2008数学综合应用问题_（总结+例题+练习）

[本周教学内容]：应用问题
　　[重点]：分析数量关系，建立数学模型
　　复习目标：
　　1．学会审题：题意较难理解是应用题的特点，所以对应用题必须认真仔细反复阅读，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义，分析已知条件，明确所求结论，把实际问题转化为数学问题。
　　2．正确建模与解模：在审题的基础上，联想数学知识和方法恰当地引入参数或适当坐标系，列出满足题意的数学关系式或作出满足题意的几何图形。解模时要特别注意：
　　（1）所建模型中函数自变量的实际意义。
　　（2）解模涉及的近似计算要保持一定的精确度。
　　·应用题的常见类型及对策：
　　（1）与函数、方程（组）、不等式（组）有关的题型
　　常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
　　解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值，均值定理用的较多。
　　（2）与数列有关的问题
　　常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
　　解决这类问题常构造等差数列、等比数列，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
　　（3）与空间图有关的题型：
　　常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
　　解决此类问题常利用立体几何，三角方面的有关知识 。
　　（4）与直线、圆锥曲线有关的题型
　　常涉及定位，人造地球卫星，光的折射，反光灯、桥梁等实际问题。
　　常通过建立直角坐标系，运用解析几何来解决。
　　（5）与正余弦定理及三角变换有关题型，常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。
　　（6）与排列组合有关的问题，适用排列组合知识解决。
　　[例题讲解]：
　　例1．一个凸n边形的内角的度数成等差数列，如果公差是5°，且最大角是160°，则n为__________。
　　解：方法（1）按凸多边形内角和为(n-2)180°解题，设最小内角度数为a1,
　　则
　　(1) 得 a1=165-5n 代入(2)
　　整理为： n2+7n-144=0
　　n1=9, n2=-16(舍)，则n为9。
　　方法（2）按凸多边形对角和为360°解题。
　　由已知最大内角为160°，得最小外角为20°，外角公差也是5°，
　　则
　　整理为：n2+7n-144=0
　　n1=9, n2=-16(舍)
　　例2．某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出一组中奖号码是3，9，7，4，1，5，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，一位顾客可能抽出的不同号码组成有m组，其中可以中奖的号码组共有n组，则n:m的值为________。
　　解：方法（1）不计号码顺序
　　
　　
　　n∶m=5∶42.
　　方法（2）将得奖的奖卷数，制成的奖卷数都计算出来
　　
　　n∶m=5∶42.
　
　例3．要挖一个半圆柱形的水池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则水池的最大容积是多少？
　　解：设圆柱底面半径是r，母线长为l,则 4r+2l=2a, 2r+l=a, l=a-2r.
　　.
　　当且仅当r=a-2r, 时，。
　　例4．如果一辆货车每天行驶的路程比原来多19公里，那么在8天内它的行程就超过2200公里；如果它每天行程比原来少12公里，那么它行驶前面同样的路程就得用9天多的时间，那么这辆货车原来每天行驶路程的范围是______（公里）。
　　解：设这辆货车原来行驶的路程是x公里，
　　则
　　(1): x>256
　　(2) : x<260
　　∴ 原来每天行驶路程范围是(256, 260)公里。
　例5．一个球自12米高的地方自由下落，触地后回弹的高度是下落高度的，到球静止在地面上为止，球运动的总路程为_______米。
　　分析：落地后第一次回弹的高度为3米，再落地时经过的路程为2×3米。
　　第二次回弹的高度为米，再落地时又经过的路程为米。
　　第三次回弹的高度为米，再落地时，又经过的路程为米。
　　解：总路程
　
　　例6．某公司在2002年年初用98万元购进一辆大客车。并投入营运，第一年需缴各种费用12万元。从第二年起，包括维修保养费在内，每年所缴的费用均比上一年增加4万元；该客车投入营运后每年票款收入为50万元，设营运n年该车的盈利额为y万元。
　　（1）写出y表示为n的函数关系式；
　　（2）从哪一年开始，该客车开始获利（盈利为正值）。
　　分析：收入：每年收入50（万元），n年收入50n（万元）；
　　支出，买车98（万元）第一年缴费用12（万元），第二年缴费用12+4（万元），第三年缴费用12+4×2（万元）……
　　n年共支出。
　　解：（1）=-2n2+40n-98.
