北师大版 （2019）第一章 预备知识 单元测试卷(含答案)（含解析）

北师大版 （2019）第一章 预备知识 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、直线，平分圆的周长，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2、设集合,,则的子集的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
3、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4、设集合，，若，则( )
A.0 B.1 C.2 D.
5、已知集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、若m,n均为正数,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.5
7、由大于且小于11的偶数所组成的集合是( )
A. B.
C. D.
8、已知集合，，，则M、N、P的关系满足( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知集合，，下列说法正确的是( )
A.不存在实数a使得 B.当时，
C.当时， D.存在实数a使得
10、已知集合，，且、，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11、若集合中恰有唯一的元素，则实数a的值为________.
12、若a、b、且a、，集合，则用列举法可表示为________.
13、用列举法表示集合为________.
14、若M为关于x的一元二次方程的解集，且，则集合M中所有元素之和为_________.
四、解答题
15、已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
（1）若A是空集，求a的范围；
（2）若A是单元素集合，求a的范围：
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
16、设集合.
（1）判断元素3是否属于集合S，并说明理由；
（2）设集合，证明：；
（3）设，证明：.
参考答案
1、答案：C
解析：圆心为，因为直线，平分圆的周长，所以圆心在直线上，即，化为：，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
2、答案：B
解析：由题意知,,所以,所以的子集的个数为．
故选：B．
3、答案：A
解析：，，则.
故选：A.
4、答案：B
解析：因为，，，
所以，解得，所以.
故选：B.
5、答案：A
解析：当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.故选：A.
6、答案：B
解析：因为m, n均为正数, 且,
所以
当且仅当 时等号成立,
所以,的最小值等于.
故本题正确答案为:B.
7、答案：D
解析：由题意可知，由大于且小于11的偶数所组成的集合是.
故选：D.
8、答案：B
解析：，
，
，
所以.故选：B.
9、答案：AD
解析：选项A：若集合，则有因为此方程组无解，所以不存在实数a使得集合，故选项A正确.
选项B：当时，，不满足，故选项B错误.
若，则
①当时，有，；
②当时，有此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.
故选：AD.
10、答案：ABC
解析：因为集合，，
所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，、是奇数，是偶数，
A项：因为两个奇数的积为奇数，所以，A正确；
B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以，B正确；
C项：因为两个奇数的和为偶数，所以，C正确；
D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，D错误，
故选：ABC.
11、答案：2
解析：因为集合中恰有唯一的元素，
则只要有且只有一个实数满足不等式即可，
所以，
解得，此时满足题意.
故答案为：2.
12、答案：
解析：当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
所以用列举法可表示为.
故答案为：.
13、答案：
解析：根据题意，，
则；
故答案为：.
14、答案：-4
解析：，，，
即原方程为，，，，，
所有的元素之和为.
15、答案：（1）
（2）或
（3）或
解析：（1）若A是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，得.
综上所述：.
（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，，得.
综上所述：或.
（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或.
综上所述：或.
16、答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）当，时，
，故；
（2）证明：对任意，，
令，，则，
故，
又当，时，，，
；
（3）证明：假设，则存在，
使得，
①若m、n一个为奇数，一个为偶数，
则、都为奇数，则c为奇数，
与是偶数矛盾，
②若m，n两个数都是奇数或两个数都是偶数，
则，都为偶数，则c为4的倍数，
与矛盾，
故.