人教版数学九上旋转模型（奔驰、手拉手、最值路径） 讲义（无答案）

旋转---奔驰模型 讲义
[模型讲解]
如图所示，在等边△ABC中，DA=3,DB=4,DC=5,则∠ADB=_______
思路：解决本题的关键是利用旋转让线段动起来，利用旋转构造手拉手模型证明全等，结合勾股定理，得到结论，请选择一种方法证明。
证明：
拓展：如上图所示，条件不变的情况下，请求出△ABC的面积
尝试练习：
1、如图，P是等边△ABC内一点，且PA=6,PC=8,PB=10,，若△APB绕点A逆时针旋转600后，得到△AP’C，则∠APC=_______
2、如图所示，在等边△ABC中，PA=8,PB=15,PC=17,则△ABC的面积=_______
典例：（2023成都）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整.
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=3, PB=4, PC=5.求∠APB的度数。
解:将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B，连接PP',则△AP'P为等边三角形.
∵P'P=PA=3, PB=4, PB=PC=5，∴P'P2+PB2=P'B2
△BPP'为_________三角形
∴∠APB的度数为_________.
类比延伸
如图2,在正方形ABCD内部有一点P, 若∠APD=135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由.
(3)联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC.点P在直线AB上方且∠APB=60°，试判断是否存在常数k，满足(kPA)2+PB2=PC2.若存在，求出k的值:若不存在，请说明理由.
直击中考：
（四川巴中）如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',有下列结论:①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到:②点O与O'的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO'=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正确的结论是( )
A①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③
2、（青岛）如图，在菱形ABCD中,∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD.若点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC若PA=6,PB=8,PC=10则菱形ABCD的面等于____
旋转---费马点模型 讲义
费马尔问题思考：
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
典例：已知，在△ABC中，∠ACB＝30°
（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；
（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数；
（3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为　 　．
变式练习：
1、 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）
A．+ B．+ C．4 D．3
2、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
3、将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC＝30°，点P为平面内一点．
（1）∠ACB＝　 　度；
（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；
（3）AP+BP+CP的最小值为　 　．
4、如图l，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长
（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝3，AB＝6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值．
旋转---最值、路径长 讲义
模型 （瓜豆原理）绕定点旋转
PA绕定点A逆时针旋转得到线段AA'.
基本结论:
点A'在与定直线a所夹的锐角为的定直线b上运动.
解决方法：手拉手构造旋转全等
题型一 运用垂线段最短求最值
【例1】如图，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，在点E运动过程中，DF的最小值为 .
【例2】如图，点B（0，3），点A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连接OC，求OC长的最小值.
针对练习：1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°.点B的对应点为点E，连接AE，求AE长的最小值.
2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1分别交x轴，y轴于点B，点A，点M为直线AB上一动点，连接OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90°，点O的对应点为点N.当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由.
3、如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝8.点M，N分别为AD，BC的中点，连接MN，点P是BC边上的动点，将PM绕点P顺时针方向旋转90°得PE，当点P从点B运动到点C的过程中，点E运动的路径长为 .
题型二 运用两边之和大于第三边求最值
【例3】如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝5，BP＝2，将PC绕点C逆时针旋转90°得线段CD，连接BD，当BP绕点B旋转时，线段BD的最小值为 .
针对练习1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，将PB绕点P逆时针旋转90°得PM，求AM长的最大值.
针对练习2、如图，边长为4的正方形ABCD外有点E ，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF.求CF的最大值.