　　（2）令-2n2+40n-98>0
　　n2-20n+49<0
　　设 n2-20n+49=0
　　
　　∴,
　　∵
　　∴ 从第三年即2004年开始获利。
　　例7．用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息为1%）若一个月后付第一个月的分期付款，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付多少元？
　　分析：付款情况分述如下：
　　先付款 150（元）
　　第一次分期付款：a1=50+(1150-150)×1%=60(元)
　　第二次分期付款：a2=50+(1150-150-50)×1%=59.5(元)
　　第三次分期付款：a3=50+(1150-150-50×2)×1%=59(元)
　　……
第n次分期付款：an=50+[1150-150-(n-1)50]×1%=60-(n-1)。(n∈[1,20]，n∈N).
　　解：（1）第十次交分期付款全额为
　　a10=60-=55.5(元)
　　（2）实际付款金额为
　　S=150+(a1+a2+……+a20)
　　=150+20×60+×20(20-1)×(-)
　　=1255元。
　　[本周练习]
　　一、填空题：
　　1．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上下底面半径之比为3∶4，若圆台侧面积为pcm2，则圆台母线长为____________。
　　2．如图所示，轮船在海上以40公里/小时的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则轮船到达C点与灯塔A的距离是___________公里（可以保留根号）。
3．做一个容积为3m3的圆柱形锅炉，两底材料每平方米价格为3000元，侧面材料每平方米价格为2000元，那么最节省的材料费为（=1.5）__________元。
　　4．某产品的总成本y(万元)与产量x（台）之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0　　5．世界杯是球赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某足球队在比赛中，赛12场，得19分，其中取胜的场数是________。
　　二、解答题：
　　1．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元。
　　（1）求该厂多少天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少？
　　（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？应说明理由。
　　2．某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下二种分期付款的方案购车：
　　方案（一）分三次付清，购买后4个月第一次付款，再过4个月第二次付款，再过4个月第三次付款。
　　方案（二）分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第二次付款……购买后12个月第12次付款。
　　规定分期付款中每期付款额相同；月利息0.8%，每月利息按复利计算，即上月的利息要记入下月本金。
　　（1）试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？
　　（2）若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资。可获月增长2%的收益，为此决定对一次性付款给予降价P%的优惠，为保证一次性付款经过一年后的本金低于方案（一）（二）中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年后的本金，试确定P的取值范围。
　　（注：计算结果保留三位有效数据，参考数据：1.0083≈1.024； 1.0084≈1.033； 1.00811≈1.092； 1.00812≈1.1； 1.0211≈1.243；　 1.0212≈1.268）
　　
参考答案：
　　一、填空题：
　　1. cm；　　 2. 　　 3. 27000　　 4. 150　　 5. 4,5,6
　　二、解答题
　　1. (1) 每隔10天购一次面粉。(2) 厂家应接受此优惠条件。
　　略解：(1) y1={3[6x+6(x-1)+……+6×2+6×1]+900}+6×1800≥10989.
　　x=10时，取等号。
　　(2) 设隔 x(x≥35)天购一次面粉，平均每天费用y2元，则有
　　y2=[9×(x+1)+900]+6×1800×0.9
　　当x=35时，y2<10989.
　　2. (1) 第（二）种方案付款总额较少
　　(2) 4　　略解：（1）方案（一）设每次付款额为x1万元，则有x1·=10·1.00812.
　　得x1=3.63(万元)，总额为3x1=10.89(万元)。
　　方案（二），设每次付款额为x2万元，则有
　　x2·=10·1.00812.
　　得x2=0.88(万元)，总额为12x2=10.56(万元)
　　（2）
　　解得：4第 1 页 共 7 页