课件20张PPT。1.6 完全平方公式北师大版七年级（下册）完全平方公式一、教材分析 教材的地位和作用 本节内容是在学生学习了整式的乘法和平方差公式之后，继续学习的一个乘法公式。在熟练掌握多项式的乘法运算后，分析多项式乘法中特殊类型的运算规律，用来简化运算，对培养学生的求简意识有很大好处；同时，乘法公式是后续学习因式分解、分式运算等内容的重要基础，公式的推导又是初中数学中运用推理的方法进行代数式恒等变形的开端；另外，公式的发现与验证过程为学生以后探究新知的学习活动积累很好的方式和方法。一、教材分析 数学公式是数学中重要的基础知识，利用公式进行计算是重要的基本技能。怎样让学生经历公式发现和提炼的过程，感悟其作为公式的合理性，使学生进一步感受数形结合的魅力，从代数推理和几何背景等多角度探索公式，在深入理解的基础上灵活运用公式，是我这节课教学研究的重点。所以我确定以下教学目标：1、知识与技能：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力；了解完全平方公式的几何背景，感受数与形之间的联系，培养学生用图形解释数的能力及创造性思维和表达能力。2、过程与方法：经历探索完全平方公式的全过程， 培养学生观察、发现、猜想、验证、推理等多种探 索知识的方法，从中渗透转化、化归、数形结合思想，培养学生求简意识，应用意识及辩证统一观念。3、情感态度与价值观：通过反思问题情境的创设， 体验数学活动充满探索与发现，激发学生探索的热情，并鼓励学生探索算法的多样化，体会到解决问题策略的多样性，积累探索数学公式的学习经验，从中感受数学公式的简洁美，进一步提高学生的参与意识和合作精神。一、教材分析 教学重难点 抽象的数学公式的教学，不仅要重视它的运用，更要关注它的实际背景与形成过程，才能有效地帮助学生克服机械地记忆、模仿和套用公式。只有让学生经历公式的发现和验证的过程，才能更好地理解、掌握和运用公式。重点：经历完全平方公式的探索过程, 理解公式的
结构特点、语言描述和几何背景，并会运用
公式进行简单计算。二、学情教法 ? 于是，我决定改变教学思路，从学生的错误猜想中切入，提出问题:(a+b)2=a2+b2 ?引导学生先自主探索 (a+b)2=a2+b2+2ab发现与验证的过程，再类比猜想、验证 (a－b)2=? 然后进行合作交流运用公式。在错误的反思中学习新知。 三、教学设计环节一：创设情景 引新设疑因为(a·b)2 = a2·b2
所以，我猜想：
(a+b)2 = a2+b2 请问他的猜想对吗？请你帮助他验证。 ?我们小组认为(a + b)2 ≠ a2 + b2，因为(a + b)2表示a与b和的平方而a2 + b2表示a与b平方的和，意义不同，所以不相等。 环节二：合作交流 探索新知环节二：合作交流 探索新知 这是我们学校门口那个边长为a米的正方形花坛，现要进行扩建，将它的边长增加b米，你有哪些方法求出扩建后的正方形花坛的面积？比一比看谁方法多？ 如何用图形来验证公式:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ?S小= a 2S大=S小+2S梯
= a2+2× (a+a+b)b
= a2+ 2ab+ b2说说公式的特点运用公式计算：
① (x + 1)2
② (2x +3)2
③ (mn + a)2
在小组内交流计算结果你做对了吗?需要帮助吗? 环节三：参与其中 体验特征两数和的完全平方公式：
(a + b)2 = a2 + 2ab+b2环节四：类比猜想 继续探索请你猜猜(a －b)2 = ?
