人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测

人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测
一、选择题
1．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知点(3，2)在椭圆 上，则(　　)
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3，2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3，2)是否在椭圆上
2．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．椭圆、线段或不存在 D．不存在
3．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）下列说法中正确的是(　　)．
A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C．到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－4，0)，F2(4，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆
4．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线的一支
5．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是(　　)
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
6．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
7．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 的右焦点到直线y＝ x的距离是(　　)
A． B． C．1 D．
8．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A． B． C． D．
9．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 的离心率为(　　)
A． B． C． D．
10．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 ，则m的值为(　　)
A． B． C． D．
11．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知点 P 是椭圆 上一点，且在 x 轴上方， 分别是椭圆的左、右焦点，直线 的斜率为 ，则 的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆C： 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，点P在C上且直线 PA2 斜率的取值范围是 [-2，-1] ，那么直线 PA1 斜率的取值范围是　(　　)
A． B． C． D．
13．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP：PB=1：2，则椭圆的离心率是(　　)
A． B． C． D．
14．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 (a ＞ b ＞ 0 )与直线 x+y=1 交于 p 、 Q 两点，且 ，其中 O 为坐标原点，求 的值（　　）
A．1 B．3 C．2 D．
15．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知曲线C上的动点M(x，y)和向量a=(x+2，y)，b=(x-2，y)满足|a|+|b|=6，则曲线C的离心率是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
16．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 的左焦点为 F1 ，直线 x=m 与椭圆相交于 A，B 两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为　 　
17．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）过点(－3，2)且与 有相同焦点的椭圆方程是　 　．
18．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为　 　．
19．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程　 　．
20．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）若焦点在轴上的椭圆 上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则正数b的取值范围是　 　.
三、解答题
21．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2，0)；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
22．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
23．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与坐标轴 不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为 ，求直线倾斜角的取值范围.
24．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 X 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（ A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
25．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵点(3，2)在椭圆 上，∴由椭圆的对称性知，点(－3，2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.
【分析】本题考查了点与椭圆的位置关系，由椭圆的对称性，可得点(3，2)和点(－3，2)在椭圆上
2．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；
当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；
当a<|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．，故选C.
【分析】本题给出点P满足的条件，求动点的轨迹，注意应用椭圆的定义与形成椭圆的条件即可.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】A中常数8＝|F1F2|，B中常数6＜|F1F2|，所以轨迹都不是椭圆；可计算C中常数等于 ＞|F1F2|，符合椭圆定义，轨迹是椭圆；D中点的轨迹应该是一条直线，故选C．故选C.
【分析】本题给出焦点满足的条件，求动点的轨迹，注意应用椭圆的定义与形成椭圆的条件即可.
4．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a.
即|F1Q|＝2a.
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.
【分析】本题给出椭圆的焦点是F1、F2，求动点的轨迹，注意应用圆的定义与形成圆的条件即可
5．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】把椭圆的方程写成标准形式为
知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10，2b＝6， ＝0.8．故选B.
【分析】本题给出椭圆25x2＋9y2＝225方程，化为标准方程再求其他量，注意焦点在x轴或y轴即可.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】椭圆方程可化为 ，由焦点在轴上可得长半轴长为 ，短半轴长为1，所以 ，解得 ．故选A.
【分析】本题给出椭圆 的焦点在y轴上，化为标准方程再求其他量即可.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】椭圆的右焦点为F(1，0)，根据点到直线的距离公式得
故选B.
【分析】根据椭圆标准的方程 求出右焦点，再代入点到直线的距离的距离公式即可.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝ 或e＝－1(舍去)．故选B.
【分析】根据长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，找出a与c的关系即可.
9．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】.c2＝16－8＝8，∴e＝ .故选D.
【分析】根据椭圆 ，得出a与c，求出离心率即可.
10．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】.∵焦点在x轴上，∴a＝ ，b＝ ，c＝ ，
∴c＝ ，e＝ ＝ ＝ ，∴m＝ .故选B.
【分析】根据椭圆 ，得出a与c，求出离心率即可.
11．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】.∵椭圆 化成标准形式为 ，
∴ ，可得 .
∴椭圆的焦点为 ， .
设位于椭圆 轴上方弧上的点为 ，则
解得 （负值舍去）.
∴△ 的面积 .故选C.
