人教版物理必修二第七章第八节机械能守恒定律同步练习
一、选择题：
1．如图所示，用一轻绳系一小球悬于O点.现将绳拉直使小球处于水平位置，然后静止释放，不计阻力.小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒 B．小球所受的合力不变
C．小球的动能不断减小 D．小球的重力势能增加
【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A、F始终和速度垂直、不做功，则小球只有重力做功、机械能守恒，A对；
B、小球释放后作圆周运动，受到细绳指向圆心的拉力F和竖直向下的大小不变的重力G
因为F始终指向O点，则合力始终变化，B错；
C、小球的重力作正功，应用动能定理可知小球动能增加，C错；
D、小球向下运动，位置降低（或重力作正功）、重力势能减小，D错。
故选A.
【分析】根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，即可判断物体
否是机械能守恒.
2．下列实例中，机械能守恒的是（ ）
A．正在起动的汽车 B．自由下落的小球
C．匀速下降的跳伞员 D．拉着物块沿光滑斜面匀速上升
【答案】B
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A、正在启动的汽车，势能不变，动能增加，机械能增加，机械能不守恒，故A错误；
B、自由下落的小球只有重力做功，机械能守恒，故B正确；
C、匀速下降的跳伞员，动能不变，重力势能减少，机械能减少，机械能不守恒，故C错误；
D、拉着物块沿光滑斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能不守恒，故D错误；
故选：B
【分析】根据机械能守恒的条件分析答题，只有重力或只有弹力做功，机械能守恒．
3．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体的机械能发生变化的是（ ）
A．用细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速圆周运动
B．细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速圆周运动
C．物体沿光滑的曲面自由下滑
D．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体以一定的初速度沿斜面向上运动
【答案】B
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、物体若在水平面内做匀速圆周运动，动能、势能均不变，物体的机械能不变；
B、物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，势能改变，故物体的机械能发生变化；
C、物体沿光滑的曲面自由下滑，只有重力做功，机械能守恒；
D、用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体以一定的初速度沿斜面向上运动时，除重力以外的力做功之和为零，物体的机械能守恒.
故选B.
【分析】除重力外，其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
4．木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图8所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是（ ）
A．子弹的机械能守恒 B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块的总机械能守恒 D．以上说法都不对
【答案】D
【知识点】机械能守恒及其条件
【解析】【解答】子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒．
故选D.
【分析】除重力外，其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
5．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点如图10所示，由静止释放后（ ）
图10
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、环形槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；B、甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；CD、由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到槽的最低点．故选A.
【分析】判断系统机械能守恒，分析动能和势能的变化，列出系统机械能综合应用分析各状态。
6．如图11所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，物体A自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上．若以地面为零势能面，则当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是 （ ）
图11
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、B组成的系统机械能守恒．设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v.则有mAgh＝mAv2，即v2＝2gh.从开始到A距地面的高度为h的过程中，A减少的重力势能为ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h）．系统增加的动能为ΔEk＝（mA＋mB）v2＝×3mB×2gh＝3mBgh.由ΔEp＝ΔEk，得h＝.
故选C.
【分析】判断系统机械能守恒，列出系统机械能综合应用，列出动能和势能相等的方程联立求解。
7．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图12所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为（ ）
图12
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】由运动的合成与分解可知滑块A和B在绳长方向的速度大小相等，有vAsin 60°＝vBcos 60°，解得vA＝v，将滑块AB看成一系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝mvA2＋mvB2，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为L＝2h＝ ，故选项D正确．
【分析】判断系统机械能守恒，列出系统机械能综合应用，找出AB速度关系联立求解。
8．以下运动中机械能守恒的是( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体从高处以g/3的加速度竖直下落
C．不计阻力，细绳一端拴一小球，使小球在竖直平面内作圆周运动
D．物体沿不光滑的曲面滑下
【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】［解答］：
沿斜面匀速下滑，过程中除了重力做功，摩擦力也做功，A错误；
物体在竖直方向上下落时，当加速度为g时，只有重力做功，所以B错误；
绳子的拉力和运动方向垂直，对小球不做功，所以只有重力做功，机械能守恒，C正确；
物体沿不光滑曲面下滑，有摩擦力的作用，同时物体受到支持力对物体也不做功，所以有物体的摩擦力做功，机械能不守恒，所以D不正确．
故选C.
［分析］：物体机械能守恒的条件是只有重力做功，根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，即可判断物体是否是机械能守恒.
