12.1 二次根式
教学目标
1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；
2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；
3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．
教学重点
探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．
教学难点
1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；
2．理解、掌握、运用二次根式性质（）2＝a（a≥0）．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情景引入：
情景一 这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．
如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？
如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？
情景二
这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？
观察图片，回答问题．
学生一：正方形的边长是m；
学生二：圆的半径是 m；
学生三：钢索的长度是m．
给学生展现生活中常见的两张图片，让学生感受到数学知识的学习的源动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现．
课题引入：
、、、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？
积极思考，回答问题．
1．这些式子都含有根号…；
2．符合这些特征的式子有：、、、…．
从由学生熟悉的情景入手得到式子，结合平方根的概念，引导学生理解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的意义．
思考探索一：
1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（x、y异号）．
2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（m≤0）
3．（ 1）当a＜0时，有意义吗？为什么？
（2）当a≥0时，可能为负数吗？为什么？
1．互相讨论，踊跃回答：
参考答案：（1）、（2）是二次根式，（3）、（4）都不是．
2．独立思考，直接回答：
参考答案：（1）、（3）、（4）是二次根式，（2）不是．
3．集体讨论，代表解答：
（1）没有意义，因为负数没有算术平方根；
（2）不可能，即是非负数，当a≥0时，≥0．
通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，问题设置的目的，是使学生充分理解二次根式的意义．
思考探索二：
1．例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．练习：课本P149第1题．
1．小组讨论，代表回答：
（1）解：由二次根式的意义知：x＋1≥0，∴x≥－1，
∴当x≥－1时， 式子在实数范围内有意义．
（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x2＋2≥0．
∴x取任何实数时，式子在实数范围内都有意义．
（3）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有－x2≤0，
又∵二次根式的被开方数大于等于零；
∴－x2≥0，∴x2＝0，即x＝0 ，
∴当x＝0时， 式子在实数范围内有意义．
（4）解：由题意知：
．
∴3－2x＞0，∴x＜，
∴当x＜时，在实数范围内有意义．
2．独立思考，直接回答．
通过学生相互讨论设置的问题2，侧重巩固对二次根式意义的理解，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推理能力．
思考探索三：
1．的意义是什么？你会计算（）2吗？类似地，（）2、（）2、（）2、（）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（）2的结果是什么？
2．例3 计算：
（1）（）2；（2）（）2；
（3）（）2（a＋b≥0）．
3．例4 计算：
（1）（）2－（）2；
（2）（3）2；（3）（－2）2．
4．如图，长3米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．
5．练习：《课本》P149第2题．
1．小组交流，代表回答：
是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，（）2＝2，同理：（）2＝4，（）2＝9，（）2＝0．01，（）2＝30．
事实上，（a≥0）是a的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当a≥0时，（）2 ＝ a．
2．解：（1）（）2 ＝ 12；（2）（）2 ＝；
（3）当a＋b≥0时，（）2＝a＋b．
3．解：（1）（）2－（）2 ＝ x 2＋1－x2＝1；
（2）（3）2＝32×（）2＝9×6＝54；
（3）（－2）2＝（－2）2×（）2＝4×＝2．
4．h＝4米．
5．略．
通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用算术平方根的意义进行科学的说理验证．
通过问题2的设置，理解二次根式的性质，能直接运用其性质解决问题．
通过问题3、4的设置，理解二次根式的性质，能运用其性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解和综合运用能力．
总结：
1．二次根式的意义；
2．二次根式有意义的条件；
3．二次根式的基本性质．
讨论后共同小结．
师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．
课后作业：
1．《课本》P151第1、2题．
2．思考：若实数x、y满足＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．
独立完成，自查反馈．
进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．
课件24张PPT。12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1） 正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边长是 m ．12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1） 圆形花坛的面积为S，那么这个圆的半径是 . 12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1） 形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中，a叫被开方数． 12.1 二次根式（1） 例1 下列哪些式子是二次根式？为什么？解：（1）、（2）是二次根式． （1） ；（2） ；（3） ； （4） （x、y异号）.12.1 二次根式（1） 说一说，下列各式是二次根式吗?解：（1）、（3）、（4）是二次根式 . （3） ； （4） （m≤0）.（1） ； （2） ；12.1 二次根式（1） 例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？（3） ； （4） .（1） ； （2） ；12.1 二次根式（1）∴当x为任意实数时，式子 在
实数范围内有意义.解：由x＋1≥0，则x≥－1．
∴当x≥－1时，式子 在实数范围内有意义.解：∵在实数范围内，不论x取什么值，
恒有x2 ＋2＞0， （1）（2）12.1 二次根式（1）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有
－x2≤0； 又∵二次根式的被开方数大于等于零；∴当x＝0时， 式子 在实数范围内有意义.∴ －x2＝0，即x＝0；（3）12.1 二次根式（1）解：由题目条件： 解①得：x≤ ；解②得：x≠ ．∴不等式组的解集为：x＜ ．∴当x＜ 时, 式子 在实数范围内有意义.（4）12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1）练习：《课本》P149第1题． 12.1 二次根式（1） 1. 的意义是什么？你会计算（ ）2吗？类似地，（ ）2、（ ）2、（ ）2、（ ）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（ ）2的结果是什么？12.1 二次根式（1） 例3 计算：
（1）（ ）2； （2）（ ）2；
（3）（ ）2（a＋b≥0）.
