山东师大附中2012级高三1月第四次模拟考试理科数学

山师附中2012级高三第四次模拟考试
理科数学试题
2015.1
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共5页.全卷满分150分.考试时间120分钟.答题前，请务必将班级、姓名和考试号填涂在答题纸的规定位置.
第I卷（共50分）
注意事项：
1.第I卷共10个小题.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题纸上，只答在试题卷上不得分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的选项.
1.若函数，下列结论中正确的是
A.函数的图象关于原点对称 B.函数最小正周期为
C.函数为偶函数 D.函数的最大值为1
2.下列说法正确的是
A.命题“若”的否命题为“若”
B.命题“”的否定是“”
C.命题“若则”的逆命题为假命题
D.若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
3.执行如右图所示的程序框图，输出的k值是
A.4 B.5 C.6 D.7
4.若是纯虚数，则的值为
A. B. C. D.
5.某种运动繁殖量（只）与时间（年）的关系为，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到
A.200只 B.300只 C.400只 D.500只
6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该
几何体的体积为
A. B.1
C. D.
7.已知集合，在区间上任取一实数，则的概率为
A. B. C. D.
8.各项都是正数的等比数列中，且成等差数列，则的值为
A. B. C. D.
9.实系数一元二次方程的一个根在上，另一个根在上，则的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷（共100分）
注意事项：
1.第II卷包括5道填空题，6道解答题.
2.第II卷所有题目的答案，考生需用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上.
11.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数，则的最小正周期是__________.
12.已知直线和圆心为C的圆相交于A，B两点，则线段AB的长度等于__________.
13.若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中项的系数为_________.
14.由曲线，直线轴所围成的图形的面积为__________.
15.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
；

根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）已知向量，若.
（I）求函数的单调递增区间；
（II）已知的三内角A、B、C的对边分别为，且，（A为锐角），，求A、的值.
17.（本题满分12分）口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（I）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（II）随机变量的概率分布和数学期望；
（III）计分介于17分到35分之间的概率.
18.（本题满分12分）在如图的多面体中，平面AEB，
（I）求证:AB//平面DEG；
（II）求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）
已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，其中是以4为首项的正数数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）若不等式对一切正常整数恒成立，求实数的取值范围.
20.（本题满分13分）在直角坐标系，椭圆的左、右焦点分别为.其中也是抛物线的焦点，点M为在第一象限的交点，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）若过点D（4，0）的直线交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求BOD面积之比的取值范围.
21.（本题满分14分）已知函数.
（I）若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；
（II）在（I）的结论下，设函数，求函数的最小值；
（III）设函数的图象与函数的图象交于P、Q，过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交于点M、N，问是否存在点R，使在M处的切线与在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.
山师附中2012级高三第四次模拟考试
理科数学试题参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．A　　2．D　　3．B　　4．C　　5．A　　6．A　　7．C　　8．B　　9．D　　10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12. 　13．－15 　14．　　 15．11
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．( 满分12分）
解：（Ⅰ）
　　　　　　……………………………4分
由，得，
∴ 的单调递增区间为得，．………………………6分
（Ⅱ）∵ 又，∴　　　…………………8分
∵ ．由正弦定理得　　　　　①　 ………………………9分
∵ ，由余弦定理，得， ②　 ………………………10分
解①②组成的方程组，得．
综上，，． ………………………12分
17．( 满分12分）
解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则．　　　　　　　　　　　　……………………………3分
（Ⅱ）由题意所有可能的取值为：2，3，4．
　 ……………………………7分
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
因此的数学期望为．　 ……………………………9分
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为，则
．　…………………12分
18．( 满分12分）
（Ⅰ）证明：∵，∴.
又∵，是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，∴ ． 　　……………………………2分
∵平面，平面， ∴平面． ……………4分
（Ⅱ）解∵平面，平面，平面，
∴，，
又，∴两两垂直．
以点E为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系．　　　　　…………………6分
由已知得，（0，0，2），（2，0，0），
（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）．…………7分
由已知得是平面的法向量． ……8分
设平面的法向量为，
∵，
∴，即，令,得． …………………10分
设二面角的大小为，由图知为钝角，
∴，
∴二面角的余弦值为 　　　　　　　　　　 …………………12分
19．（ 满分12分）
解：（Ⅰ）∵双曲线方程为的一个焦点为(,0)，∴．…1分
又∵一条渐近线方程为，∴，即=2， …………………3分
∵a1=4，∴是以4为首项、2为公比的等比数列，∴an=2n+1． ………………5分
∴． ……………6分
（Ⅱ）设　①
则　　②
①－②得：． …………………9分
故原不等式等价于 (n∈N*)恒成立，即恒成立，
∴≥0恒成立． ………………11分
∵a>1，∴x≥1，即a的取值范围是． …………………12分
20．（ 满分13分）
解：（Ⅰ）依题意知，设.
由抛物线定义得 ，即. 　　　　　　　………………1分
将代人抛物线方程得， ………………2分
进而由及，解得.
故椭圆的方程为． ………………5分
（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在且不为0，设的方程为代人，
整理得 ………………6分
由，解得. ………………7分
设,则 ………………8分
令，则且. ………………9分
将代人①②得　，消去得，
即． 　　　　　　　　　　　　　　　………………10分
由得，所以且,
解得或. 　　　　　　　　　　　　　　　 ………………12分
又，∴
故与面积之比的取值范围为．　　　　　　………………13分
21．（ 满分14分）
解：（Ⅰ）依题意：
∵上是增函数，
∴对恒成立，∴ ………………2分
∵ 当且仅当时取等号．
∴b的取值范围为 　 ………………4分
（Ⅱ）设，即．…5分
∴当上为增函数，当t=1时，
当
当上为减函数，当t=2时，……8分
综上所述， 　　　 ………………9分
（Ⅲ）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为
C1在M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率 ………………10分
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，
即
则
，
．　　　　　　　　　　　　　　………12分
设…………………………①
令则
∵ ∴
所以上单调递增，故 ，则，
这与①矛盾，假设不成立，故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．……14分