9．在下列所述实例中，若不计空气阻力，机械能守恒的是（ ）
A．石块自由下落的过程
B．电梯加速上升的过程
C．抛出的羽毛球在空中运动的过程
D．木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程
【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】［解答］：
A、石块自由下落的过程，只受重力，所以石块机械能守恒，故A正确．
B、电梯加速上升的过程，动能增加，重力势能增加，故机械能增加，故B错误．
C、抛出的羽毛球在空中运动的过程，受重力还受阻力，所以铅球的机械能不守恒，故C错误．
D、木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，故D错误．
故选A．
［分析］：物体机械能守恒的条件是只有重力或者是弹力做功，根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，即可判断物体是否是机械能守恒.
10．忽略空气阻力，下列物体运动过程中机械能守恒的是（ ）
A．物体以一定初速度沿光滑斜面上滑的过程
B．拉着物体匀速上升的过程
C．羽毛被水平抛出的运动过程
D．物体沿斜面匀速下滑的过程
【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A、物体以一定初速度沿光滑斜面上滑的过程，斜面的支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故A正确．
B、物体沿着斜面匀速上升，拉力做正功，其机械能一定增加，故B错误．
C、羽毛被水平抛出的运动过程，受重力和空气阻力，所以机械能不守恒，故C错误．
D、物体沿斜面匀速下滑，物体受力平衡，摩擦力和重力都要做功，所以机械能不守恒，故D错误．
故选：A．
【分析】物体机械能守恒的条件是只有重力做功，根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，即可判断物体是否是机械能守恒.
11．下列物体中，机械能守恒的是( ）
A．水平抛出运动的气球
B．被匀速吊起的集装箱
C．光滑曲面上自由运动的物体
D．物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动
【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、水平抛出运动的气球有重力做功阻力做功，机械能不守恒；
B、匀速吊起的集装箱，动能不变，势能增加，机械能不守恒；
C物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒；
D、物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律mg－F＝m×g，有F＝mg，则物体受到竖直向上的大小为 mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒.
故选C.
【分析】除重力外，其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
12．如图9，物体从某一高度自由下落到竖直立于地面的轻质弹簧上．在a点时物体开始与弹簧接触，到b点时物体速度为零．则从a到b的过程中，物体（ ）
A．动能一直减小 B．重力势能一直增大
C．所受合外力先增大后减小 D．动能和重力势能之和一直减小
【答案】D
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、C从a到b的过程中，物体开始时重力大于弹簧的弹力，合力向下，物体做加速运动，弹力在增大，合力减小；当重力等于弹力时，速度达到最大，然后在运动的过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律知，合力向上，物体做减速运动，合力增大，到达最低点，速度为零．故物体的速度先增大后减小，动能也先增大后减小，合力先减小后增大．故AC错误．
B、物体的高度一直下降，重力做正功，重力势能一直减小．故B错误．
D、由于只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，即物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能总和不变，弹性势能一直增大，则动能和重力势能之和一直减少．故D正确
故选D.
【分析】根据物体所受的合力方向判断加速度的方向，根据速度方向与加速度方向的关系，判断其速度的变化．即可知道动能的变化．物体下降，重力做正功，重力势能必定减小．
13．有两质量相等的小球A和B，A挂在一根长为l的细绳上（绳子伸长不计），B挂在可伸长的较短的橡皮筋上，两球都拉到水平位置，如图所示，然后无初速释放，它们到达平衡位置时，橡皮筋的长度等于绳长l，则小球通过平衡位置时（ ）
A．A球的速度等于B球的速度
B．A球的速度小于B球的速度
C．A球的重力势能等于B球的重力势能
D．A球的重力势能大于B球的重力势能
【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A球下落过程中，重力势能全部转化为小球的动能，B球下落时，重力势能转化为小球的动能和橡皮筋的弹性势能，由于两小球质量相同且下落高度一样，因此两球重力势能相等，A球的速度大于B球的速度，故ABD错误，C正确．
故选C．
【分析】弄清楚细绳与橡皮筋的区别是解本题的关键，若是细绳，下落过程只有重力势能与动能的转化，若为橡皮筋下滑时小球的重力势能不光转化为小球的动能还要转化为橡皮筋的弹性势能，因此理解了它们的区别便能正确解答本题．
14．如图14所示，现有两个完全相同的可视为质点的物块都从静止开始运动，一个自由下落，一个沿光滑的固定斜面下滑，最终它们都到达同一水平面上，空气阻力忽略不计，则（ ）
A．重力做的功相等，重力做功的平均功率相等
B．它们到达水平面上时的动能相等
C．重力做功的瞬时功率相等
D．它们的机械能都是守恒的
【答案】B,D
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】两物体从同一高度下落，根据机械能综合应用知，它们到达水平面上时的动能相等，自由下落的物体先着地，重力做功的平均功率大，而着地时重力做功的瞬时功率等于重力与重力方向上的速度的乘积，故重力做功的瞬时功率不相等，故选BD.