【分析】根据椭圆 化成标准形式为 ，可得 .
设位于椭圆 轴上方弧上的点为 ，再求出△ 的面积 .
12．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
，故 .
因为 ，所以 .故选B.
【分析】将 代入到 中，得到 与 之间的关系，利用 为定值求解 的取值范围.
13．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】由已知B点横坐标为－c，取B(－c， )．
∵AB所在直线方程为y＝ (x－a)，∴P点纵坐标为a－c.由△BFA∽△POA得， ，∴2c2－3ac＋a2＝0.
即2e2－3e＋1＝0解得e＝ (e＝1舍去)．故选D.
【分析】本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质，注意结合直线的斜率求解即可．
14．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】设 ，由OP⊥OQ x1x2+y1y2=0
又将 ， 代入①化简得 .．故选C.
【分析】本小题主要考查了椭圆与直线的结合，联立直线消去y，利用两根之和与两根之积，求解即可．
15．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】a|+|b|=6表示动点M到两定点(-2，0)，(2，0)的距离之和为6，所以曲线C是以(-2，0)，(2，0)为焦点，以6为长轴长的椭圆，故离心率e= ，故选A.
【分析】根据椭圆的定义，求出a与c的值，即可确定离心率.
16．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】设椭圆的右 焦点为 ．
由椭圆的定义得 的周长为 .
∵ ，
∴ ，当 过点 时取等号.
∴ 的周长 .
∴ 的周长 的最大值是 .
此时 的面积为 ，∴ .
平方，得 ，即 ，∴ .
【分析】由椭圆的定义先确定△FAB的周长的最大值，即可.
17．【答案】
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】因为焦点坐标为(± ，0)，设方程为 ，将(－3，2)代入方程可得 ，解得a2＝15，故方程为 .
【分析】先根据 确定另一个椭圆的焦点，再根据标准方程，代入即可.
18．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝ ＝ ，故c＝ ，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆标准方程为 .
【分析】椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，确定a的长度，进而确定c，即可.
19．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由9x2＋5y2＝45，得 ，其焦点F1(0，2)、F2(0，－2)．设所求椭圆方程为 .又∵点M(2， )在椭圆上，
∴①又a2－b2＝4②解①②得a2＝12，b2＝8.故所求椭圆方程为 .
【分析】根据椭圆9x2＋5y2＝45，先确定焦点，再求出a，b即可.
20．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆 的上顶点为，焦点为，椭圆 上存在一点与两焦点的连线互相垂直，则 .由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，即 ，解得 .
【分析】设椭圆 的上顶点为，焦点为，椭圆 上存在一点与两焦点的连线互相垂直，则 ，再根据余弦定理求解即可.
21．【答案】（1）【解答】(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为(a>b>0) ，
∵椭圆过点A(2，0)，∴＝1，a＝2，∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为
若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为 (a>b>0)，∵椭圆过点A(2，0)，∴＋＝1，∴b＝2，2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为
综上所述，椭圆方程为 或
（2）【解答】由已知 ，∴ .从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为 或 ，
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程的分情况讨论，焦点在x轴和在y轴上，即可.
22．【答案】【解答】以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)，c＝4.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为 (y≠0)．
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
23．【答案】（1）【解答】（1）设椭圆方程为 .焦点为(0， )， ，所以a=3，c= ，所以b=1.故所求椭圆方程为 ..
（2）【解答】设直线的方程为y=kx+b，代入椭圆方程 整理得（k2+9)x2+2kb+b2-9=0，设A(x1，y1)B(x2，y2) ，且线段AB中点的横坐标为 ，由题意得 解得或 .
又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是 .
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，（Ⅱ）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
24．【答案】（1）【解答】由题意设椭圆的标准方程为 ，由已知得： ，
所以 椭圆的标准方程为 ．
（2）【解答】设 ．联立
得 ，则
又
因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
，即 ． 所以．
． ．
解得： ，且均满足 ．
当 时， l 的方程 ，直线过点 (2，0) ，与已知矛盾；
当 时， l 的方程为 ，直线过定点 ．
所以，直线 l 过定点，定点坐标为 ．
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】（1）椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1；可得 ；进而求出椭圆的标准方程.（2）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
25．【答案】（1）点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则
所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为
（2）P(0，3)，设 ，由题意知
椭圆的上下顶点坐标分别是经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在. .设直线m方程为：联立椭圆和直线方程，整理得：
所以，直线m的斜率 .
