2023-2024学年华东师大版八年级数学上册 第14章勾股定理 单元综合练习题（含解析）

2023-2024学年华东师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝13，S2＝9，则S3的值为（　　）
A．1 B．4 C．22 D．不能确定
2．下列各组数据是勾股数的是（　　）
A．，， B．4，5，6
C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝9，b＝23，c＝25
4．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝Rt∠，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD＝Rt∠），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4为（　　）
A．2 B．3 C．5﹣ D．6﹣2
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，点D在AB上且AB＝3AD，那么CD的长是（　　）
A．2 B． C．2 D．4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B作BD⊥AC交AC于点D，则AD＝（　　）
A． B． C． D．2
7．如图，△ABC中，若AB＝20，AC＝13，BC＝11，则点A到BC的距离是（　　）
A．5 B．9 C．10 D．12
8．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（　　）
A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm
9．如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．把两块同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示放置其中一块的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AC＝2，则CD的长是（　　）
A． B． C．2+2 D．2+2
二．填空题
11．若直角三角形的两条直角边长分别为1、2，则斜边上的中线等于 　 　．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，D为△ABC内一点，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝4，则△BCD的面积为 　 　．
13．如图，一个无盖的长方体盒子，底面是边长为2的正方形，高为4，一只蚂蚁从盒外的BC中点M，沿长方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是 　 　．
14．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则S3＝　 　；AB＝　 　．
15．如图，在一个长为5m，宽为3m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程约为 　 　m（精确到1m）．
16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为 　 　．
17．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝14，且AH：AE＝3：4．那么AH等于 　 　．
18．如图，已知BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是 　 　．
19．Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2+AC2+BC2的值为 　 　．
20．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作等边三角形，并分别记它们的面积为S1，S2，S3，若S1＝3，S2＝8，则S3＝　 　．
三．解答题
21．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若AB＝50，CD＝48，求MN的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．
（1）求出CD的长；
（2）求出CF的长．
23．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
24．如图，在△ABC中，中线BE，中线AD．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．
25．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝．
（1）求证：∠ACE＝90°；
（2）求△ACE的斜边AE上的高的长．
26．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）
参考答案
一．选择题
1．解：∵以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形的面积分别为S1、S2、S3，
∴S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∵∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1，
∵S1＝13，S2＝9，
∴9+S3＝13，
∴S3＝4，
故选：B．
2．解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．
故选：D．
3．解：A、由条件∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2＝b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、∵a＝1.5，b＝2，c＝2.5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
D、∵a9＝1，b＝23，c＝25，∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
4．解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，
∴S1＝π（AB）2＝π AB2，
S2＝（BC）2＝π BC2，
S3＝（CD）2＝π CD2，
S4＝（AD）2＝π AD2，
∴S1+S2＝π AB2+π BC2＝π（BC2+BC2），
S3﹣S4＝π CD2﹣π AD2＝π（CD2﹣AD2），
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，
∴BC2+BC2＝AC2，CD2﹣AD2＝AC2，
∴BC2+BC2＝CD2﹣AD2，
∴π（BC2+BC2）＝π（CD2﹣AD2），
∴S1+S2＝S3﹣S4，
∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，
∴3+1＝7﹣S4，
∴S4＝3，
故选：B．
5．解：如图，作DE⊥AC于点E，则∠AED＝∠CED＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝2×3＝6，
∴AC＝＝3，
∵AB＝3AD，
∴AD＝AB＝×6＝2，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∴AE＝＝，
∴CE＝3﹣＝2，
CD＝＝，
故选：B．
6．解：∵以AB为边的正方形的面积为9，
∴AB2＝9，
∵以BC为斜边的等腰直角三角形的面积为4，
∴等腰直角三角形的腰长为2，
∴BC2＝16，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
则AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AB×AC＝×AC×BD，
∴×3×4＝×5×BD，
解得：BD＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
故选：C．
7．解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D＝90°，
∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝20，AC＝13，BC＝11，
∴202﹣（11+CD）2＝132﹣CD2，
∴CD＝5，
∴AD＝＝＝12，
∴点A到BC的距离是12，
故选：D．
8．解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为48cm，宽为圆柱的底面周长14cm，
根据勾股定理得：
AB＝＝50（cm），
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为50cm，
故选：B．
9．解：过B作BD⊥AC于D，
则AD＝4，BD＝3，
∴A，B间的最短路程d＝＝5，
故选：B．
10．解：作AF⊥BC于点F，
∵△AED和△ACB是一样的等腰直角三角形，AC＝2，
∴BC＝AD＝4，
∴AF＝BC＝2，BF＝CF＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴CD＝DF+CF＝2+2．
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝；
故答案是：．
12．解：如图，过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵等腰Rt△ABC中，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠H＝90°，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH＝CD＝4，
∴S△BCD＝CD BH＝×4×4＝8，
故答案为：8．
13．解：如图1，MD1＝＝，
如图2，MD1＝＝5，
∵＞5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是5，
故答案为：5．
14．解：∵S1＝22，S2＝14，
∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，
∴BC＝＝6，
∵AC＝10，
∴AB＝＝＝8，
故答案为：36；8．
15．解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1＝7（cm）；宽为3cm．
于是最短路径为：≈8（m）．
故答案为：8．
16．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ECF＝∠BCD＝×180°＝90°，
∵EF∥BD，
∴∠MEC＝∠BCE，∠DCF＝∠F，
∴EM＝CM，MF＝CM，
∴EF＝2CM＝6，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
CE2+CF2＝62＝36，
故答案为：36．
17．解：∵AB＝14，AH：AE＝3：4，
设AH为3x，AE为4x，
由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴5x＝14，
∴x＝，
∴AH＝，
故答案为：．
18．解：∵BC＝＝，
则AB＝BC＝，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
19．解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝3，
∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，
∴AB2+AC2+BC2＝9+32＝18．
故答案为：18．
20．解：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，那么
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×a a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
∴S3＝S2+S1＝8+3＝11，
故答案为：11．
三．解答题
21．解：（1）如图所示，连接MC，MD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中点．
∴Rt△ABC中，CM＝AB，
Rt△ABD中，DM＝AB，
∴MC＝MD，
又∵N是CD的中点，
∴MN⊥CD．
（2）∵AB＝50，
∴MD＝×50＝25，
∵CD＝48，
∴ND＝×48＝24，
又∵MN⊥CD，
∴Rt△MND中，MN＝＝＝7．
22．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，
则AC＝＝＝3，
∵DE是AC的中垂线，
∴CD＝AC＝；
（2）∵DF是AC的中垂线，
∴FA＝FC，
∵AB＝3，
∴FB＝FA﹣3＝CF﹣3，
在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，
解得：CF＝．
23．解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝130m，
在Rt△ABC中，CB＝＝50（m），
∴CD＝2CB＝100（m），
则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）．
答：该学校受影响的时间为20s，
24．（1）证明：∵中线BE，中线AD，CD＝4，CE＝3，
∴AC＝6，BC＝8，
∵AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，
∵中线BE，中线AD，
∴，
∴，
∴AC2+BC2＝80，
∴AB＝．
25．（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝2，
∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，
∴AE2＝AC2+CE2，
∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，
∴∠ACE＝90°；
（2）解：设△ACE的斜边AE上的高的长为h，
∵S△ACE＝AE h＝AC CE，
∴h＝＝＝．
即△ACE的斜边AE上的高的长为．
26．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．