沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）
一、预备定理
1．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点，若，则DF等于（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴AD∥BC，CE=BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∴DF=8.
故答案为：D.
【分析】由正方形的性质得AD∥BC，CE=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似可得△ADF∽△CEF，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.
2．（2023九上·聊城月考）如图，由边长为的小正方形组成的虚线网格中，点、、、为格点即小正方形的顶点，、相交于点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
由图可知，点E是CD的中点
∵AC∥BE
，即
解得：
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，根据相似比即可求出答案.
3．（2023八下·招远期末） 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，、、、都在格点处，与相交于，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长CD交网格线于点E，如图所示：
∵AC//BE，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
故答案为：.
【分析】先证出△AOC∽△BOD，再利用相似三角形的性质可得.
4．（2023·黄山模拟） 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，
∴OM∥AB∥CD，
∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∵EF⊥BC，
∴EG∥AB∥CD，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴BG=CG，
∴CF=AF，
则EC=，，
∴EF=EG-FG=1，
∴OM-EF=
故答案为：A．
【分析】证明△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，得出 ，进而根据中位线的性质求得EC，FG，进而即可求解．
5．（2021九下·武汉月考）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.
（1）如图1，若点E为AB的中点，且 ，求 的值；
（2）如图2，若 ， ，且 ，求BE与CF的数量关系；
（3）如图3，若 ， ，且 ，试直接写出边AC的长为 .
【答案】（1）解：作EG∥AC 交BC于G
∴ ，
，
，
∵ ，即 ，
（2）解：作 CM∥AB 交DE于M ，MN⊥AC于N，
∵ ，且 ，
∴∠A=∠AFE=30°，
∵CM∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴CN=FN= MN，MC=2MN，
∴ ，
∵ ，CM∥AB，
∴ ，
；
（3）
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，
∵ ，
∴ ，
∴EG∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴BC=2， ， ， ，
设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，即 ，
，
， ，
解得， ， ， （舍去），
∵EG∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴ ，
∴AC= ；
【分析】（1）作EG∥AC 交BC于G，根据平行线分线段成比例先得出BG=CG=BC，再得
，据此即得结论；
（2） 作 CM∥AB 交DE于M ，MN⊥AC于N， 证得，根据直角三角形的性质得出CN=FN= MN，MC=2MN，从而得出，继而得出结论；
（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，根据平行线分线段成比例看额求出BC、CG、BG、DG的长，设 ， ，则 ，由，求出，利用勾股定理建立方程从而求出a、b值，由EG∥AC，可证△BEG∽△BAC，
得出，代入相应数据即可求出结论.
二、两角分别相等(AA)
6．（2023九上·长春月考）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．
（1）求证：∽．
（2）计算点到直线的距离为 ．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵矩形ABCD，，
∴DC=AB=6，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：，
∵∽，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，再结合，即可得到∽；
（2）先利用勾股定理求出DE的长，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AF的长即可.
7．（2023·嘉定模拟） 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点．
（1）求证：∽；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：，
．
、分别是和的外角，
，，
，
．
又，
∽．
（2）证明：，，
．
，
∽，
，
即．
在和中，
，
≌，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角求出 ，，再利用相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出∽， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
8．（2022·菏泽）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠C=∠BEC， 再求出 ∠D=∠ABC， 最后证明求解即可。
9．（2023九上·大名月考）如图，在中，是边上一点.
（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长.
【答案】（1）.解：①证明：∵，，∴；
②∵，∴，即，∴；
（2）解：由题意，∵，∴.∵，
∴，∴.∵，∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟悉三角形判定的方法和性质是解题关键。
（1）根据和可知；②根据得，可知长；
（2）根据得，结合证，得，则知.
10．（2023·碧江模拟） 如图，已知菱形，点是上的点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，连接，延长，交延长线于点．
（1）求证：∽；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
由对称知，，
，
四边形是菱形，
，
，
∽；
（2）解：由翻折知：，
∽，
，即，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出CD∥AB，∠A=∠BCD，根据折叠的性质可得则，根据平行线的性质可得，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质求得CG，进而根据即可求解．
三、两边成比例且夹角相等（SAS）
11．（2023九上·成都期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
12．如图所示，在中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分，交DE于点.已知，求AF：AG的值.
