高中数学人教版选修1-1（文科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
一、选择题
1．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的左焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆 的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知△ 的周长为 ，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．椭圆 的焦点为 、 ， 为椭圆上一点，已知 ，则△ 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ， ．若点 在椭圆上，且 ，则点 到 轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．椭圆 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等于 .
10．椭圆 的两焦点为 ，一直线过 交椭圆于 、 ，则△ 的周长为 ．
11．（2016高二下·湖南期中）已知椭圆C： ，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．
三、解答题
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 ， ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ；
（2）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
13．如图所示，已知圆 ： ，圆 内一定点 ，动圆 过 点且与圆 内切，设动圆 的半径为 ，求圆心 的轨迹方程．
14．设 是椭圆 上的点且 的纵坐标 ，点 、 ，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】在椭圆 中， ，因此 ，而椭圆 的焦点在 轴上，因此焦点坐标为 .
【分析】利用椭圆方程，求解a，b，c，即可得到结果．
2．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆 的左焦点为 ，∴ ，∵ ，∴ ，故答案为：A．
【分析】用椭圆的焦点坐标求出关系式，推出m即可．
3．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】由椭圆方程可知 .
【分析】由题意可得m-3＞4-m＞0，解不等式即可得到所求范围．
4．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】化为标准方程是 ，∵ ，∴ .
∴焦点在y轴上，且 .故答案为：C.
【分析】由m＜n＜0，可得-m＞-n＞0．椭圆mx2+ny2+mn=0化为标准方程，求出c，即可得出．
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 可得椭圆的焦点坐标为 ，设F1点的坐标为 ，所以点P的坐标为 ，所以 ．根据椭圆的定义可得 ，所以
故答案为：C .
【分析】画草图，根据椭圆+=1（ab0）的焦点坐标为（c，0）可知F1的坐标，点P的横坐标与点F1的横坐标相同，进而可求出点P的纵作标y0，则=，根据椭圆定义可知+=2a即可求解.
6．【答案】B
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】由△ 的周长为 ，且顶点 ， ，可得 ，所以顶点 的轨迹为椭圆，其中
方程为 .因为三点 构成三角形，三点不能共线，所以 ，故轨迹方程为 .
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】由椭圆定义知 ，又因 ，所以 ，从而得 ，所以△ 的面积为 ，故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25-9）=64，求出PF1×PF2，面积可求．
8．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】由题意知 ，又∵ ，∴ ，
∴ ，设点 到 轴的距离为 ，则 ，故 ，故
【分析】由题意知|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1| |PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．
9．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ， .由椭圆的定义可得点 到另一个焦点的距离等于 .
【分析】由椭圆的标准方程可得a的值，由椭圆的定义可得椭圆上一点P到它的2个焦点的距离之和为2a=4，结合题意即可得答案．
10．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ，由椭圆的定义可知：△ 的周长为 ．
∴△ 的周长为 ．
【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．
11．【答案】12
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得 ， ，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，
∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：12．
【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．
12．【答案】（1）解：∵焦点在 轴上，∴设其标准方程为 ．
∵ , ，∴ ， .∴ .
∴所求椭圆方程为
（2）解：解法一：①当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
将 和 代入标准方程解得 .
∴所求椭圆的标准方程为 .
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 .
将 和 代入标准方程解得 .
，不合题意，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为 .
解法二：设所求椭圆方程为 且 ，
依题意，得 解得
∴所求椭圆的标准方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的方程；
（2）设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．
13．【答案】解：由题意知 ，∵圆 与圆 内切，圆 的半径为 ，
∴两圆的圆心距 ，即 ，
∴点 的轨迹是以 、 两点为焦点的椭圆．
∴ , .∴ ， .∴ ，
即点 的轨迹方程为
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】设动圆圆心P，半径为r，利用两圆相切内切，两圆心距和两半径之间的关系列出PA和PB的关系式，正好符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可．
14．【答案】解：∵点 在椭圆 上，∴ .①
∵点 的纵坐标 ，∴ .∴ ， .