【分析】根据机械能综合应用，分析动能变化，分析重力做功的功率。
15．由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是（ ）
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H<2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
【答案】B
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，根据机械能综合应用有mgH＝mg（R＋R）＋mvA2，解得vA＝，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝gt2，水平位移x＝vAt＝＝，故选项A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA>0，所以要求H>2R，选项CD错误．故选B.
【分析】根据机械能综合应用，分析出A处的速度，根据平抛运动公式分析位移。
二、填空题：
16．汽车沿一段坡面向下行驶，通过刹车使速度逐渐减小，在刹车过程中重力势能 （填“增加”或“减少”），机械能 （填“不守恒”或“守恒”
【答案】减少；不守恒
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】汽车沿坡面向下运动，重力做正功，重力势能减小；由于动能、重力势能都减小，故机械能是减小的，还可以根据除重力外，还有阻力做负功，可知机械能减小．
【分析】根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，判断势能的变化，判断物体是否是机械能守恒.
17．质量为m的小球，从离地面高h处以初速度v0竖直上抛，小球能上升到离抛出点的最大高度为H，若选取该最高点位置为零势能参考位置，不计阻力，则小球落回到抛出点时的机械能是 ．
【答案】0
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】小球在空中运动不计阻力，故机械能守恒，取最高点势能为零小球在最高点的机械能为0。
【分析】根据机械能综合应用求解，明确初态和末态。
18．如图5-3-12所示，运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，阻力对系统始终做 功，任意相等的时间内重力做的功 （填“相等”或“不相等”）
图5-3-12
【答案】负；不相等
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】下降过程中，阻力始终与运动方向相反，做负功；由于任意相等的时间内下落的位移不等，所以，任意相等时间内重力做的功不等．
【分析】分析受力判断做功，判断机械能守恒。
19．如图5-3-13所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上，则两球到达各自悬点的正下方时， 球动能较大
图5-3-13
【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A球下摆过程中，因机械能守恒
mgL＝mvA2①
B球下摆过程中，因机械能守恒
mgL＝Ep弹＋mvB2②
由①②得mvA2＝Ep弹＋mvB2
可见mvA2>mvB2（轻弹簧模型）
【分析】分析受力由机械能守恒分别列方程。
20．质量为m的小球，以速度v斜向上抛离高为H的桌面。如图，那么经过A点时所具有的机械能是（以桌面为零势面） 。
【答案】mv2
【知识点】机械能综合应用
【解析】物体的机械能守恒，在任何位置的机械能都相同，且E= mv2.
【分析】由机械能守恒求解.
三、计算题：
21．如图14所示，质量为m＝2 kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A处由静止释放，小球到达距O点下方h＝0.5 m处的B点时速度为2 m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功（g取10 m/s2）．
【答案】对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mgh＝ mv2＋E弹，E弹＝mgh－mv2＝6 J，W弹＝－6 J.
即弹簧弹力对小球做功为－6 J.
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mgh＝ mv2＋E弹，E弹＝mgh－mv2＝6 J，W弹＝－6 J.
即弹簧弹力对小球做功为－6 J.