【答案】解：
，
∴.
又
，
即
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED，由相似三角形对应角平分线的比等于相似比可得，据此可得答案.
13．（2023九上·东阿月考）如图，，平分，点为的中点，连接交于点．
（1）求证：
（2）求证：
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：平分，
，且，
，
（2）证明：平分，
，
，为中点
，
，
，
（3）解：
，且
，
，且，，
，
，且
．
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据角平分线求出， 再求出BM=DM，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（3）根据平行线的性质求出 ，再求出，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
四、相似综合判定
14．（2020九上·微山期末）如图， 中， ， ， .将 沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①② D．④
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不成比例，故两三角形不相似；
综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．
15．（2023·杨浦模拟）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故A不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴， 故C不符合题意；
在和中只有，不能证明，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由，，可证；由角平分线的定义可得，再利用三角形外角的性质可推出，根据两角分别相等可证；由，，根据两角分别相等可证，继而判断即可.
16．（2023·重庆市模拟）如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为边上一动点，连接、交于点，连接，当时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作的垂线交于点，交于点，
，
是的中点，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
17．（2023八下·潍坊期末）如图，是正方形，E是的中点，P是边上的一动点，下列条件中，能得到与相似的是（ ）
A． B．P是的中点 C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】A、∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵，∴△ABP∽△ECP，∴A符合题意；
B、∵正方形ABCD，P是BC的中点，E是CD的中点，∴PB=PC=CE，∴△PCE是等腰直角三角形，△ABP不是等腰直角三角形，∴与不相似，∴B不符合题意；
C、∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵，∴△ABP∽△PCE，∴C符合题意；
D、∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=90°，∵，∴设AB=3a，则BP=2a，PC=a，CE=1.5a，∴，∴△ABP∽△ECP，∴D符合题意；
故答案为：A、C、D.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可.
18．如图所示，是的重心，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的是 .(填序号)
【答案】①②③
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BG=2DG，CG=2DG，
∴，故①正确；
∵，∠EGD=∠CGB，
∴△BCG∽△DEG，故③正确；
∴∠BCE=∠DEC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，故②正确；
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段，据此可得，结合∠EGD=∠CGB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCG∽△DEG，由相似三角形对应角相等得∠BCE=∠DEC，推出ED∥BC，再根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比例得，进而根据相似三角形面积的比等于相似比可得，再根据同高三角形的面积之比就是底之比可得，推出，据上即可一 一判断得出答案.
五、折叠问题（相似综合）
19．（2023·潼南模拟）如图，矩形纸片，，，点、分别在、上，把纸片按如图所示的方式沿折叠，点、的对应点分别为、，连接并延长交线段于点，为线段中点，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，设AG与EF交于点M，如图，
在矩形ABCD中，AB=2，G是CD的中点，
∴DG=CD=AB=，
在Rt△ADG中，AD=4，
∴AG=，
∵折叠，
∴AG⊥EF，
∴∠AEM+∠DAG=∠AGD+∠DAG=90°，
∴∠AEM=∠AGD，
在△FEH和△AGD中，
∴△FEH∽△AGD，
∴，
∴，
解得，EF=.
故答案是：.
【分析】过点F作FH⊥AD于H，设AG与EF交于点M，根据勾股定理求出AG长，再证明△FEH∽△AGD，利用相似三角形的性质即可求解.
