期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
【答案】解：∵∠A=70°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB= ×60°=30°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，求出∠ACB的度数后易求解．
15．如图，已知∠A=∠1，∠C=∠F，请问BC与EF平行吗？请说明理由．
【答案】解：BC∥EF．
∵△ACB和△DFE中，∠A=∠1，∠C=∠F，
∴∠B=∠E．
∴BC∥EF．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B=∠E，然后根据平行线的判定可得BC与EF的关系.
16．在△ABC中，∠B=∠C，且∠A与∠B的比例为1：a，用代数式表示A，B，C的度数．
【答案】解：∵∠B=∠C，∠A与∠B的比例为1：a，
∴∠C=∠B=a×∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+a×∠A+a×∠A=180°，
解得：∠A= ，
∴∠B=∠C=a×∠A= ．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据∠A与∠B的比例关系可得∠C、∠B与a的关系，然后根据三角形的内角和定理可得代数式.
17．在△ABC中，BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，求证：∠COB= ∠CAB+90°．
【答案】证明：∵BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，
∴∠ABO=∠CBO= ∠ABC，∠BCO=∠ACO= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ，
∴在△BOC中，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ = ∠CAB+90°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据角平分线定义得出角之间的关系，然后根据三角形的内角和定理即可证明结论.
18．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
19．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【答案】（1）解：不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D.
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD
∴∠B=∠BED
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D。
（2）解：结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
（3）解：连接EG并延长，
根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，
又∵∠AGB=∠CGF，
在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得出角相等，然后根据三角形的外角的性质即可推导；
（2）根据三角形的外角性质即可得出结论；
（3）先添加辅助线，利用四边形的内角和与三角形的外角性质可得度数.
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