集合的含义与表示
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名，以视区别.
若集合，就意味且.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.
元素与集合的关系
若是集合的元素，则称属于集合，记作；
若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.
Eg：菱形，.
脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？
答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；
有理数集，记作；实数集，记作.
集合的分类
有限集，无限集，空集.
Eg：奇数集属于无限集，.
集合的表示方法
① 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
用符号描述法表示集合时应注意：
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
Eg：
———方程的解，即；
———不等式的解集，即；
———函数的定义域，即；
———函数的值域，即；
———函数的图像，它是个点集.
【典题1】下列说法正确的是 ( )
某个村子里的高个子组成一个集合；
所有小的正数组成的集合；
集合和表示同一个集合；
这些数组成的集合有五个元素.
【典题2】设集合，若则 .
【典题3】用列举法表示集合 .
【典题4】 若集合至多有一个元素，则的取值范围是 ．
巩固练习
1 (★) 下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2(★) 以实数为元素所组成的集合最多含有( )个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
3(★) 下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是； (2)是自然数；
(3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于. .
其中正确的命题的个数是 ( )
A．１个 B．2个 C．3个 D．4个
(★★) 设集合，，，若，则 ( )
5(★★) 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
6(★★) 点的集合是指( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第一、第三象限内的点集 D．不在第二、第四象限内的点集
7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成则 ．
(★★) 若集合中只有一个元素，则实数的值为 ．
(★★) 用列举法表示集合 ．
10 (★★) 集合的元素个数为
11 (★★) 用列举法表示下列集合
(1)以内偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
12 (★★★) 已知集合
1)若是空集，求的取值范围；
2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
3)若中至多只有一个元素，求的取值范围.
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)集合的含义与表示
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名，以视区别.
若集合，就意味且.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.
元素与集合的关系
若是集合的元素，则称属于集合，记作；
若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.
Eg：菱形，.
脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？
答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；
有理数集，记作；实数集，记作.
集合的分类
有限集，无限集，空集.
Eg：奇数集属于无限集，.
集合的表示方法
① 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
用符号描述法表示集合时应注意：
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
Eg：
———方程的解，即；
———不等式的解集，即；
———函数的定义域，即；
———函数的值域，即；
———函数的图像，它是个点集.
【典题1】下列说法正确的是 ( )
某个村子里的高个子组成一个集合；
所有小的正数组成的集合；
集合和表示同一个集合；
这些数组成的集合有五个元素.
【解析】由于高个子、小的没有一个明确的标准，的对象不具备确定性；
中的三个数相等，相等，故集合只有个元素；
集合具有无序性，所以是正确的；故选.
【点拨】本题考核集合元素的三要素.
【典题2】设集合，若则 .
【解析】 或，
若则此时；
若则或
时，；
时则不符合集合的互异性，故.
综上 或．
【点拨】 本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；
当时此时不符合集合的互异性，故.
故求出集合后最好做下检查.
【典题3】用列举法表示集合 .
【解析】根据，且可得：
时，；时，；时，；
时，； 时，； 时，；
．
【点拨】
① 看集合先确定元素类型(本题中元素是，而不是)，再看元素需要满足的条件；
② 集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.
【典题4】 若集合至多有一个元素，则的取值范围是 ．
【解析】集合至多有一个元素，
或解得或
的取值范围是．
【点拨】注意二次项系数是否等于，先确认函数类型.
巩固练习
1 (★) 下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】 B
【解析】 选项不满足集合的确定性；集合正方形是确定的，
故能构成集合；选项不满足集合的互异性．
故选：．
2(★) 以实数为元素所组成的集合最多含有( )个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】当时此时集合共有2个元素；
当时此时集合共有1个元素；
当时此时集合共有2个元素，
故由以实数为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
故选：．
3(★) 下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是； (2)是自然数；
(3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于. .
其中正确的命题的个数是 ( )
A．１个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】 (1)集合中最小的数是0，(2)对，(3)不大于的自然数组成的集合是，(4)因为，所以可能小于，因此只有(2)是对的，故选A.
(★★) 设集合，，，若，则 ( )
【答案】
5(★★) 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则xyz也为负数，则，
②、中有一个为负数时，则xyz为负数，则，
③、中有两个为负数时，则xyz为正数，则，
④、全部为正数时，则也正数，则；
则；
分析选项可得符合．
6(★★) 点的集合是指( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第一、第三象限内的点集 D．不在第二、第四象限内的点集
【答案】
【解析】 指和同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选
7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成则 ．
【答案】
【解析】根据题意，由可得或，
又由的意义，则必有0
则，
则有即或
集合中则必有
则
故答案为：
(★★) 若集合中只有一个元素，则实数的值为 ．
【答案】或
【解析】由集合中只有一个元素，
当时即成立；
当时解得．成立．
综上或．
(★★) 用列举法表示集合 ．
【答案】 ．
【解析】根据题意，，
又因，，且是的整数倍，
或或，或或，
集合．
故答案为：．
10 (★★) 集合的元素个数为
【答案】
【解析】由题意，集合中的元素满足是整数，且是整数，
由此可得，，，，，，，，，，，；
此时的值分别为：，
符合条件的共有个，
11 (★★) 用列举法表示下列集合
(1)以内偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【解析】(1)；
(2)解方程，得，
故方程的所有实数根组成的集合为；
(3)解方程组得，
因此一次函数与的图象的交点为，故所求的集合为．
12 (★★★) 已知集合
1)若是空集，求的取值范围；
2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
3)若中至多只有一个元素，求的取值范围
【答案】 1) ; 2) 若，则有；若 ，则有；3) 或.
【解析】 1)若是空集，则方程无解，此时且，即.
2)若中只有一个元素
则方程有且只有一个实根
当时，方程为一元一次方程，满足条件；
当，此时，解得.
或
若，则有；若 ，则有；
3)若中至多只有一个元素，
则为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的的取值范围是：或.
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