【分析】根据机械能综合应用，分析弹性势能变化，从而求出弹力做功
22．一质量为m＝2 kg的小球从光滑的斜面上高h＝3.5 m处由静止滑下，斜面底端平滑连接着一个半径R＝1 m的光滑圆环，如图所示，求：
（1）小球滑到圆环顶点时对圆环的压力的大小；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？（g取10 m/s2）
【答案】（1）小球从开始下滑至滑到圆环顶点的过程中，只有重力做功，故可用动能定理求出小球到半圆环最高点时的速度，再由牛顿第二定律求压力．由机械能综合应用得mg（h－2R）＝mv2小球在圆环最高点时，由牛顿第二定律，得
FN＋mg＝m
联立上述两式，代入数据得
FN＝40 N
由牛顿第三定律知，小球对圆环的压力大小为40 N
（2）小球能越过圆环最高点的临界条件是在最高点时只有重力提供向心力，即mg＝m①设小球应从H高处滑下，由机械能综合应用得
mg（H－2R）＝mv′2②
由①②得H＝2.5R＝2.5 m
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）小球从开始下滑至滑到圆环顶点的过程中，只有重力做功，故可用动能定理求出小球到半圆环最高点时的速度，再由牛顿第二定律求压力．
由机械能综合应用得
mg（h－2R）＝mv2
小球在圆环最高点时，由牛顿第二定律，得
FN＋mg＝m
联立上述两式，代入数据得
FN＝40 N
由牛顿第三定律知，小球对圆环的压力大小为40 N.（2）小球能越过圆环最高点的临界条件是在最高点时只有重力提供向心力，即mg＝m①
设小球应从H高处滑下，由机械能综合应用得
mg（H－2R）＝mv′2②
由①②得H＝2.5R＝2.5 m.
【分析】根据机械能综合应用，分析最低点的速度，根据向心力公式求压力；明确通过最高点的临界条件，根据机械能综合应用求高度关系.
23．如图15所示，AB是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端B点与水平直轨道相切．一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑，已知轨道半径为R＝0.2 m，小物块的质量为m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：
（1）小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力；
（2）小物块在水平面上滑动的最大距离．
【答案】（1）由机械能综合应用，得mgR＝，在B点FN－mg＝m，
联立以上两式得FN＝3mg＝3×0.1×10 N＝3 N
（2）设小物块在水平面上滑动的最大距离为l，对小物块运动的整个过程由动能定理得mgR－μmgl＝0，
代入数据得l＝＝ m＝0.4 m
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）由机械能综合应用，得mgR＝，在B点FN－mg＝m，
联立以上两式得FN＝3mg＝3×0.1×10 N＝3 N
（2）设小物块在水平面上滑动的最大距离为l，对小物块运动的整个过程由动能定理得mgR－μmgl＝0，
代入数据得l＝＝ m＝0.4 m
【分析】根据机械能综合应用，分析最低点的速度，根据向心力公式求压力；由动能定理求滑动距离.
24．如图16，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
（1）地面上DC两点间的距离s；
（2）轻绳所受的最大拉力大小．
【答案】（1）小球从A到B的过程中机械能守恒，有：mgh＝mvB2，①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有：H＝gt2，②
在水平方向上有：s＝vBt，③
联立①②③解得：s＝1.41 m．
（2）小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有：F－mg＝mvB2⑤
联立①⑤解得：F＝20 N
根据牛顿第三定律，F′＝－F，
轻绳所受的最大拉力大小为20 N
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）小球从A到B的过程中机械能守恒，有：mgh＝mvB2，①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有：H＝gt2，②
在水平方向上有：s＝vBt，③
联立①②③解得：s＝1.41 m．（2）小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有：F－mg＝mvB2⑤
联立①⑤解得：F＝20 N
根据牛顿第三定律，F′＝－F，
轻绳所受的最大拉力大小为20 N.
【分析】根据机械能综合应用，分析最低点的速度，根据平抛运动公式求位移，根据向心力公式求压力。
25．如图17所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
图17
（1）a球离开弹簧时的速度大小va；
（2）b球离开弹簧时的速度大小vb；
（3）释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
【答案】（1）由a球恰好能到达A点知m1g＝求出VA= 由机械能综合应用得
m1va2－m1vA2＝m1g·2R
得va＝.
（2）对于b球由机械能综合应用得：
mbvD2=mbg×10R
得vb=VD=
（3）由机械能综合应用得Ep＝m1va2＋m2vb2
得Ep＝7.5mgR.
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）
由a球恰好能到达A点知
m1g＝求出VA=
由机械能综合应用得
m1va2－m1vA2＝m1g·2R
得va＝
（2）
对于b球由机械能综合应用得：
mbvD2=mbg×10R
得vb=VD=
（3）
由机械能综合应用得
Ep＝m1va2＋m2vb2
得Ep＝7.5mgR.