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】设出动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与 的关系式，利用中点坐标即可得斜率.
1 / 1人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测
一、选择题
1．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知点(3，2)在椭圆 上，则(　　)
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3，2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3，2)是否在椭圆上
【答案】C
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵点(3，2)在椭圆 上，∴由椭圆的对称性知，点(－3，2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.
【分析】本题考查了点与椭圆的位置关系，由椭圆的对称性，可得点(3，2)和点(－3，2)在椭圆上
2．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．椭圆、线段或不存在 D．不存在
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；
当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；
当a<|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．，故选C.
【分析】本题给出点P满足的条件，求动点的轨迹，注意应用椭圆的定义与形成椭圆的条件即可.
3．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）下列说法中正确的是(　　)．
A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C．到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－4，0)，F2(4，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】A中常数8＝|F1F2|，B中常数6＜|F1F2|，所以轨迹都不是椭圆；可计算C中常数等于 ＞|F1F2|，符合椭圆定义，轨迹是椭圆；D中点的轨迹应该是一条直线，故选C．故选C.
【分析】本题给出焦点满足的条件，求动点的轨迹，注意应用椭圆的定义与形成椭圆的条件即可.
4．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线的一支
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a.
即|F1Q|＝2a.
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.
【分析】本题给出椭圆的焦点是F1、F2，求动点的轨迹，注意应用圆的定义与形成圆的条件即可
5．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是(　　)
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】把椭圆的方程写成标准形式为
知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10，2b＝6， ＝0.8．故选B.
【分析】本题给出椭圆25x2＋9y2＝225方程，化为标准方程再求其他量，注意焦点在x轴或y轴即可.
6．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】椭圆方程可化为 ，由焦点在轴上可得长半轴长为 ，短半轴长为1，所以 ，解得 ．故选A.
【分析】本题给出椭圆 的焦点在y轴上，化为标准方程再求其他量即可.
7．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 的右焦点到直线y＝ x的距离是(　　)
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】椭圆的右焦点为F(1，0)，根据点到直线的距离公式得
故选B.
【分析】根据椭圆标准的方程 求出右焦点，再代入点到直线的距离的距离公式即可.
8．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝ 或e＝－1(舍去)．故选B.
【分析】根据长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，找出a与c的关系即可.
9．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】.c2＝16－8＝8，∴e＝ .故选D.
【分析】根据椭圆 ，得出a与c，求出离心率即可.
10．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 ，则m的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】.∵焦点在x轴上，∴a＝ ，b＝ ，c＝ ，
∴c＝ ，e＝ ＝ ＝ ，∴m＝ .故选B.
【分析】根据椭圆 ，得出a与c，求出离心率即可.
11．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知点 P 是椭圆 上一点，且在 x 轴上方， 分别是椭圆的左、右焦点，直线 的斜率为 ，则 的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】.∵椭圆 化成标准形式为 ，
∴ ，可得 .
∴椭圆的焦点为 ， .
设位于椭圆 轴上方弧上的点为 ，则
解得 （负值舍去）.
∴△ 的面积 .故选C.
【分析】根据椭圆 化成标准形式为 ，可得 .
设位于椭圆 轴上方弧上的点为 ，再求出△ 的面积 .
12．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆C： 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，点P在C上且直线 PA2 斜率的取值范围是 [-2，-1] ，那么直线 PA1 斜率的取值范围是　(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
，故 .
因为 ，所以 .故选B.
【分析】将 代入到 中，得到 与 之间的关系，利用 为定值求解 的取值范围.
13．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP：PB=1：2，则椭圆的离心率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】由已知B点横坐标为－c，取B(－c， )．
∵AB所在直线方程为y＝ (x－a)，∴P点纵坐标为a－c.由△BFA∽△POA得， ，∴2c2－3ac＋a2＝0.
即2e2－3e＋1＝0解得e＝ (e＝1舍去)．故选D.
【分析】本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质，注意结合直线的斜率求解即可．
14．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 (a ＞ b ＞ 0 )与直线 x+y=1 交于 p 、 Q 两点，且 ，其中 O 为坐标原点，求 的值（　　）
A．1 B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】设 ，由OP⊥OQ x1x2+y1y2=0
又将 ， 代入①化简得 .．故选C.
