苏教版 （2019）第十三章 立体几何初步 单元测试卷（含解析）

苏教版 （2019）第十三章 立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，M为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2、在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为( )
A. B. C. D.
3、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
4、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
5、已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面，，，下列条件中能推出的是( )
A.l与，所成角相等 B.，
C.，， D.，，
6、如图所示，正方体的棱长为1，点O是正方形的中心，则点O到平面的距离是( )
A. B. C. D.
7、已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为，与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
8、在三棱锥中，侧棱SA，SB，SC两两所成的角均相等，且长度分别为a，b，c，设二面角，，的平面角分别为，，，若，则，，的大小关系是( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知l、m、n为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有( )
A.若，，，则
B.若，，，若，则
C.若，l、m分别与、所成的角相等，则
D.若，，，则
10、如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
11、如图，二面角的大小是，线段，，与l所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是___________.
12、已知，，分别是平面，，的一个法向量，则，，三个平面中互相垂直的有___________对.
13、如图，三棱锥的三条棱DA，DB，DC两两垂直，是DA的中点，M，N是线段AB上的点，，记二面角，，的平面角分别为，，，则，，的大小关系是___________.
14、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，若，则对角线AC与平面DEF的位置关系是__________.
四、解答题
15、如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.
（1）证明：B，E，，F四点共面；
（2）若，求直线AE与平面所成角的正弦值.
16、如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点Q是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
参考答案
1、答案：C
解析：画出四面体，建立坐标系，
利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可，
四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示，
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
，，，，
，，
，
因为异面直线夹角的范围为，
所以异面直线与夹角的余弦值为.
故选：C.
2、答案：D
解析：方法一：以点为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，所以，.设直线PB与所成的角为，则.因为，所以.
方法二：如图，连接.因为P为的中点，，所以，又，，所以平面.又平面，所以.连接，则，所以为直线PB与所成的角.设正方体的棱长为2，则在中，，，所以，所以.
方法三：连接，，，，则，所以直线PB与所成的角等于直线PB与所成的角.由P为的中点，知，P，三点共线，且P为的中点.显然，所以为等边三角形，所以，又P为的中点，所以.
3、答案：D
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则
由题意可知，，
因此有
，
即，
解得，
因为，
所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
故选：D.
4、答案：A
解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而，，平面，因此平面，
在等腰中，，，则，，
令的外接圆圆心为，则平面，，
有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，
从而，四边形为平行四边形，，又，
因此球O的半径，
所以球O的表面积.
故选：A.
5、答案：C
解析：
6、答案：D
解析：因为，平面，平面，
所以平面，
因为O是上底面的中心，
所以O到平面的距离就是到平面的距离的一半，
就是到平面的距离的一半，
连接，，相交于点，则，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，为到平面的距离，
棱长为1，，
点O到平面的距离是：．
故选：D
7、答案：D
解析：由题意知四棱锥为正四棱锥，如图，记，连接SO，则平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得，则，，易知.因为，，，所以也为OM与平面SAB所成的角，即BC与平面SAB所成的角，根据最小角定理知，所以，故选D.
8、答案：A
解析：结果与侧棱SA，SB，SC两两所成角的大小无关，不妨设，如图，作平面ABC，则O是的垂心，连接AO并延长，交BC于点D，连接SD.因为，，所以平面SBC，所以，又O为的垂心，因此，可得平面SAD，所以，即就是二面角的平面角.
在中，
，所以.
同理，，.
又，所以，所以.
9、答案：BD
解析：
图一 图二
对于A，如图1，若，，，则n可以与平行，故A错误；
对于B，因为，，，且，，则，因为，，则，故，B对；
对于C，如图2，若，l、m分别与、所成的角为时，l与m可以相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，则，又，则，D对.
10、答案：CD
解析：设，则，，，于是，.如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，OF，则，且有，.于是，即.因为平面，平面ABCD，所以，又，且，，平面BDEF，所以平面BDEF.因为平面BDEF，所以.又，，平面ACE，所以平面ACE，所以，所以，，，，所以选项A，B不正确，选项C，D正确，故选CD.
11、答案：
解析：如图，过点A作平面的垂线，垂足为C，在平面内过点C作直线l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，所以，连接CB，则为AB与平面所成的角.设，则，，所以.
12、答案：0
解析：因为，，，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即，，中任意两个都不垂直.
13、答案：
解析：因为平面DAB，在中，记点D到，，的距离分别为，，，则，，，，所以，即.
14、答案：平面DEF
解析：因为，所以.
又因为平面，平面DEF，所以平面DEF.
15、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）
取的中点为G，连接AG，GE，
由E，G分别为，的中点，
，且，
四边形ABEG为平行四边形，
故.
又F是的中点，即，
，
故B，F，，E四点共面.
（2）
连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，
以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
设面的一个法向量为，
则，即，取，
设直线AE与平面所成角为θ，故，
直线AE与平面所成角的正弦值为.
16、
（1）答案：
解析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，.
因为平面，所以是平面的一个法向量，.
因为，.
设平面的法向量为，则，，
即，令，解得，.
所以是平面的一个法向量，从而，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
（2）答案：
解析：因为，设，
又，则，
又，
从而，
设，，
则，
当且仅当，即时，的最大值为.
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值.
又因为，所以.