20．（2023·杭州模拟）如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，m= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，矩形ABCD，
∴设CP=x，则CD=AB=4x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵点H是BC的中点，
∴BC=2CH=2BH，
∵ 将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．
∴∠EHM=90°，AE=EH，
∴∠CHP+∠BHE=90°，∠CHP+∠CPH=90°，
∴∠CPH=∠BHE，
∴△CPH∽△BHE，
∴即
解之：BC2=4xBE，
∵AE=AB-BE，AE=EH=4x-BE，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2，
∴（4x-BE）2=BE2+（BC）2，
∴（4x-BE）2=BE2+4xBE，
解之：，，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，设CP=x，则CD=AB=4x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，利用线段中点的定义可证得BC=2CH=2BH；利用折叠的性质可证得∠EHM=90°，AE=EH，利用余角的性质可得到∠CPH=∠BHE，由此可推出△CPH∽△BHE，利用相似三角形的性质可表示出BC2，同时可表示出AE的长；再利用勾股定理可表示出BE，BC的长；然后求出m的值.
21．（2022九下·淮南月考）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．
（1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则 ；
（2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；
（3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．
【答案】（1）
（2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B，
∴∠PCD=∠B，
∵∠CPD=∠BPC，
∴△CPD∽△BPC，
∴，
设DP=5k，CP=8k，
∵CP2=PD PB，
∴64k2=5k（5k+5），
∴k=，
∴PD=5k=
（3）解：①如图③-a，
当∠FMD=90°时，
∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°，
∴△FDM∽△BAC，
∴，
∴，
∴DM=3，
∴CM=CD-DM=2，
∵∠ECM=∠B，
∴∠CME=∠ACB=90°，
∴△CEM∽△BAC，
∴，
∴，
∴CE=，
∴BE=；
如图③b，
当∠FDM=90°时，
∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME，
∴∠CEM=∠FDM=90°，
∴∠FED=∠BED=45°，
作DH⊥BC于H，
则△BDH∽△BAC，
∴，
∴，
∴DH=3，BH=4，
∴EH=DH=3，
∴BE=3+4=7．
综上所述，BE=或7．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：连接CD，
∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，
∴AB==10，
∵点D是AB边上的中点，
∴CD=BD=AB=5，
∴∠DCB=∠B，
∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠F=∠B，EF=EB=2，
∵∠CGD=∠FGE，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）连接CD，由勾股定理求出AB=10，由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD=AB=5，利用等边对等角可得∠DCB=∠B，由折叠可得∠F=∠B，EF=EB=2，证△CDG∽△FEG，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）证明△CPD∽△BPC，可得，即得CP2=PD PB， 设DP=5k，CP=8k，代入等式求出k值，即可求解；
（3）分两种情况：①当∠FMD=90°时，②当∠FDM=90°时， 根据相似三角形的判定与性质分别求解即可.
六、阅读理解型（相似相关）
22．（2023九上·聊城月考）如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则、、的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设CH交GF于点M，由题意可得：
GF∥DE，∠GDE=∠DGF=90°
∴四边形DHMG是矩形
∴DG=MH
∵CH=h，AB=x， 正方形的边长是
∴MH=x
∴CM=CH-MH=h-x
故答案为：D
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代入相应边长，化简即可求出答案.
23．（2022九上·杭州期中）从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
【答案】（1）证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
∽，
是的完美分割线
（2）解：如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，则．
如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
．
如图所示，
当时，．
∽，
，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
这与矛盾，
所以图的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或；
（3）解：是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
是的完美分割线，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据完美分割线的定义，证明不是等腰三角形，再证明为等腰三角形，最后证明即可；
（2）根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①AD=CD；②AD=AC；③AC=CD，然后结合完美分割线的定义得：，即可分别求出的度数；
（3）根据题意求AD，再根据，求出BD，再根据相似，对应边互相成比例即可求出CD.
24．（2022九上·宁波期中）如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝ ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点P为△ABC的布罗卡尔点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：.
【分析】由题意易得∠CAB=∠CBA=45°，由点P为△ABC的布罗卡尔点及等式性质可推出进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△PAB∽△PBC，根据相似三角形对应边互相成比例，得，即可得到PA、PC的值，进而可算出PA+PC.