能验证你的猜想吗？环节四：类比猜想 继续探索你能运用公式(a +b)2 = a2 +2ab + b2计算(a －b)2=? 两数和(或差)的完全平方公式：
(a +b)2 = a2 +2ab + b2
(a－b)2 = a2－2ab + b2编成口诀吧!顺口又好记!和平方、差平方等于首平方、尾平方， 首尾乘积的2倍在中央。 (a－b)2=［a+（－b)］2 = a2 + 2a(-b)+(- b)2 = a2－2ab+ b2 都有a2 + b2，只是2ab符号不同，和(差)平方取正(负)； (a+b)2=(a－b)2 +4ab、 (a－b)2=(a＋b)2 －4ab ……口决：区别联系环节五：变式训练 感悟应用 例1：计算 ① (2x +3y)2 ② ( 3x－2y)2
③ (－2t+1)2 ④ (－2t－1)2( + )2=( )2+2× × +( )2 =4x2+12xy+9y2学生做出了如下多种解法：
( -2t－1)2=［( -2t)+(-1)］2 =( -2t)2+2×( -2t)×(-1)+(-1)2=4t2+4t+1
( -2t－1)2=［( -2t)－(+1)］2=( -2t)2－2×( -2t)×1+12 =4t2+4t+1
( -2t－1)2=［- (2t + 1)］2 = (2t+1)2 =(2t)2+2×2t×1+12=4t2+4t+1(a+b)2 = a2 +2× a ×b +b22x 3y2x2x3y3y环节五、变式训练 体验特征例2、明辨是非，知错能改。
①(a + 1)2 = a2 + 1 （ ）
②(a－1)2 = a2 － 1 （ ）
③(a + 2)2 = a2 + 2a +4 （ ）
④(2a－1)2 =2a2－2a + 1 （ ）
⑤(a－2)2 = a2－4a－ 4 （ ）
⑥(a－2b)2 = a2－2ab +2b2 （ ） 畅谈解题心得：
要认准a、b； 注意乘积时添括号(2b)2； 小心别漏了2ab项；
别忘了中间项乘2； 要先确定是和平方还是差平方；
结果有三项，别犯(a+b)2＝a2 + b2 ，(a－b)2＝a2－b2错误……
课堂练习:
计算:
环节六、学会评价 布置作业 畅谈本节课你学到哪些知识和方法？ 评价你自己的学习表现有哪些长处和不足？在小组活动中，你的同伴谁最优秀，他有 哪些优点值得你学习？并填写成长记录卡。作业
A、必做作业：课本P43习题中“知识技能”1、2；
B、选做作业：课本P43习题中“联系拓展”1、2；
C、提高作业：思考(a+b)3=？(a+b)4 =？
D、阅读作业：课本P41读一读“杨辉三角”。让“不同的人在数学上得到不同的发展”. 符合评价方式采用定性和定量相结合的原则附：板书设计猜想：(a + b)2 ≠ a2 + b2 ?
猜想：(a －b)2 ≠ a2－b2 ?(a + b)2 = a2 +2ab + b2
(a－b)2 = a2－2ab + b2验证方法：例1：例2：作业：两数和(或差)的完全平方公式四、教学反思 让反思贯穿于数学学习的始终，是本节课的特色。一开始通过学生对错误的类比猜想的式子进行反思、验证，明确了问题，激发了探究热情；在找到结论后，又通过对结论的反思，初步感受到将结论固化为公式的合理性；在运用公式解题时，又及时反思其特点和运用方法，概括为口诀；最后又让学生在找错误中反思其错误原因，畅谈解题心得。整个学习从反思中开始，在反思中结束。 通过本节课的教学实践，我再次体会到：教师是用教材教，而不是教教材，要注重挖掘教材中知识与能力的生长点和切入点。本节课教学中我没有将重点放在公式的大量练习上，而是更多地关注公式的发现和探索过程，让学生充分经历了知识形成过程，转变了学生的学习方式，培养了学生的学习能力，这正是新课程标准提倡的教学方法。
本节课以提高学生的学习能力和数学素养为指导思想，以学生积极参与数学活动为目标，以公式探索为载体，以猜想、验证与反思为主线，让学生在轻松愉悦的气氛中获取知识、掌握方法！整个教学既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用。两个班完成调查作业情况对比表 调 查 作 业
老师发现同学们在学完《整式乘法》这一章的各种公式后，在作业中总是出现各种各样的错误，不知是不是我们在公式教学中存在不足，还是同学们思维定势的影响，为了查清原因，改进方法，特向大家作一调查，请把你的真实情况反馈给我们，也许你“不小心”的错误对我们有很大的启发。
班级 姓名 座号_______一、判别正误（对的打√，错的打×）
1、(2 a)2 = 22·a2 = 4a2 ( ) 2、 ( ) 2 = = （ ）
3、(m·n)2 = m2·n2 ( ) 4、(m÷n)2 = m2÷n2 ( )
5、(m+n)2 = m2+n2 ( ) 6、(m－n)2 = m2－n2 （ ）二、填空
5、 (2+a)2 = 6、(a－2)2 = ————
7 、(ab+1)2 = 8、(x+ )2 = ————
三、计算
9、 (2x－3y)2 10、(－a－b)2 11、(－a+b)2
四、判断正误（对的打√,错的打×，有错就改，
改在横线上）
12、(a+2)2 = a2+2a+4 （ ）________
13、(2a+1)2 = 4a2+1 ( ) _______
14、(2a－1)2 = 2a2－2a+1 ( ) _______
15、(a－3)2 = a2－9 ( ) ________
16、(x－5)2 = x2－10x－25 ( ) _______
五、你有哪些方法得出 (a+b)2 =？ (a－b)2 =？
（方法写在背面，看谁方法多） 课件17张PPT。1.6 完全平方公式 北师大版七年级（下册）a2 ? b2平方差公式 (a+b)(a?b)=练习：
( x + 2y )( x – 2y) = ______
(mn – 3)(mn +3)= ______
(– 2x+y)(2x+y)= ______x2 –4y2m2n2 –9y2 –4x2多项式的乘法 (a+b)(c+d)acadbcbd=+++一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加 b 米。 形成新的实验田，以种植不同的新品种(如图).你能用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较吗？(a+b)2 a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+ab+b22等式:(a+b)(a+b)abba=+++=abba++(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?+他们是怎么想的?想法对吗？你会如何解决这个问题？利用两数和的
平方