∴②，将①代入②得：
.∴ 为定值，这个定值是
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】由椭圆方程，结合斜率公式，化简整理，即可得到斜率之积为定值．
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一、选择题
1．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】在椭圆 中， ，因此 ，而椭圆 的焦点在 轴上，因此焦点坐标为 .
【分析】利用椭圆方程，求解a，b，c，即可得到结果．
2．已知椭圆 的左焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆 的左焦点为 ，∴ ，∵ ，∴ ，故答案为：A．
【分析】用椭圆的焦点坐标求出关系式，推出m即可．
3．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】由椭圆方程可知 .
【分析】由题意可得m-3＞4-m＞0，解不等式即可得到所求范围．
4．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】化为标准方程是 ，∵ ，∴ .
∴焦点在y轴上，且 .故答案为：C.
【分析】由m＜n＜0，可得-m＞-n＞0．椭圆mx2+ny2+mn=0化为标准方程，求出c，即可得出．
5．椭圆 的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 可得椭圆的焦点坐标为 ，设F1点的坐标为 ，所以点P的坐标为 ，所以 ．根据椭圆的定义可得 ，所以
故答案为：C .
【分析】画草图，根据椭圆+=1（ab0）的焦点坐标为（c，0）可知F1的坐标，点P的横坐标与点F1的横坐标相同，进而可求出点P的纵作标y0，则=，根据椭圆定义可知+=2a即可求解.
6．已知△ 的周长为 ，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】由△ 的周长为 ，且顶点 ， ，可得 ，所以顶点 的轨迹为椭圆，其中
方程为 .因为三点 构成三角形，三点不能共线，所以 ，故轨迹方程为 .
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
7．椭圆 的焦点为 、 ， 为椭圆上一点，已知 ，则△ 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】由椭圆定义知 ，又因 ，所以 ，从而得 ，所以△ 的面积为 ，故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25-9）=64，求出PF1×PF2，面积可求．
8．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ， ．若点 在椭圆上，且 ，则点 到 轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】由题意知 ，又∵ ，∴ ，
∴ ，设点 到 轴的距离为 ，则 ，故 ，故
【分析】由题意知|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1| |PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．
二、填空题
9．椭圆 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等于 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ， .由椭圆的定义可得点 到另一个焦点的距离等于 .
【分析】由椭圆的标准方程可得a的值，由椭圆的定义可得椭圆上一点P到它的2个焦点的距离之和为2a=4，结合题意即可得答案．
10．椭圆 的两焦点为 ，一直线过 交椭圆于 、 ，则△ 的周长为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ，由椭圆的定义可知：△ 的周长为 ．
∴△ 的周长为 ．
【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．
11．（2016高二下·湖南期中）已知椭圆C： ，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．
【答案】12
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得 ， ，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，
∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：12．
【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．
三、解答题
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 ， ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ；
（2）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
【答案】（1）解：∵焦点在 轴上，∴设其标准方程为 ．
∵ , ，∴ ， .∴ .
∴所求椭圆方程为
（2）解：解法一：①当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
将 和 代入标准方程解得 .
∴所求椭圆的标准方程为 .
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 .
将 和 代入标准方程解得 .
，不合题意，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为 .
解法二：设所求椭圆方程为 且 ，
依题意，得 解得
∴所求椭圆的标准方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的方程；
（2）设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．
13．如图所示，已知圆 ： ，圆 内一定点 ，动圆 过 点且与圆 内切，设动圆 的半径为 ，求圆心 的轨迹方程．
【答案】解：由题意知 ，∵圆 与圆 内切，圆 的半径为 ，
∴两圆的圆心距 ，即 ，
∴点 的轨迹是以 、 两点为焦点的椭圆．
∴ , .∴ ， .∴ ，
即点 的轨迹方程为
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】设动圆圆心P，半径为r，利用两圆相切内切，两圆心距和两半径之间的关系列出PA和PB的关系式，正好符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可．
14．设 是椭圆 上的点且 的纵坐标 ，点 、 ，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】解：∵点 在椭圆 上，∴ .①
∵点 的纵坐标 ，∴ .∴ ， .
∴②，将①代入②得：
.∴ 为定值，这个定值是
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】由椭圆方程，结合斜率公式，化简整理，即可得到斜率之积为定值．
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