【分析】根据机械能综合应用和通过最高点的临界条件求a初的速度；根据机械能综合应用和上升的最大高度求b的速度；由机械能综合应用求弹性势能。
1 / 1人教版物理必修二第七章第八节机械能守恒定律同步练习
一、选择题：
1．如图所示，用一轻绳系一小球悬于O点.现将绳拉直使小球处于水平位置，然后静止释放，不计阻力.小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒 B．小球所受的合力不变
C．小球的动能不断减小 D．小球的重力势能增加
2．下列实例中，机械能守恒的是（ ）
A．正在起动的汽车 B．自由下落的小球
C．匀速下降的跳伞员 D．拉着物块沿光滑斜面匀速上升
3．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体的机械能发生变化的是（ ）
A．用细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速圆周运动
B．细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速圆周运动
C．物体沿光滑的曲面自由下滑
D．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体以一定的初速度沿斜面向上运动
4．木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图8所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是（ ）
A．子弹的机械能守恒 B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块的总机械能守恒 D．以上说法都不对
5．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点如图10所示，由静止释放后（ ）
图10
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
6．如图11所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，物体A自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上．若以地面为零势能面，则当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是 （ ）
图11
A． B． C． D．
7．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图12所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为（ ）
图12
A． B． C． D．
8．以下运动中机械能守恒的是( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体从高处以g/3的加速度竖直下落
C．不计阻力，细绳一端拴一小球，使小球在竖直平面内作圆周运动
D．物体沿不光滑的曲面滑下
9．在下列所述实例中，若不计空气阻力，机械能守恒的是（ ）
A．石块自由下落的过程
B．电梯加速上升的过程
C．抛出的羽毛球在空中运动的过程
D．木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程
10．忽略空气阻力，下列物体运动过程中机械能守恒的是（ ）
A．物体以一定初速度沿光滑斜面上滑的过程
B．拉着物体匀速上升的过程
C．羽毛被水平抛出的运动过程
D．物体沿斜面匀速下滑的过程
11．下列物体中，机械能守恒的是( ）
A．水平抛出运动的气球
B．被匀速吊起的集装箱
C．光滑曲面上自由运动的物体
D．物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动
12．如图9，物体从某一高度自由下落到竖直立于地面的轻质弹簧上．在a点时物体开始与弹簧接触，到b点时物体速度为零．则从a到b的过程中，物体（ ）
A．动能一直减小 B．重力势能一直增大
C．所受合外力先增大后减小 D．动能和重力势能之和一直减小
13．有两质量相等的小球A和B，A挂在一根长为l的细绳上（绳子伸长不计），B挂在可伸长的较短的橡皮筋上，两球都拉到水平位置，如图所示，然后无初速释放，它们到达平衡位置时，橡皮筋的长度等于绳长l，则小球通过平衡位置时（ ）
A．A球的速度等于B球的速度
B．A球的速度小于B球的速度
C．A球的重力势能等于B球的重力势能
D．A球的重力势能大于B球的重力势能
14．如图14所示，现有两个完全相同的可视为质点的物块都从静止开始运动，一个自由下落，一个沿光滑的固定斜面下滑，最终它们都到达同一水平面上，空气阻力忽略不计，则（ ）
A．重力做的功相等，重力做功的平均功率相等
B．它们到达水平面上时的动能相等
C．重力做功的瞬时功率相等
D．它们的机械能都是守恒的
15．由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是（ ）
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H<2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
二、填空题：
16．汽车沿一段坡面向下行驶，通过刹车使速度逐渐减小，在刹车过程中重力势能 （填“增加”或“减少”），机械能 （填“不守恒”或“守恒”
17．质量为m的小球，从离地面高h处以初速度v0竖直上抛，小球能上升到离抛出点的最大高度为H，若选取该最高点位置为零势能参考位置，不计阻力，则小球落回到抛出点时的机械能是 ．
18．如图5-3-12所示，运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，阻力对系统始终做 功，任意相等的时间内重力做的功 （填“相等”或“不相等”）
图5-3-12
19．如图5-3-13所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上，则两球到达各自悬点的正下方时， 球动能较大
图5-3-13
20．质量为m的小球，以速度v斜向上抛离高为H的桌面。如图，那么经过A点时所具有的机械能是（以桌面为零势面） 。
三、计算题：
21．如图14所示，质量为m＝2 kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A处由静止释放，小球到达距O点下方h＝0.5 m处的B点时速度为2 m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功（g取10 m/s2）．
22．一质量为m＝2 kg的小球从光滑的斜面上高h＝3.5 m处由静止滑下，斜面底端平滑连接着一个半径R＝1 m的光滑圆环，如图所示，求：
（1）小球滑到圆环顶点时对圆环的压力的大小；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？（g取10 m/s2）
23．如图15所示，AB是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端B点与水平直轨道相切．一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑，已知轨道半径为R＝0.2 m，小物块的质量为m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：
（1）小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力；
（2）小物块在水平面上滑动的最大距离．
24．如图16，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
（1）地面上DC两点间的距离s；
（2）轻绳所受的最大拉力大小．
25．如图17所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
图17
（1）a球离开弹簧时的速度大小va；
（2）b球离开弹簧时的速度大小vb；
（3）释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A、F始终和速度垂直、不做功，则小球只有重力做功、机械能守恒，A对；
B、小球释放后作圆周运动，受到细绳指向圆心的拉力F和竖直向下的大小不变的重力G
因为F始终指向O点，则合力始终变化，B错；
C、小球的重力作正功，应用动能定理可知小球动能增加，C错；
D、小球向下运动，位置降低（或重力作正功）、重力势能减小，D错。
故选A.