【分析】本小题主要考查了椭圆与直线的结合，联立直线消去y，利用两根之和与两根之积，求解即可．
15．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知曲线C上的动点M(x，y)和向量a=(x+2，y)，b=(x-2，y)满足|a|+|b|=6，则曲线C的离心率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】a|+|b|=6表示动点M到两定点(-2，0)，(2，0)的距离之和为6，所以曲线C是以(-2，0)，(2，0)为焦点，以6为长轴长的椭圆，故离心率e= ，故选A.
【分析】根据椭圆的定义，求出a与c的值，即可确定离心率.
二、填空题
16．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）椭圆 的左焦点为 F1 ，直线 x=m 与椭圆相交于 A，B 两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为　 　
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】设椭圆的右 焦点为 ．
由椭圆的定义得 的周长为 .
∵ ，
∴ ，当 过点 时取等号.
∴ 的周长 .
∴ 的周长 的最大值是 .
此时 的面积为 ，∴ .
平方，得 ，即 ，∴ .
【分析】由椭圆的定义先确定△FAB的周长的最大值，即可.
17．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）过点(－3，2)且与 有相同焦点的椭圆方程是　 　．
【答案】
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】因为焦点坐标为(± ，0)，设方程为 ，将(－3，2)代入方程可得 ，解得a2＝15，故方程为 .
【分析】先根据 确定另一个椭圆的焦点，再根据标准方程，代入即可.
18．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝ ＝ ，故c＝ ，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆标准方程为 .
【分析】椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，确定a的长度，进而确定c，即可.
19．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由9x2＋5y2＝45，得 ，其焦点F1(0，2)、F2(0，－2)．设所求椭圆方程为 .又∵点M(2， )在椭圆上，
∴①又a2－b2＝4②解①②得a2＝12，b2＝8.故所求椭圆方程为 .
【分析】根据椭圆9x2＋5y2＝45，先确定焦点，再求出a，b即可.
20．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）若焦点在轴上的椭圆 上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则正数b的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆 的上顶点为，焦点为，椭圆 上存在一点与两焦点的连线互相垂直，则 .由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，即 ，解得 .
【分析】设椭圆 的上顶点为，焦点为，椭圆 上存在一点与两焦点的连线互相垂直，则 ，再根据余弦定理求解即可.
三、解答题
21．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2，0)；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
【答案】（1）【解答】(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为(a>b>0) ，
∵椭圆过点A(2，0)，∴＝1，a＝2，∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为
若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为 (a>b>0)，∵椭圆过点A(2，0)，∴＋＝1，∴b＝2，2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为
综上所述，椭圆方程为 或
（2）【解答】由已知 ，∴ .从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为 或 ，
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程的分情况讨论，焦点在x轴和在y轴上，即可.
22．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
【答案】【解答】以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)，c＝4.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为 (y≠0)．
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
23．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与坐标轴 不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为 ，求直线倾斜角的取值范围.
【答案】（1）【解答】（1）设椭圆方程为 .焦点为(0， )， ，所以a=3，c= ，所以b=1.故所求椭圆方程为 ..
（2）【解答】设直线的方程为y=kx+b，代入椭圆方程 整理得（k2+9)x2+2kb+b2-9=0，设A(x1，y1)B(x2，y2) ，且线段AB中点的横坐标为 ，由题意得 解得或 .
又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是 .
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，（Ⅱ）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
24．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 X 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（ A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）【解答】由题意设椭圆的标准方程为 ，由已知得： ，
所以 椭圆的标准方程为 ．
（2）【解答】设 ．联立
得 ，则
又
因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
，即 ． 所以．
． ．
解得： ，且均满足 ．
当 时， l 的方程 ，直线过点 (2，0) ，与已知矛盾；
当 时， l 的方程为 ，直线过定点 ．
所以，直线 l 过定点，定点坐标为 ．
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】（1）椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1；可得 ；进而求出椭圆的标准方程.（2）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
25．（人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测）已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.
【答案】（1）点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则
所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为
（2）P(0，3)，设 ，由题意知
椭圆的上下顶点坐标分别是经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在. .设直线m方程为：联立椭圆和直线方程，整理得：
所以，直线m的斜率 .
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】设出动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与 的关系式，利用中点坐标即可得斜率.
1 / 1