12.1 二次根式（1） 例4 计算：
（1）（ ）2－（ ）2；
（2）（ ）2；
（3）（ ）2.
12.1 二次根式（1）例5 如图，长 米的梯子靠在墙上，梯子的底部
离墙角 米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．解:∵在Rt△ACB中，由勾股定理得
答：梯子的顶端与地面的距离h为４米．12.1 二次根式（1）《课本》P149第2题．12.1 二次根式（1）a≥012.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1）1．课本P151第1、2题． 2．若实数x、y满足 ＋（y＋2）2＝0，
求y x 的值．12.1 二次根式（1）课题
12.1 二次根式（1）
自主空间
学习目标
（1）了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件.
（2）通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当≥0时，= ；能运用这个性质进行一些简单的计算与化简。
学习重、难点
教学重点 二次根式的概念以及二次根式的基本性质
教学难点 经历知识产生的过程，探索新知识．
教学流程
预
习
导
航
问题：
1．回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?
2． 计算：
（1）16的平方根是 的平方根是 .
（2）如图，在RABC中，AB=50cm，BC=25cm，则AC=
cm.
（3）圆的面积为S,则圆的半径是 .
（4）正方形的面积为,则边长为 .
3．对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?
合
作
探
究
一、概念探究：
1．二次根式的定义.
一般地，式子（≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数。
说说你对二次根式的认识
当a < 0时，是否有意义？
当≥0时，是否可能为负数？
总结：二次根式有意义的条件是
2．二次根式性质的探索：
22=4，即（）2= 4；32=9，即（）2= 9；……
观察上述等式的两边，你得到什么启示？
当≥0时，
二、例题分析：
例1：x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义?
解：由x－5≥0，得x≥5
当x≥5时，式子在实数范围内有意义。
例2：计算
（1）
合
作
探
究
（2）
（3）≥0）
三、展示交流
1．练习：说一说,下列各式是二次根式吗?为什么？
（1） （2） （3）
2．x是怎能样的实数时，下列式子在实数范围内有意义
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
3．计算.
（1） （2）
（3） （4）
四、提炼总结
1．什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?
2．二次根式的被开方数有什么条件限制？
3．当≥0时， = ？
1．下列式子中不一定是二次根式的是（ ）
A： B： C： D：
2．是实数时，下列式子中一定有意义的是（ ）
A： B： C： D：
3．若有意义，则一定是（ ）
A：正数 B：负数 C：非正数 D：非负数
4．写出下列式子有意义的的取值范围.
（1） （2） （3） （4）
5．计算
（1） （2）
（3） （4）
6.先把下列各式写成平方差的形式，再分解因式
（1） （2）
当
堂
达
标
学习反思：
12.1 二次根式（2）
教学目标
1．学会二次根式的性质＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式；
2．知道公式＝｜a｜与（）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用；
3．在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想．
教学重点
学会二次根式的性质＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式．
教学难点
知道公式＝｜a｜与（）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设：
1．二次根式的概念；
2．二次根式有意义的条件；
3．（）2＝a（a≥0）．
复习知识点，迅速进入状态．
回顾上节课的知识点，便于这节课进一步探索有关二次根式的性质．
探索活动：
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的 规律．
＝ ，＝ ，＝ ，
＝ ，＝ ，
＝ ,＝ ．
通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说．
让学生通过计算，观察结果，讨论总结出二次根式的相关性质．
充分调动学生的积极性，通过计算、讨论，总结得出其相关性质．
新知得出：
发现：当a≥0时，＝_____，
当a＜0，＝______．
根据绝对值的意义：
当a≥0时，||＝；当a＜0时，||＝－，
由此可知：＝｜a｜．
总结结论，得出性质．
知识的总结，精华的得出．
性质应用、学习例题：
计算．
（1）；
（2）；
（3）（x≤1）．
教师板演，学生参与，体会知识应用的过程．
教师提供适当的板演，既是对知识的应用，也是对学生规范的指导．
学生练习：
1．计算．
（1）； （2）；
（3）；
（4）（x≥2）．
2．指出下列运算过程中的错误．
，可以写，
两边开平方得，，
所以，即．
学生练习，巩固提高．
让学生自己独立应用相关性质解决对应的问题，教师最后作适当点评．
拓展延伸：
1．二次根式与中，可以是怎样的实数？
2．与是否相等？
学生讨论，难点的突破．
明辨两者的区别和联系，也是为了更好地进行应用．
小结与作业：
学生总结，知识再次升华．
知识体系的完善与再现．
课件10张PPT。12.1 二次根式（2） 复习回顾：1．二次根式的概念；2．二次根式有意义的条件；3．12.1 二次根式（2） 观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律.通过观察，你得到的结论是什么？
试着说一说．12.1 二次根式（2）根据绝对值的意义：12.1 二次根式（2）例题讲解（1） （2） （3） 12.1 二次根式（2）解:(1)(2)(3)当x≤1时，学生练习：计算：（1）（2）（3）（4）12.1 二次根式（2） 2.指出下列运算过程中的错误．
，可以写成两边开平方得，所以即12.1 二次根式（2） 拓展提高：12.1 二次根式（2） 课堂小结：
本节课的收获与体会？ 12.1 二次根式（2）