【分析】根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，即可判断物体
否是机械能守恒.
2．【答案】B
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A、正在启动的汽车，势能不变，动能增加，机械能增加，机械能不守恒，故A错误；
B、自由下落的小球只有重力做功，机械能守恒，故B正确；
C、匀速下降的跳伞员，动能不变，重力势能减少，机械能减少，机械能不守恒，故C错误；
D、拉着物块沿光滑斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能不守恒，故D错误；
故选：B
【分析】根据机械能守恒的条件分析答题，只有重力或只有弹力做功，机械能守恒．
3．【答案】B
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、物体若在水平面内做匀速圆周运动，动能、势能均不变，物体的机械能不变；
B、物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，势能改变，故物体的机械能发生变化；
C、物体沿光滑的曲面自由下滑，只有重力做功，机械能守恒；
D、用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体以一定的初速度沿斜面向上运动时，除重力以外的力做功之和为零，物体的机械能守恒.
故选B.
【分析】除重力外，其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
4．【答案】D
【知识点】机械能守恒及其条件
【解析】【解答】子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒．
故选D.
【分析】除重力外，其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
5．【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、环形槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；B、甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；CD、由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到槽的最低点．故选A.
【分析】判断系统机械能守恒，分析动能和势能的变化，列出系统机械能综合应用分析各状态。
6．【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、B组成的系统机械能守恒．设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v.则有mAgh＝mAv2，即v2＝2gh.从开始到A距地面的高度为h的过程中，A减少的重力势能为ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h）．系统增加的动能为ΔEk＝（mA＋mB）v2＝×3mB×2gh＝3mBgh.由ΔEp＝ΔEk，得h＝.
故选C.
【分析】判断系统机械能守恒，列出系统机械能综合应用，列出动能和势能相等的方程联立求解。
7．【答案】D
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】由运动的合成与分解可知滑块A和B在绳长方向的速度大小相等，有vAsin 60°＝vBcos 60°，解得vA＝v，将滑块AB看成一系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝mvA2＋mvB2，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为L＝2h＝ ，故选项D正确．
【分析】判断系统机械能守恒，列出系统机械能综合应用，找出AB速度关系联立求解。
8．【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】［解答］：
沿斜面匀速下滑，过程中除了重力做功，摩擦力也做功，A错误；
物体在竖直方向上下落时，当加速度为g时，只有重力做功，所以B错误；
绳子的拉力和运动方向垂直，对小球不做功，所以只有重力做功，机械能守恒，C正确；
物体沿不光滑曲面下滑，有摩擦力的作用，同时物体受到支持力对物体也不做功，所以有物体的摩擦力做功，机械能不守恒，所以D不正确．
故选C.
［分析］：物体机械能守恒的条件是只有重力做功，根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，即可判断物体是否是机械能守恒.
9．【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】［解答］：
A、石块自由下落的过程，只受重力，所以石块机械能守恒，故A正确．
B、电梯加速上升的过程，动能增加，重力势能增加，故机械能增加，故B错误．
C、抛出的羽毛球在空中运动的过程，受重力还受阻力，所以铅球的机械能不守恒，故C错误．
D、木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，故D错误．
故选A．
［分析］：物体机械能守恒的条件是只有重力或者是弹力做功，根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，即可判断物体是否是机械能守恒.