1 / 1沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）
一、预备定理
1．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点，若，则DF等于（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2023九上·聊城月考）如图，由边长为的小正方形组成的虚线网格中，点、、、为格点即小正方形的顶点，、相交于点，则的长为 ．
3．（2023八下·招远期末） 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，、、、都在格点处，与相交于，则 ．
4．（2023·黄山模拟） 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·武汉月考）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.
（1）如图1，若点E为AB的中点，且 ，求 的值；
（2）如图2，若 ， ，且 ，求BE与CF的数量关系；
（3）如图3，若 ， ，且 ，试直接写出边AC的长为 .
二、两角分别相等(AA)
6．（2023九上·长春月考）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．
（1）求证：∽．
（2）计算点到直线的距离为 ．
7．（2023·嘉定模拟） 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点．
（1）求证：∽；
（2）如果，求证：．
8．（2022·菏泽）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
9．（2023九上·大名月考）如图，在中，是边上一点.
（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长.
10．（2023·碧江模拟） 如图，已知菱形，点是上的点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，连接，延长，交延长线于点．
（1）求证：∽；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
三、两边成比例且夹角相等（SAS）
11．（2023九上·成都期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，在中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分，交DE于点.已知，求AF：AG的值.
13．（2023九上·东阿月考）如图，，平分，点为的中点，连接交于点．
（1）求证：
（2）求证：
（3）若，，求的长．
四、相似综合判定
14．（2020九上·微山期末）如图， 中， ， ， .将 沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①② D．④
15．（2023·杨浦模拟）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·重庆市模拟）如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为边上一动点，连接、交于点，连接，当时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023八下·潍坊期末）如图，是正方形，E是的中点，P是边上的一动点，下列条件中，能得到与相似的是（ ）
A． B．P是的中点 C． D．
18．如图所示，是的重心，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的是 .(填序号)
五、折叠问题（相似综合）
19．（2023·潼南模拟）如图，矩形纸片，，，点、分别在、上，把纸片按如图所示的方式沿折叠，点、的对应点分别为、，连接并延长交线段于点，为线段中点，则线段的长为 ．
20．（2023·杭州模拟）如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，m= ．
21．（2022九下·淮南月考）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．
（1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则 ；
（2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；
（3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．
六、阅读理解型（相似相关）
22．（2023九上·聊城月考）如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则、、的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022九上·杭州期中）从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
24．（2022九上·宁波期中）如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴AD∥BC，CE=BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∴DF=8.
故答案为：D.
【分析】由正方形的性质得AD∥BC，CE=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似可得△ADF∽△CEF，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.
2．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
由图可知，点E是CD的中点
∵AC∥BE
，即
解得：
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，根据相似比即可求出答案.
3．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长CD交网格线于点E，如图所示：
∵AC//BE，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
故答案为：.
【分析】先证出△AOC∽△BOD，再利用相似三角形的性质可得.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，
∴OM∥AB∥CD，
∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∵EF⊥BC，
∴EG∥AB∥CD，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴BG=CG，
∴CF=AF，
则EC=，，
∴EF=EG-FG=1，
∴OM-EF=
故答案为：A．
【分析】证明△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，得出 ，进而根据中位线的性质求得EC，FG，进而即可求解．
5．【答案】（1）解：作EG∥AC 交BC于G
∴ ，
，
，
∵ ，即 ，
（2）解：作 CM∥AB 交DE于M ，MN⊥AC于N，
∵ ，且 ，
∴∠A=∠AFE=30°，
∵CM∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴CN=FN= MN，MC=2MN，
∴ ，
∵ ，CM∥AB，
∴ ，
；
（3）
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，
∵ ，
∴ ，
∴EG∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴BC=2， ， ， ，
设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，即 ，
，
， ，
解得， ， ， （舍去），
∵EG∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴ ，
∴AC= ；
【分析】（1）作EG∥AC 交BC于G，根据平行线分线段成比例先得出BG=CG=BC，再得
，据此即得结论；
（2） 作 CM∥AB 交DE于M ，MN⊥AC于N， 证得，根据直角三角形的性质得出CN=FN= MN，MC=2MN，从而得出，继而得出结论；
（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，根据平行线分线段成比例看额求出BC、CG、BG、DG的长，设 ， ，则 ，由，求出，利用勾股定理建立方程从而求出a、b值，由EG∥AC，可证△BEG∽△BAC，
得出，代入相应数据即可求出结论.