推证= + +＿＿ a22a(?b)(?b)2=a22ab?b2.+(2)有两位同学对两数差的平方有不同的看法:乙:(a?b)2(a+b)2=a2+2ab+b2 ;a2 ?2ab+b2.?= a 2 + 2a(?b) + (?b) 2甲:(a?b)2= a 2?b 2初识 完全平方公式(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a?b)2 = a2?2ab+b2 .结构特征:左边是的平方;右边是两数和 (差)两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.用自己的语言叙述上面的公式语言表述:两数和 的平方, 等于这两数的平方和, 加上 这两数积的2倍.(差)(减去)注意：
1.完全平方公式和平方差公式的区别！2. (a + b )2≠a2 + b2
(a – b )2 ≠a2 – b2
(a + b ) (a – b ) ﹦a2 – b222a+ba?ba2 +b2a2 +b2+?2ab2ab=x 2 +2 ? x ? 2y +(2y)2
解：(1) (x+2y)2 例3 利用完全平方公式计算：
(1) (x+2y)2 ； (2) (2a-5)2 ; (3) (-2s+t)2. 先明确用哪个完全平方公式再把计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.x2=+4xy+4y2 .(2) (2a-5 )2= (2a)2 - 2 · 2a · 5 + 52=4a2 - 20a +25.(3) ( -2s+t )2= t2 - 2 · t · 2s + (2s)2= t2 - 4ts + 4s2 .= ( t -2s )2随堂练习（一）说出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.解: (1)(2a ?1)2＝ (2a)2 ? 2?2a?1 +1=4a2 ?4a +1(2)(2a+1)2＝ (2a)2+2?2a?1 +1=4a2 + 4a +1
(3)(?a?1)2＝(?a)2?2? ( ?a) ?1 + 1=a2 + 2a + 1 利用完全平方公式计算：
(1) 0.982 (2) 10012解：(1) 原式 = （ 1 ? 0.02）2= 12 ? 2 ×1×0.02 + 0.022= 1 ? 0.04 + 0.0004= 0.9604（2）原式 = （ 1000 + 1 ）2= 10002 + 2 × 1000×1 + 12= 1000000 + 2000 + 1=1002001 (1) ( x + 2y)2 ； (2) ( n – 3m)2 .2、计算：1. 填空:(1) ( 2x + y)2 = 4x2 + ( ____________ ) + y2
(2) (x ? ______)2 = x2 – (_________) + 25y2
(3) (_____ ? b )2 = 9 a2 ?(__________) + (____)2
(4) x 2 + x +(_______) = ( x +_____)24 x y5 y10 x y3 ab6 a b0.50.25
类似地,当a=30,a=27时, 3a+2.25的值分别为92.25,83.25.所以4块花苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2,92.25m2,83.25m2.例4 一花农有4块正方形茶花苗圃,边长分别为30.1m ,29.5m,30m,27m.现将这4块苗圃的边长都增加1.5m,求各苗圃的面积分别增加了多少m2?设原正方形苗圃的边长为a(m),边长增加
(a+1.5) m则: (a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25当a=30.1时,3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55当a=29.5时,3a+2.25=3×29.5+2.25=90.751.5 m后,新正方形的边长为知识小园地利用贾宪三角对完全平方公式进行推广（a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4贾宪最著名的数学成就，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”。这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当。
由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了。只知道他曾经当过宋代”左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了。幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。 知识小园地（贾宪三角）小组抢答1. 下列等式是否成立? 说明理由．
(1) (?4a+1)2=(1?4a)2；
(2) (?4a?1)2=(4a+1)2；
(3) (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2.(1) 由加法交换律 ?4a+l＝l?4a.成立理由:(2) ∵ ?4a?1＝?(4a+1)，成立∴(?4a?1)2＝[?(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3) ∵ (1?4a)＝?(?1+4a)不成立．即 (1?4a)＝?(4a?1)＝?(4a?1)，∴ (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[?(4a?1)]＝?(4a?1)(4a?1)＝?(4a?1)2. a2ababb2(a+b)2 =a?ba?bb(a?b)(a?b)2a2+2ab+b2即 (a?b)2 = a2?2ab+b2(a?b)2 = a2? ab ? b(a?b) 试一试
你能由两数和的完全平方公式的几何意义推想到两数差的完全平方公式的几何意义吗？拓 展 练 习1.思考：试一试：计算 ( m ?2n + 3 )2 2.完全平方公式的变形应用：(1) 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x ?y)2 的值.(2)已知：a ?b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值.(3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x ? y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值.本节课你学到了什么?注意完全平方公式和平方差公式不同： 完全平方公式的结果是三项，即
(a ± b)2＝a2 ± 2ab + b2. 平方差公式的结果是两项，即
(a+b)(a?b)＝a2?b2. 有时需要进行变形，使变形后的式子符合应
用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)
的平方”，然后应用公式计算. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab不少乘2.