10．【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A、物体以一定初速度沿光滑斜面上滑的过程，斜面的支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故A正确．
B、物体沿着斜面匀速上升，拉力做正功，其机械能一定增加，故B错误．
C、羽毛被水平抛出的运动过程，受重力和空气阻力，所以机械能不守恒，故C错误．
D、物体沿斜面匀速下滑，物体受力平衡，摩擦力和重力都要做功，所以机械能不守恒，故D错误．
故选：A．
【分析】物体机械能守恒的条件是只有重力做功，根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，即可判断物体是否是机械能守恒.
11．【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、水平抛出运动的气球有重力做功阻力做功，机械能不守恒；
B、匀速吊起的集装箱，动能不变，势能增加，机械能不守恒；
C物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒；
D、物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律mg－F＝m×g，有F＝mg，则物体受到竖直向上的大小为 mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒.
故选C.
【分析】除重力外，其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
12．【答案】D
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A、C从a到b的过程中，物体开始时重力大于弹簧的弹力，合力向下，物体做加速运动，弹力在增大，合力减小；当重力等于弹力时，速度达到最大，然后在运动的过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律知，合力向上，物体做减速运动，合力增大，到达最低点，速度为零．故物体的速度先增大后减小，动能也先增大后减小，合力先减小后增大．故AC错误．
B、物体的高度一直下降，重力做正功，重力势能一直减小．故B错误．
D、由于只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，即物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能总和不变，弹性势能一直增大，则动能和重力势能之和一直减少．故D正确
故选D.
【分析】根据物体所受的合力方向判断加速度的方向，根据速度方向与加速度方向的关系，判断其速度的变化．即可知道动能的变化．物体下降，重力做正功，重力势能必定减小．
13．【答案】C
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】
A球下落过程中，重力势能全部转化为小球的动能，B球下落时，重力势能转化为小球的动能和橡皮筋的弹性势能，由于两小球质量相同且下落高度一样，因此两球重力势能相等，A球的速度大于B球的速度，故ABD错误，C正确．
故选C．
【分析】弄清楚细绳与橡皮筋的区别是解本题的关键，若是细绳，下落过程只有重力势能与动能的转化，若为橡皮筋下滑时小球的重力势能不光转化为小球的动能还要转化为橡皮筋的弹性势能，因此理解了它们的区别便能正确解答本题．
14．【答案】B,D
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】两物体从同一高度下落，根据机械能综合应用知，它们到达水平面上时的动能相等，自由下落的物体先着地，重力做功的平均功率大，而着地时重力做功的瞬时功率等于重力与重力方向上的速度的乘积，故重力做功的瞬时功率不相等，故选BD.
【分析】根据机械能综合应用，分析动能变化，分析重力做功的功率。
15．【答案】B
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，根据机械能综合应用有mgH＝mg（R＋R）＋mvA2，解得vA＝，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝gt2，水平位移x＝vAt＝＝，故选项A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA>0，所以要求H>2R，选项CD错误．故选B.
【分析】根据机械能综合应用，分析出A处的速度，根据平抛运动公式分析位移。
16．【答案】减少；不守恒
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】汽车沿坡面向下运动，重力做正功，重力势能减小；由于动能、重力势能都减小，故机械能是减小的，还可以根据除重力外，还有阻力做负功，可知机械能减小．
【分析】根据机械能守恒的条件逐个分析物体的受力的情况，判断做功情况，判断势能的变化，判断物体是否是机械能守恒.
17．【答案】0
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】小球在空中运动不计阻力，故机械能守恒，取最高点势能为零小球在最高点的机械能为0。
【分析】根据机械能综合应用求解，明确初态和末态。
18．【答案】负；不相等
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】下降过程中，阻力始终与运动方向相反，做负功；由于任意相等的时间内下落的位移不等，所以，任意相等时间内重力做的功不等．
【分析】分析受力判断做功，判断机械能守恒。
19．【答案】A
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】A球下摆过程中，因机械能守恒
mgL＝mvA2①
B球下摆过程中，因机械能守恒
mgL＝Ep弹＋mvB2②
由①②得mvA2＝Ep弹＋mvB2
可见mvA2>mvB2（轻弹簧模型）
【分析】分析受力由机械能守恒分别列方程。
20．【答案】mv2
【知识点】机械能综合应用
【解析】物体的机械能守恒，在任何位置的机械能都相同，且E= mv2.
【分析】由机械能守恒求解.
21．【答案】对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mgh＝ mv2＋E弹，E弹＝mgh－mv2＝6 J，W弹＝－6 J.
即弹簧弹力对小球做功为－6 J.
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mgh＝ mv2＋E弹，E弹＝mgh－mv2＝6 J，W弹＝－6 J.