6．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵矩形ABCD，，
∴DC=AB=6，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：，
∵∽，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，再结合，即可得到∽；
（2）先利用勾股定理求出DE的长，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AF的长即可.
7．【答案】（1）证明：，
．
、分别是和的外角，
，，
，
．
又，
∽．
（2）证明：，，
．
，
∽，
，
即．
在和中，
，
≌，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角求出 ，，再利用相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出∽， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
8．【答案】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠C=∠BEC， 再求出 ∠D=∠ABC， 最后证明求解即可。
9．【答案】（1）.解：①证明：∵，，∴；
②∵，∴，即，∴；
（2）解：由题意，∵，∴.∵，
∴，∴.∵，∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟悉三角形判定的方法和性质是解题关键。
（1）根据和可知；②根据得，可知长；
（2）根据得，结合证，得，则知.
10．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
由对称知，，
，
四边形是菱形，
，
，
∽；
（2）解：由翻折知：，
∽，
，即，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出CD∥AB，∠A=∠BCD，根据折叠的性质可得则，根据平行线的性质可得，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质求得CG，进而根据即可求解．
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
12．【答案】解：
，
∴.
又
，
即
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED，由相似三角形对应角平分线的比等于相似比可得，据此可得答案.
13．【答案】（1）证明：平分，
，且，
，
（2）证明：平分，
，
，为中点
，
，
，
（3）解：
，且
，
，且，，
，
，且
．
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据角平分线求出， 再求出BM=DM，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（3）根据平行线的性质求出 ，再求出，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
14．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不成比例，故两三角形不相似；
综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．
15．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故A不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴， 故C不符合题意；
在和中只有，不能证明，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由，，可证；由角平分线的定义可得，再利用三角形外角的性质可推出，根据两角分别相等可证；由，，根据两角分别相等可证，继而判断即可.
16．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作的垂线交于点，交于点，
，
是的中点，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
17．【答案】A,C,D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】A、∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵，∴△ABP∽△ECP，∴A符合题意；
B、∵正方形ABCD，P是BC的中点，E是CD的中点，∴PB=PC=CE，∴△PCE是等腰直角三角形，△ABP不是等腰直角三角形，∴与不相似，∴B不符合题意；
C、∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵，∴△ABP∽△PCE，∴C符合题意；
D、∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=90°，∵，∴设AB=3a，则BP=2a，PC=a，CE=1.5a，∴，∴△ABP∽△ECP，∴D符合题意；
故答案为：A、C、D.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可.
18．【答案】①②③
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BG=2DG，CG=2DG，
∴，故①正确；
∵，∠EGD=∠CGB，
∴△BCG∽△DEG，故③正确；
∴∠BCE=∠DEC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，故②正确；
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段，据此可得，结合∠EGD=∠CGB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCG∽△DEG，由相似三角形对应角相等得∠BCE=∠DEC，推出ED∥BC，再根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比例得，进而根据相似三角形面积的比等于相似比可得，再根据同高三角形的面积之比就是底之比可得，推出，据上即可一 一判断得出答案.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，设AG与EF交于点M，如图，
在矩形ABCD中，AB=2，G是CD的中点，
∴DG=CD=AB=，
在Rt△ADG中，AD=4，
∴AG=，
∵折叠，
∴AG⊥EF，
∴∠AEM+∠DAG=∠AGD+∠DAG=90°，
∴∠AEM=∠AGD，
在△FEH和△AGD中，
∴△FEH∽△AGD，
∴，
∴，
解得，EF=.
故答案是：.
【分析】过点F作FH⊥AD于H，设AG与EF交于点M，根据勾股定理求出AG长，再证明△FEH∽△AGD，利用相似三角形的性质即可求解.
