勾股定理复习
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文档简介
勾股定理
一、预备知识
1.二次根式的基本性质：① ≥0（a≥0） ② ()2＝a （a≥0）
③· ＝（a≥0，b≥0） ④＝· （a≥0，b≥0）
2.有理数或字母与根式相乘，乘号省略不写，先写有理数，再写无理数，字母最后
3×＝3 2×＝2 ×4a＝4a ×＝
3. (a)2＝a2·()2=a2b （b≥0）
4. =1 ≈1.414 ≈1.732 =2 ≈2.236
=2 =3 =2 =4 =3
=2
5.用代数式表示a、b两数的平方和___________________ 和的平方_______________
6.在Rt⊿ABC中，一般地，如果∠C=90°，那么用小写字母_______表示斜边，用小写
字母a表示直角边________，用小写字母__________表示直角边AC。其中，____最长。
7. 大于0度小于90度的角叫锐角；90度的角叫直角；大于90度小于180度的角叫钝
角；180度的角叫平角；大于180度小于360度的角叫优角；360度的角叫周角。
8. 和为90度的两个角叫互为余角，和为180度的两个角叫互为补角。直角三角形中两锐角互余。
9. 一个三角形中最多有一个直角，最多有一个钝角，至少有两个锐角。
10. 三边构成三角形的前提是小的两边之和大于第三边；三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。第三边范围在另两边和差之间。
11. 直角三角形中斜边最长。
12.两种比较特殊的直角三角形
①有一个角是30°的直角三角形三边的长度关系(30°角所对的边是斜边的一半)
a : b : c = 1 : 2 : （记牢此比例关系）
a = c b = a
c = 2a
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形
CA = CB AB = CA = CB (正方形的对角线是边长的倍！！)
二、定理及其逆定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2.公式的证明方法有数百种：最常见的是以下两种，直角三角形斜边构成的正方形面积等于两条直角边构成的正方形的面积之和。
3.公式及变形：a2+b2=c2 c= a= b=
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，据此也可以判断锐角三角形或者钝角三角形。
5.常见的勾股数：3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25；
8，15，17； 9，40，41
三、直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边。如图所示: h =
h是斜边c上的高 h =
四、已知直角三角形的两边，求第三边的长。3，4，（5或）
五、比例系数的运用 Rt△ABC中，∠C=90°
1. a:b = 8:15 , c = 34 ,求a、b
2. a:b = 3:4 ，周长为24 ， 求面积
3. a:b = 4:5 ，面积为20 ，求周长
4.∠A=30°, c = 8 ,求斜边上的高
5.∠A=∠C ， c = 6 ，求周长
6.a比b大2 ，c = 10 ，求面积：
7.斜边长为2 ，周长为2＋，求面积：
8.斜边比直角边大2，另一直角边为6，求斜边长
四、等边三角形的面积为a2（a表示边长）
五、三边分别为多项式时，证明三角形是直角三角形
1.当n为自然数时，试说明以a=2n2+2n , b=2n+1 , c=2n2+2n+1为三边的三角形是直角三角形。
2.a=n2-1 , b=2n , c=n2+1(n>1)
3. 若ΔABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ΔABC的形状.
六、已知锐角三角形的两边，求第三边的范围
七、在方格中画指定边长的三角形（正方形的对角线是边长的倍）
八、直角三角形斜边上的高的平方等于高所分斜边两段的乘积。
h2 = mn
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家教中心 大佛街 8722622 第3页，共4页 2008-4-20 第4页，共4页
一、预备知识
1.二次根式的基本性质：① ≥0（a≥0） ② ()2＝a （a≥0）
③· ＝（a≥0，b≥0） ④＝· （a≥0，b≥0）
2.有理数或字母与根式相乘，乘号省略不写，先写有理数，再写无理数，字母最后
3×＝3 2×＝2 ×4a＝4a ×＝
3. (a)2＝a2·()2=a2b （b≥0）
4. =1 ≈1.414 ≈1.732 =2 ≈2.236
=2 =3 =2 =4 =3
=2
5.用代数式表示a、b两数的平方和___________________ 和的平方_______________
6.在Rt⊿ABC中，一般地，如果∠C=90°，那么用小写字母_______表示斜边，用小写
字母a表示直角边________，用小写字母__________表示直角边AC。其中，____最长。
7. 大于0度小于90度的角叫锐角；90度的角叫直角；大于90度小于180度的角叫钝
角；180度的角叫平角；大于180度小于360度的角叫优角；360度的角叫周角。
8. 和为90度的两个角叫互为余角，和为180度的两个角叫互为补角。直角三角形中两锐角互余。
9. 一个三角形中最多有一个直角，最多有一个钝角，至少有两个锐角。
10. 三边构成三角形的前提是小的两边之和大于第三边；三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。第三边范围在另两边和差之间。
11. 直角三角形中斜边最长。
12.两种比较特殊的直角三角形
①有一个角是30°的直角三角形三边的长度关系(30°角所对的边是斜边的一半)
a : b : c = 1 : 2 : （记牢此比例关系）
a = c b = a
c = 2a
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形
CA = CB AB = CA = CB (正方形的对角线是边长的倍！！)
二、定理及其逆定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2.公式的证明方法有数百种：最常见的是以下两种，直角三角形斜边构成的正方形面积等于两条直角边构成的正方形的面积之和。
3.公式及变形：a2+b2=c2 c= a= b=
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，据此也可以判断锐角三角形或者钝角三角形。
5.常见的勾股数：3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25；
8，15，17； 9，40，41
三、直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边。如图所示: h =
h是斜边c上的高 h =
四、已知直角三角形的两边，求第三边的长。3，4，（5或）
五、比例系数的运用 Rt△ABC中，∠C=90°
1. a:b = 8:15 , c = 34 ,求a、b
2. a:b = 3:4 ，周长为24 ， 求面积
3. a:b = 4:5 ，面积为20 ，求周长
4.∠A=30°, c = 8 ,求斜边上的高
5.∠A=∠C ， c = 6 ，求周长
6.a比b大2 ，c = 10 ，求面积：
7.斜边长为2 ，周长为2＋，求面积：
8.斜边比直角边大2，另一直角边为6，求斜边长
四、等边三角形的面积为a2（a表示边长）
五、三边分别为多项式时，证明三角形是直角三角形
1.当n为自然数时，试说明以a=2n2+2n , b=2n+1 , c=2n2+2n+1为三边的三角形是直角三角形。
2.a=n2-1 , b=2n , c=n2+1(n>1)
3. 若ΔABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ΔABC的形状.
六、已知锐角三角形的两边，求第三边的范围
七、在方格中画指定边长的三角形（正方形的对角线是边长的倍）
八、直角三角形斜边上的高的平方等于高所分斜边两段的乘积。
h2 = mn
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