即弹簧弹力对小球做功为－6 J.
【分析】根据机械能综合应用，分析弹性势能变化，从而求出弹力做功
22．【答案】（1）小球从开始下滑至滑到圆环顶点的过程中，只有重力做功，故可用动能定理求出小球到半圆环最高点时的速度，再由牛顿第二定律求压力．由机械能综合应用得mg（h－2R）＝mv2小球在圆环最高点时，由牛顿第二定律，得
FN＋mg＝m
联立上述两式，代入数据得
FN＝40 N
由牛顿第三定律知，小球对圆环的压力大小为40 N
（2）小球能越过圆环最高点的临界条件是在最高点时只有重力提供向心力，即mg＝m①设小球应从H高处滑下，由机械能综合应用得
mg（H－2R）＝mv′2②
由①②得H＝2.5R＝2.5 m
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）小球从开始下滑至滑到圆环顶点的过程中，只有重力做功，故可用动能定理求出小球到半圆环最高点时的速度，再由牛顿第二定律求压力．
由机械能综合应用得
mg（h－2R）＝mv2
小球在圆环最高点时，由牛顿第二定律，得
FN＋mg＝m
联立上述两式，代入数据得
FN＝40 N
由牛顿第三定律知，小球对圆环的压力大小为40 N.（2）小球能越过圆环最高点的临界条件是在最高点时只有重力提供向心力，即mg＝m①
设小球应从H高处滑下，由机械能综合应用得
mg（H－2R）＝mv′2②
由①②得H＝2.5R＝2.5 m.
【分析】根据机械能综合应用，分析最低点的速度，根据向心力公式求压力；明确通过最高点的临界条件，根据机械能综合应用求高度关系.
23．【答案】（1）由机械能综合应用，得mgR＝，在B点FN－mg＝m，
联立以上两式得FN＝3mg＝3×0.1×10 N＝3 N
（2）设小物块在水平面上滑动的最大距离为l，对小物块运动的整个过程由动能定理得mgR－μmgl＝0，
代入数据得l＝＝ m＝0.4 m
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）由机械能综合应用，得mgR＝，在B点FN－mg＝m，
联立以上两式得FN＝3mg＝3×0.1×10 N＝3 N
（2）设小物块在水平面上滑动的最大距离为l，对小物块运动的整个过程由动能定理得mgR－μmgl＝0，
代入数据得l＝＝ m＝0.4 m
【分析】根据机械能综合应用，分析最低点的速度，根据向心力公式求压力；由动能定理求滑动距离.
24．【答案】（1）小球从A到B的过程中机械能守恒，有：mgh＝mvB2，①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有：H＝gt2，②
在水平方向上有：s＝vBt，③
联立①②③解得：s＝1.41 m．
（2）小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有：F－mg＝mvB2⑤
联立①⑤解得：F＝20 N
根据牛顿第三定律，F′＝－F，
轻绳所受的最大拉力大小为20 N
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）小球从A到B的过程中机械能守恒，有：mgh＝mvB2，①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有：H＝gt2，②
在水平方向上有：s＝vBt，③
联立①②③解得：s＝1.41 m．（2）小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有：F－mg＝mvB2⑤
联立①⑤解得：F＝20 N
根据牛顿第三定律，F′＝－F，
轻绳所受的最大拉力大小为20 N.
【分析】根据机械能综合应用，分析最低点的速度，根据平抛运动公式求位移，根据向心力公式求压力。
25．【答案】（1）由a球恰好能到达A点知m1g＝求出VA= 由机械能综合应用得
m1va2－m1vA2＝m1g·2R
得va＝.
（2）对于b球由机械能综合应用得：
mbvD2=mbg×10R
得vb=VD=
（3）由机械能综合应用得Ep＝m1va2＋m2vb2
得Ep＝7.5mgR.
【知识点】机械能综合应用
【解析】【解答】（1）
由a球恰好能到达A点知
m1g＝求出VA=
由机械能综合应用得
m1va2－m1vA2＝m1g·2R
得va＝
（2）
对于b球由机械能综合应用得：
mbvD2=mbg×10R
得vb=VD=
（3）
由机械能综合应用得
Ep＝m1va2＋m2vb2
得Ep＝7.5mgR.
【分析】根据机械能综合应用和通过最高点的临界条件求a初的速度；根据机械能综合应用和上升的最大高度求b的速度；由机械能综合应用求弹性势能。
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