20．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，矩形ABCD，
∴设CP=x，则CD=AB=4x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵点H是BC的中点，
∴BC=2CH=2BH，
∵ 将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．
∴∠EHM=90°，AE=EH，
∴∠CHP+∠BHE=90°，∠CHP+∠CPH=90°，
∴∠CPH=∠BHE，
∴△CPH∽△BHE，
∴即
解之：BC2=4xBE，
∵AE=AB-BE，AE=EH=4x-BE，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2，
∴（4x-BE）2=BE2+（BC）2，
∴（4x-BE）2=BE2+4xBE，
解之：，，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，设CP=x，则CD=AB=4x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，利用线段中点的定义可证得BC=2CH=2BH；利用折叠的性质可证得∠EHM=90°，AE=EH，利用余角的性质可得到∠CPH=∠BHE，由此可推出△CPH∽△BHE，利用相似三角形的性质可表示出BC2，同时可表示出AE的长；再利用勾股定理可表示出BE，BC的长；然后求出m的值.
21．【答案】（1）
（2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B，
∴∠PCD=∠B，
∵∠CPD=∠BPC，
∴△CPD∽△BPC，
∴，
设DP=5k，CP=8k，
∵CP2=PD PB，
∴64k2=5k（5k+5），
∴k=，
∴PD=5k=
（3）解：①如图③-a，
当∠FMD=90°时，
∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°，
∴△FDM∽△BAC，
∴，
∴，
∴DM=3，
∴CM=CD-DM=2，
∵∠ECM=∠B，
∴∠CME=∠ACB=90°，
∴△CEM∽△BAC，
∴，
∴，
∴CE=，
∴BE=；
如图③b，
当∠FDM=90°时，
∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME，
∴∠CEM=∠FDM=90°，
∴∠FED=∠BED=45°，
作DH⊥BC于H，
则△BDH∽△BAC，
∴，
∴，
∴DH=3，BH=4，
∴EH=DH=3，
∴BE=3+4=7．
综上所述，BE=或7．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：连接CD，
∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，
∴AB==10，
∵点D是AB边上的中点，
∴CD=BD=AB=5，
∴∠DCB=∠B，
∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠F=∠B，EF=EB=2，
∵∠CGD=∠FGE，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）连接CD，由勾股定理求出AB=10，由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD=AB=5，利用等边对等角可得∠DCB=∠B，由折叠可得∠F=∠B，EF=EB=2，证△CDG∽△FEG，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）证明△CPD∽△BPC，可得，即得CP2=PD PB， 设DP=5k，CP=8k，代入等式求出k值，即可求解；
（3）分两种情况：①当∠FMD=90°时，②当∠FDM=90°时， 根据相似三角形的判定与性质分别求解即可.
22．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设CH交GF于点M，由题意可得：
GF∥DE，∠GDE=∠DGF=90°
∴四边形DHMG是矩形
∴DG=MH
∵CH=h，AB=x， 正方形的边长是
∴MH=x
∴CM=CH-MH=h-x
故答案为：D
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代入相应边长，化简即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
∽，
是的完美分割线
（2）解：如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，则．
如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
．
如图所示，
当时，．
∽，
，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
这与矛盾，
所以图的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或；
（3）解：是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
是的完美分割线，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据完美分割线的定义，证明不是等腰三角形，再证明为等腰三角形，最后证明即可；
（2）根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①AD=CD；②AD=AC；③AC=CD，然后结合完美分割线的定义得：，即可分别求出的度数；
（3）根据题意求AD，再根据，求出BD，再根据相似，对应边互相成比例即可求出CD.
24．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点P为△ABC的布罗卡尔点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：.
【分析】由题意易得∠CAB=∠CBA=45°，由点P为△ABC的布罗卡尔点及等式性质可推出进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△PAB∽△PBC，根据相似三角形对应边互相成比例，得，即可得到PA、PC的值，进而可算出PA+PC.
1 / 1
