安徽省安庆市桐城县中2023-2024学年高一上学期10月第一次教学质量检测数学试卷（含答案）

桐城县中2023-2024学年高一上学期10月第一次教学质量检测
数学
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.若集合,则( )
A. B. C. D.
2.若集合,则集合中的元素个数为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
3.设命题,则命题的否定是( )
A. B.
C. D.
4.设集合,且,则( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
5.设正实数满足0,则当取得最大值时,的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
6.设,,不都是,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.设命题；命题,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设是整数集的一个非空子集,对于,如果,且,那么是的一个“孤立元”,给定,由的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有( )个。
A.0 B.2 C.4 D.6
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.设全集为,在下列条件中,是的充要条件的有( )
A. B. C. D.
10.下列命题中,是假命题的是( )
A.
B.,使得
C.若,则“”是“”的充要条件
D.若,则
11.对任意有,则( )
A. B. C. D.
12.在中,三边长分别为,且,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.用列举法表示集合:且=_____________.
14.“生命在于运动”,某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目一一兵乓球、羽毛球、篮球中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为_____________.
15.已知,且,则的最小值为_____________.
16.已知正数满足,则的最小值为_____________,最大值为_____________.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）已知集合,集合。
(1)当时,求；
(2)若,求实数的取值范围；
(3)若,求实数的取值范围。
18.（12分）已知命题,不等式成立”是真命题。
(1)求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围。
19.（12分）(1)已知,且,求的最小值；
(2)若,求的最小值。
20.（12分）如图,将宽和长分别为和的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形的面积为。(注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两个矩形的长边所在的直线互相垂直的图形)
(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时,该正十字形的外接圆的面积最小 并求出其最小值。
21.（12分）设是正整数集的非空子集,称集合,且为集合的生成集。
(1)当时,写出集合的生成集；
(2)若是由5个正整数构成的集合,求其生成集中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正整数构成的集合,使其生成集,并说明理由。
22.（12分）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利3.5万元。为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗。为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元。据评估,当待岗员工人数不超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元。为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】C
【解析】由题意知,所以.故选 C.
2.【答案】D
【解析】通过列举,可知的数对共有9对,即,.
因为,而(2,满足,所以集合中的元素个数为3.故选 D.
3.【答案】C
4.【答案】B
【解析】集合,,
因为,所以,所以.故选 B.
5.【答案】B
【解析】由,得.
所以,当且仅当,即时取等号,此时,.故选 B.
6.【答案】A
【解析】且.因为,所以是的必要不充分条件,故是的充分不必要条件,故选 A.
7.【答案】A
【解析】设.
解,得,故;
解,得,故.
所以所对应的集合为或,所对应的集合为或.
由是的必要不充分条件,知,
所以或解得.故实数的取值范围是.
8.【答案】D
【解析】若不是孤立元,.设另一元素为,假设,此时,不合题意,故.据此分析满足条件的集合为,共有6个.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】ABCD
【解析】由集合运算及集合关系,结合Venn图依次判断即可.
解:结合Venn图知,是的充要条件,是的充要条件,是的充要条件,是的充要条件,
故选:.
10.【答案】ABC
【解析】对于选项
恒成立,所以不正确.
对于选项,当时,不存在使得成立,所以不正确.
对于选项C,由可得,反之不成立,所以C不正确.
对于选项D,若,则,可得,则,所以D正确.故选AB C.
11.【答案】BC
12.【答案】ABC
【解析】解:对于,即,也就是,中,,则成立,故正确;
对于,
当时,不等式取" =",此时，即，
得
(也可用)，故B正确；
对于C, ，故C正确
对于D，边长为1，2，2的三角形满足,当，故D错误.
故选:AB C.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】
【解析】因为且,所以是8的正约数,于是,因此.故.
14.【答案】20
【解析】首先设是会打兵兵球的教师,是会打羽毛球的教师是会打篮球的教师,根据题意得到,,再使用三元容斥原理得,有,而中把的区域计算了3次,于是要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.答案：20
15.【答案】
【解析】当且仅当时,等号成立.故所求最小值为.
16.【答案】1
4
【解析】因为,且(当且仅当时取等号),所以,即,得,当时,,当时,.所以的最小值为1,最大值为4.答案14
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)当时,,又,则;
(2)由,知,解得,即的取值范围是;
(3)由得
①若,即时,符合题意;
②若,即时,需或.得或,即.
综上知,即实数的取值范围为.
18.（12分）(1)由题意命题,不等式成立”是真命题.在恒成立,即max,；
因为,所以,即,所以实数的取值范围是；
(2)由得,设,由得,设,因为是的充分不必要条件；
所以,但推不出;所以,即,
所以实数的取值范围是.
19.（12分）(1)因为,所以原式当且仅当,即时,等号成立.
故的最小值为4.
(2)因为,
所以,
当且仅当即时取得等号.
20.（12分）(1)由题意可得,则.因为,所以,解得,故关于的函数解析式为.
(2)设正十字形的外接圆的直径为,
由图可知
当且仅当时,正十字形的外接圆的直径取得最小值,则外接圆的半径的最小值为,故正十字形的外接圆面积的最小值为.
21.（12分）(1)因为,所以,所以；
(2)设,不妨设,
因为,
所以中元素个数大于等于4个,
又,则,此时中元表个数等于4个,
所以生成集中元表个数的最小值为4;
(3)不存在,理由如下:
假设存在4个正整数构成的集合,使其生成集,
不妨设,则集合的生成集由组成,
又,
所以,
若,又,则,故,
若,又,则,故,
所以,又,则,而,所以不成立,所以假设不成立,
故不存在4个正整数构成的集合,使其生成集.
22.（12分）【答案】解:设重组后,该企业年利润为万元.
当待岗人员不超过时,由,得,则；
当待岗人员超过且不超过时,由,得,则
当且时,有,
当且仅当,即时取等号,此时取得最大值,最大值是
当且时,函数为减函数.
所以.
综上所述,当时,有最大值8840.64万元.
即要使企业年利润最大,应安排16名员工待岗。