苏教版 （2019）第二章 圆与方程 单元测试卷（含解析）

苏教版 （2019）第二章 圆与方程 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
2、已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
3、已知圆关于直线对称，则k的值为( )
A.1 B.-1 C.-1或1 D.0
4、若圆与圆相切，则m的值可以是( )
A.16或-4 B.7或-7 C.7或-4 D.16或-7
5、过点作直线l与圆交于A，B两点，设，且，当的面积为时，直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
6、在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆，则下列结论正确的是( )
A.过点P与圆O相切的直线方程为
B.过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程为
C.过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则
D.过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若，则直线m的方程为或
7、已知圆，从点观察点，要使视线不被圆O挡住，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8、若直线(，)始终平分圆的周长，则ab的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为.若直线上存在一点P，使过点P所作的圆C的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、圆与圆的公共弦的长为，则a的值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题
11、设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________.
12、已知点是曲线上任意一点，则的取值范围是__________.
13、当点P在圆上运动时，连接点P与点，则线段PQ的中点M的轨迹方程为__________.
14、在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到y轴后又爬到圆上，则它爬过的最短路程是__________.
四、解答题
15、在平面直角坐标系xOy中，已知点与直线，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
(1)若点在圆C上，求圆C的方程；
(2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标的取值范围.
16、已知圆，直线.
(1)求证：对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于不同的两点A，B，点，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在(2)的条件下，若，求直线l的方程.
参考答案
1、答案：B
解析：方法一：因为圆与两坐标轴都相切，且经过点，所以可设圆心为，，半径为m，所以，解得或.当时，圆心为，利用点到直线的距离公式，可知圆心到直线的距离；当时，圆心为，利用点到直线的距离公式，可知圆心到直线的距离.故选B.
方法二：因为圆与两坐标轴都相切，且经过点，所以可设圆心为，，半径为m，所以，即，所以，即，所以圆心到直线的距离.故选B.
2、答案：D
解析：由题意可知，所以圆心，半径为2.因为PA，PB是的切线，所以，.由圆的对称性可知，所以，所以取得最小值时，取得最小值.又为定值，所以当最小时，最小.因为，所以当取得最小值时，最小.又因为P为直线上的动点，所以当时，取得最小值.此时直线PM的方程为，与直线l联立，可得.
方法一：由圆的切线结论知切点弦AB所在直线方程为，即，故选D.
方法二：以线段PM为直径的圆的方程为，整理得，与的方程作差可得直线AB的方程为，故选D.
3、答案：B
解析：圆的方程可化为.依题意得解得，故选B.
4、答案：A
解析：因为表示圆，所以，解得，
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
当两圆外切时，，即，解得；
当两圆内切时，，即，解得.
故m的值可以为16或-4.故选A.
5、答案：B
解析：的面积为，，
，，.
圆心O到直线l的距离为.
由题意可设直线l的方程为，即，
，.故选B.
6、答案：D
解析：对于A，当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心O到直线的距离，所以是过点P的圆的切线，
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
圆心O到直线的距离，解得，此时直线的方程为，
过点P的圆的切线方程为或，故A错误；
对于B，设，，则两切线方程分别为和，又是两切线的交点，
所以即，都满足方程，所以直线MN的方程为，即，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若，则，
圆心到直线m的距离，
显然直线m的斜率存在，设直线m的方程为，即，
，解得或，
直线m的方程为或，故D正确.
故选D.
7、答案：D
解析：设过点与圆相切的直线为，则圆心到切线的距离为，解得，故切线方程为，设切线分别与直线交于点M，N，如图所示.
当点B位于点M上方或点N下方时，满足题意.将代入，得，故点M的坐标为.将代入，得，
故点N的坐标为.
则a的取值范围是，故选D.
8、答案：D
解析：由圆的方程得圆心坐标为，
直线(，)始终平分圆的周长，
直线必过点，
则，即，当且仅当时，等号成立，
的取值范围是，故选D.
9、答案：AB
解析：由圆C的方程，易知.过点P所作的圆C的两条切线相互垂直，.又点P在直线上，圆心C到直线的距离，解得.故选AB.
10、答案：CD
解析：两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为，
因为两圆的公共弦的长为，圆的圆心为，半径为2，
因为点到直线的距离，
所以，
解得或.故选CD.
11、答案：
解析：因为，所以直线AB关于直线对称的直线方程为.由题意可知圆心为，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以.整理，得，解得.
12、答案：
解析：可变形为，故曲线是以原点为圆心，2为半径的半圆，如图，表示半圆上的点(设为P)与定点(设为Q)连线的斜率.设曲线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点.易知，，则直线QA与半圆相切，，
即的取值范围是.
13、答案：
解析：设点，因为M是线段PQ的中点，所以点，又点P在圆上运动，所以，即，
所以点M的轨迹方程为.
14、答案：
解析：由圆的方程得圆心，半径为，易得点关于y轴的对称点为，设与圆C交于点P，易知蚂蚁爬过的最短路径为，可得.故蚂蚁爬过的最短路程为.
15、答案：(1)或
(2)
解析：设圆心，则圆C的方程为.
(1)因为点在圆C上，所以，解得或，
故圆C的方程为或.
(2)设，则，
由于，，
故，
化简得，
从而在以(记为N)为圆心，为半径的圆上，
故为圆与圆的公共点，
即圆与圆相交或相切，
从而，即，
解得或，
故圆心C的横坐标的取值范围为.
16、答案：(1)证明见解析
(2)
(3)或
解析：(1)证明：(证法一)直线l的方程可以整理为，
所以直线l恒过点，又，
所以点在圆内，
所以对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点.
(证法二)由题意得圆C的圆心为，半径为，
所以圆心到直线l的距离，
所以直线l与圆C相交，故对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)由(1)知，直线l恒过定点.
如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，
则，所以，
设，则，
整理得.
当M与P重合时，也满足.
综上，弦AB的中点M的轨迹方程为.
(3)设，，由，得，
所以，即.
由消去y，得，
且，
所以，
由得，
所以，解得，
所以直线l的方程为或.